निरंतर अंशों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना

गणित में, द्विघात समीकरण के दूसरी घात का बहुपद समीकरण होता है। सामान्य रूप है

$ax^{2}+bx+c=0,$

जहां a ≠ 0.

किसी संख्या $x$ पर द्विघात समीकरण को सुप्रसिद्ध द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसे पूर्ण वर्ग बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। वह सूत्र हमेशा द्विघात समीकरण की मूले देता है, लेकिन हल को एक ऐसे रूप में व्यक्त किए जाते हैं जिसमें अधिकांश एक द्विघात अपरिमेय संख्या सम्मिलित होती है, जो कि एक बीजगणितीय अंश होता है मूल्यांकन केवल एक अतिरिक्त मूल निष्कर्षण एल्गोरिथ्म को लागू करके दशमलव अंश के रूप में किया जा सकता है।

यदि मूले वास्तविक संख्या हैं, तो एक वैकल्पिक तकनीक है जो सीधे समीकरण में क्रमभंग करके मूलों में से एक के लिए परिमेय सन्निकटन प्राप्त करती है। यह विधि कई स्थिति में काम करती है, और बहुत पहले इसने सामान्यीकृत निरंतर अंश के जटिल विश्लेषण के और विकास को प्रेरित किया।

सरल उदाहरण

निरंतर अंशों का उपयोग करके द्विघात समीकरण के समाधान को दर्शाने के लिए यहां एक सरल उदाहरण दिया गया है। हम समीकरण से प्रारंभ करते हैं

$x^{2}=2$

और इसे सीधे क्रमभंग करें। दोनों ओर से एक घटाने पर हमें प्राप्त होता है

$x^{2}-1=1.$

यह आसानी से सम्मिलित हो जाता है

$(x+1)(x-1)=1$

जिससे हम प्राप्त करते हैं

$(x-1)={\frac {1}{1+x}}$

और अंत में

$x=1+{\frac {1}{1+x}}.$

अब आता है मुख्य चरण। प्राप्त करने के लिए हम इस व्यंजक को x वापस अपने आप में, पुनरावर्ती रूप से प्रतिस्थापित करते हैं

$x=1+{\cfrac {1}{1+\left(1+{\cfrac {1}{1+x}}\right)}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+x}}}}.$

लेकिन अब हम उसी पुनरावर्ती प्रतिस्थापन को बार-बार कर सकते हैं, अज्ञात मात्रा x को जितना चाहें उतना नीचे और दाईं ओर धकेल सकते हैं, और सीमा में अनंत निरंतर अंश प्राप्त कर सकते हैं

$x=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}}={\sqrt {2}}.$

मौलिक पुनरावृत्ति सूत्रों को लागू करके हम आसानी से इस निरंतर अंश के क्रमिक अभिसरण (सतत अंश) की गणना 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, . .., जहां प्रत्येक क्रमिक अभिसरण पिछले पद के अंश और हर को अगले पद के हर के रूप में लेकर बनता है, फिर नए अंश बनाने के लिए पूर्ववर्ती हर को जोड़कर बनाया जाता है। भाजक का यह क्रम एक विशेष लुकास क्रम है जिसे पेल नंबर के रूप में जाना जाता है।

बीजगणितीय स्पष्टीकरण

हम क्रमिक घातों पर विचार करके इस सरल उदाहरण में और अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकते हैं

$\omega ={\sqrt {2}}-1.$

क्रमिक घातों का वह क्रम किसके द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}\omega ^{2}&=3-2{\sqrt {2}},&\omega ^{3}&=5{\sqrt {2}}-7,&\omega ^{4}&=17-12{\sqrt {2}},\\\omega ^{5}&=29{\sqrt {2}}-41,&\omega ^{6}&=99-70{\sqrt {2}},&\omega ^{7}&=169{\sqrt {2}}-239,\,\end{aligned}}$

इत्यादि।ध्यान दें कि इस ज्यामितीय प्रगति में √2 के क्रमिक सन्निकटन के रूप में व्युत्पन्न अंश कैसे दिखाई देते हैं।

चूँकि 0 < ω < 1, अनुक्रम {ωⁿ} सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के प्रसिद्ध गुणों द्वारा स्पष्ट रूप से शून्य की ओर जाता है। इस तथ्य का उपयोग सख्ती से यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि ऊपर दिए गए सरल उदाहरण में चर्चित अभिसरण वास्तव में सीमा में √2, में अभिसरित होते हैं।

