पोइसन का समीकरण

शिमोन डेनिस पोइसन

पोइसन का समीकरण सैद्धांतिक भौतिकी में व्यापक उपयोगिता का एक अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण है। उदाहरण के लिए, पोइसन के समीकरण का समाधान किसी दिए गए विद्युत आवेश या द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण होने वाला संभावित क्षेत्र है; ज्ञात संभावित क्षेत्र के साथ, तब कोई इलेक्ट्रोस्टैटिक या गुरुत्वाकर्षण (बल) क्षेत्र की गणना कर सकता है। यह लाप्लास के समीकरण का सामान्यीकरण है, जो अधिकांशतः भौतिकी में भी देखा जाता है। समीकरण का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी सिमोन डेनिस पोइसन के नाम पर रखा गया है।

समीकरण का कथन

पोइसन का समीकरण है

$$\Delta \varphi =f,$$

जहा $\Delta$ लाप्लास ऑपरेटर है, और $f$ और $\varphi$ कई गुना वास्तविक संख्या या जटिल संख्या-मूल्यवान कार्य (गणित) हैं। सामान्यतः, $f$ दिया जाता है, और $\varphi$ की है। जब मैनिफोल्ड यूक्लिडियन अंतरिक्ष होता है, तो लाप्लास ऑपरेटर को अधिकांशतः ∇² इस रूप में दर्शाया जाता है , और इसलिए पोइसन के समीकरण को अधिकांशतः इस रूप में लिखा जाता है

$$\nabla ^{2}\varphi =f.$$

त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, यह रूप लेता है

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$$

जब $f=0$ समान रूप से, हम लाप्लास का समीकरण प्राप्त करते हैं।

पोइसन के समीकरण को ग्रीन के फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है:

$$\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',$$

जहां संपूर्ण स्थान पर समाकलन है। पोइसन के समीकरण के लिए ग्रीन के कार्य का सामान्य विवरण स्क्रीन किए गए पॉइसन समीकरण पर लेख में दिया गया है। संख्यात्मक समाधान के लिए विभिन्न विधियाँ हैं, जैसे विश्राम विधि, पुनरावृत्त एल्गोरिथम है ।

न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण

Main articles: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र and गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम

घनत्व ρ की एक विशाल वस्तु को आकर्षित करने के कारण एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र जी के स्थिति में, गॉस के गुरुत्वाकर्षण के अंतर के रूप में नियम का उपयोग गुरुत्वाकर्षण के लिए संबंधित पॉइसन समीकरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .$$

चूंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र रूढ़िवादी (और तर्कहीन ) है, इसे स्केलर क्षमता ϕ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\mathbf {g} =-\nabla \phi .$$

गॉस के नियम में इसे प्रतिस्थापित करने पर,

$$\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,$$

गुरुत्वाकर्षण के लिए पोइसन का समीकरण देता है:

$$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$$

यदि द्रव्यमान घनत्व शून्य है, तो पोइसन का समीकरण लाप्लास के समीकरण में घट जाता है। तीन-चर लाप्लास समीकरण के लिए ग्रीन का कार्य संगत ग्रीन के कार्य का उपयोग दूरी पर क्षमता की गणना के लिए किया जा सकता है r एक केंद्रीय बिंदु द्रव्यमान से m (अर्थात, मौलिक समाधान)। तीन आयामों में क्षमता है

$$\phi (r)={\frac {-Gm}{r}},$$

जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के समान है।

विद्युतस्थैतिकी

Main article: विद्युतस्थैतिकी

विद्युतस्थैतिकी के कोने में से पोइसन समीकरण द्वारा वर्णित समस्याओं को स्थापित करना और हल करना है। पोइसन समीकरण को हल करना दिए गए प्रकाश का आवेश वितरण के लिए विद्युत विभव φ ज्ञात करने के $\rho _{f}$ समान है .

विद्युतस्थैतिकी में पोइसन के समीकरण के पीछे गणितीय विवरण इस प्रकार हैं (गौसियन इकाइयों के अतिरिक्त एसआई इकाइयों का उपयोग किया जाता है, जो अधिकांशतः विद्युत चुंबकत्व में भी उपयोग किया जाता है)।

विद्युत के लिए गाउस के नियम (मैक्सवेल के समीकरणों में से एक भी) के अवकलन रूप से प्रारंभ करते हुए, एक के पास है

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},$$

जहा $\mathbf {\nabla } \cdot$ विचलन है, डी विद्युत विस्थापन क्षेत्र है, और ρ_f मुक्त -आवेश घनत्व है (बाहर से लाए गए शुल्कों का वर्णन)।

यह मानते हुए कि माध्यम रैखिक, समदैशिक और सजातीय है (ध्रुवीकरण घनत्व देखें), हमारे पास संवैधानिक समीकरण या विद्युत चुंबकत्व है

$$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,$$

जहा ε माध्यम की पारगम्यता है, और E विद्युत क्षेत्र है।

गॉस के नियम में इसे प्रतिस्थापित करना और यह मानना ε ब्याज उपज के क्षेत्र में स्थानिक रूप से स्थिर है

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}.$$

जहा $\rho$ कुल आयतन आवेश घनत्व है। विद्युतस्थैतिकी में, हम मानते हैं कि कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं है (इसके बाद का तर्क एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में भी प्रयुक्त होता है) फिर, हमारे पास वह है

$$\nabla \times \mathbf {E} =0,$$

जहा ∇× कर्ल (गणित) है। इस समीकरण का अर्थ है कि हम विद्युत क्षेत्र को स्केलर कार्य φ (विद्युत विभव कहलाता है), के ढाल के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि किसी भी प्रवणता का वक्र शून्य होता है। इस प्रकार हम लिख सकते हैं

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi ,$$

जहां माइनस साइन पेश किया गया है जिससे φ को प्रति ईकाई आवेश विद्युत संभावित ऊर्जा के रूप में पहचाना जाता है।

इन परिस्थितियों में पोइसन के समीकरण की व्युत्पत्ति सीधी है। विद्युत क्षेत्र के लिए संभावित ढाल को प्रतिस्थापित करना,

$$\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon }},$$

सीधे विद्युतस्थैतिकी के लिए पॉसॉन के समीकरण का उत्पादन करता है, जो है