हम इन अंशों और हरों को की क्रमिक घातों में भी देख सकते हैं

$\omega ^{-1}={\sqrt {2}}+1.$

उत्तरोत्तर घातों का क्रम {ω⁻ⁿ} शून्य तक नहीं पहुंचता है; इसके अतिरिक्त यह बिना सीमा के बढ़ता है। लेकिन इसका उपयोग अभी भी हमारे सरल उदाहरण में अभिसरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी ध्यान दें कि समुच्चय (गणित) 'सभी' संयोजन a + b √2, जहां a और b पूर्णांक हैं को बनाकर प्राप्त किया गया सेट अमूर्त बीजगणित में रिंग (गणित) के रूप में ज्ञात वस्तु का एक उदाहरण है, और विशेष रूप से एक अभिन्न अभिन्न डोमेन के रूप में।, संख्या ω उस अभिन्न डोमेन में एक इकाई (रिंग थ्योरी) है। बीजगणितीय संख्या क्षेत्र भी देखें।

सामान्य द्विघात समीकरण

एक मोनिक बहुपद के रूप में व्यक्त सामान्य द्विघात समीकरण को हल करने के लिए निरंतर अंशों को सबसे आसानी से लागू किया जाता है

$x^{2}+bx+c=0$

जो हमेशा मूल समीकरण को उसके प्रमुख गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस मोनिक समीकरण से प्रारंभ करके हम देखते हैं

${\begin{aligned}x^{2}+bx&=-c\\x+b&={\frac {-c}{x}}\\x&=-b-{\frac {c}{x}}\,\end{aligned}}$

लेकिन अब हम पिछले समीकरण को पुनरावर्ती रूप से प्राप्त करने के लिए लागू कर सकते हैं

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

यदि यह अनंत निरंतर अंश बिल्कुल भी अभिसरण करता है, तो इसे मोनिक बहुपद x² + bx + c = 0 की एक समारोह की मूलों में से एक में अभिसरण करना चाहिए। निराशाजनक, यह विशेष निरंतर भिन्न हर स्थिति में एक परिमित संख्या में अभिसरण नहीं करता है।हम आसानी से देख सकते हैं कि द्विघात सूत्र और वास्तविक गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद पर विचार करके ऐसा है कि यदि ऐसे बहुपद का विविक्तकर ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण के दोनों मूलों में काल्पनिक संख्या भाग होते हैं। विशेष रूप से, यदि b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और b² − 4c < 0,इस निरंतर अंश "समाधान" के सभी अभिसरण वास्तविक संख्याएँ होंगी, और वे संभवतः u + iv (जहाँ v ≠ 0) के मूल में परिवर्तित नहीं हो सकते हैं 0), जो वास्तविक संख्या रेखा पर स्थित नहीं है।

सामान्य प्रमेय

1748 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्राप्त परिणाम को लागू करके यह दिखाया जा सकता है कि वास्तविक गुणांक के साथ सामान्य मोनिक द्विघात समीकरण का निरंतर अंश समाधान

$x^{2}+bx+c=0$

के द्वारा दिया गया

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

गुणांक b और विविक्तकर, b2 − 4c, दोनों के आधार पर या तो अभिसरित होता है या अपसरित होता है।

यदि b = 0 सामान्य निरंतर अंश समाधान पूरी तरह से भिन्न है; अभिसरण 0 और $\infty$ के बीच वैकल्पिक होते हैं. यदि b ≠ 0 हम तीन स्थितियों में भेद करते हैं।

1. यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो अंश दोलन द्वारा विचलन करता है, जिसका अर्थ है कि इसके अभिसरण एक नियमित या अव्यवस्थित आकृति में चारों ओर परिभ्रमक होते हैं, कभी भी एक परिमित सीमा तक नहीं पहुँचते।।
2. यदि विविक्तकर शून्य है तो अंश बहुलता दो के एकल मूल में परिवर्तित हो जाता है।
3. यदि विवेचक धनात्मक है तो समीकरण के दो वास्तविक मूल होते हैं, और निरंतर अंश इनमें से बड़े (पूर्ण मान में) में परिवर्तित हो जाता है। अभिसरण की दर दो जड़ों के बीच के अनुपात के निरपेक्ष मान पर निर्भर करती है: वह अनुपात एकरूपता से जितना दूर होता है, उतनी ही तेजी से निरंतर भिन्न परिवर्तित होता है।

जब वास्तविक गुणांकों वाला मोनिक द्विघात समीकरण x² = c के रूप का होता है, तो ऊपर वर्णित सामान्य समाधान बेकार है क्योंकि शून्य से विभाजन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। जब तक c सकारात्मक है, चूंकि, समीकरण के दोनों पक्षों से वर्ग संख्या घटाकर और ऊपर √2 के साथ सचित्र रेखाओं के साथ आगे बढ़कर समीकरण को बदलना हमेशा संभव होता है। प्रतीकों में, यदि

$x^{2}=c\qquad (c>0)$

बस कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या p चुनें जैसे कि

$p^{2}<c.$

फिर सीधे क्रमभंग से हम प्राप्त करते हैं

${\begin{aligned}x^{2}-p^{2}&=c-p^{2}\\(x+p)(x-p)&=c-p^{2}\\x-p&={\frac {c-p^{2}}{p+x}}\\x&=p+{\frac {c-p^{2}}{p+x}}\\&=p+{\cfrac {c-p^{2}}{p+\left(p+{\cfrac {c-p^{2}}{p+x}}\right)}}&=p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+{\cfrac {c-p^{2}}{2p+\ddots \,}}}}}}\,\end{aligned}}$

और यह परिवर्तित निरंतर अंश अभिसरित होना चाहिए क्योंकि सभी आंशिक अंश और आंशिक भाजक धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

जटिल गुणांक

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय द्वारा, यदि मोनिक बहुपद समीकरण x² + bx + c = 0 में जटिल गुणांक हैं, इसमें दो (आवश्यक रूप से भिन्न नहीं) जटिल मूले होनी चाहिए। निराशाजनक रूप से, विवेचक b² − 4c इस स्थिति में उतना उपयोगी नहीं है, क्योंकि यह एक सम्मिश्र संख्या हो सकती है। फिर भी, सामान्य प्रमेय का एक संशोधित संस्करण सिद्ध किया जा सकता है।

जटिल गुणांकों के साथ सामान्य मोनिक द्विघात समीकरण का निरंतर अंश समाधान

$x^{2}+bx+c=0\qquad (b\neq 0)$

के द्वारा दिया गया

$x=-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-{\cfrac {c}{-b-\ddots \,}}}}}}}}$

विविक्तकर के मान, b² − 4c, और इसके दो मूलों के आपेक्षिक परिमाण पर निर्भर करते हुए अभिसरित होता है या नहीं।

दो मूलों को r₁ और r₂ नकारते हुए हम तीन स्थिति में अंतर करते हैं।

1. यदि विविक्तकर शून्य है तो अंश बहुलता दो के एकल मूल में परिवर्तित हो जाता है।
2. यदि विवेचक शून्य नहीं है, और |r₁| ≠ | आर₂|, निरंतर अंश अधिकतम मॉड्यूलस की मूल में परिवर्तित हो जाता है (अर्थात्, अधिक पूर्ण मान वाले मूल में)।
3. यदि विवेचक शून्य नहीं है, और |r₁| = | आर₂|, दोलन द्वारा निरंतर अंश विचलन करता है।

स्थिति 2 में, अभिसरण की दर दो मूलों के बीच के अनुपात के निरपेक्ष मान पर निर्भर करती है: वह अनुपात एकता से जितना दूर होता है, उतनी ही तेज़ी से निरंतर अंश अभिसरण करता है।

जटिल गुणांक वाले मोनिक द्विघात समीकरणों का यह सामान्य समाधान सामान्यतः मूलों के लिए परिमेय सन्निकटन प्राप्त करने के लिए बहुत उपयोगी नहीं होता है, क्योंकि मानदंड गोलाकार होते हैं (अर्थात, दो मूलों के सापेक्ष परिमाण ज्ञात होने चाहिए इससे पहले कि हम यह निष्कर्ष निकाल सकें कि अंश अभिसरण करता है , अधिकतर स्थिति में)। लेकिन यह समाधान जटिल तत्वों के साथ निरंतर अंशों के लिए अभिसरण समस्या के आगे के विश्लेषण में उपयोगी अनुप्रयोग पाता है।

यह भी देखें

• लुकास अनुक्रम
• वर्गमूल की गणना करने की विधियाँ
• पेल का समीकरण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• एक बहुपद की डिग्री
• अंक शास्त्र
• वर्गमूल की गणना की विधियाँ
• वर्ग पूरा करना
• अभिसरण (निरंतर अंश)
• लुकास अनुक्रम
• अनुमानित (निरंतर अंश)
• ज्यामितीय अनुक्रम
• सेट (गणित)
• सार बीजगणित
• इकाई (अंगूठी सिद्धांत)
• बीजगणितीय संख्या क्षेत्र
• गुणक
• विभेदक
• बीजगणित का मौलिक प्रमेय

संदर्भ

• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8