डिराक ब्रैकेट

डिराक ब्रैकेट, जो पॉल डिराक द्वारा विकसित पॉइसन ब्रैकेट का सामान्यीकरण है, हैमिल्टनियन यांत्रिकी में द्वितीय श्रेणी का अवरोध के साथ मौलिक प्रणालियों का समाधान करने के लिए रचना की गई है, और इस प्रकार उन्हें कैनोनिकल परिमाणीकरण से निकलने की अनुमति मिल सकती है। यह डिरैक के हैमिल्टनियन यांत्रिकी के विकास का महत्वपूर्ण भाग है जिससे अधिक सामान्य लैग्रेंजियन यांत्रिकी को सुरुचिपूर्ण विधि से किया जा सके; विशेष रूप से, जब अवरोध प्रत्यक्ष हों, जिससे स्पष्ट वैरिएबल की संख्या गतिशील वैरिएबल से अधिक होटी है। अधिक संक्षेप में, डिराक ब्रैकेट से निहित दो-रूप चरण समष्टि में अवरोध सतह पर सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड का प्रतिबंध है।

यह लेख मानक लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी औपचारिकताओं से परिचित है, और कैनोनिकल परिमाणीकरण से उनका संबंध मानता है। डिराक ब्रैकेट को संदर्भ में रखने के लिए डिराक की संशोधित हैमिल्टनियन औपचारिकता का विवरण भी संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है।

मानक हैमिल्टनियन प्रक्रिया की अपर्याप्तता

हैमिल्टनियन यांत्रिकी का मानक विकास विभिन्न विशिष्ट स्थितियों में अपर्याप्त है:

1. जब लैग्रेंजियन कम से कम निर्देशांक के वेग में अधिकतम रैखिक होता है;जिसका परिणामस्वरूप, कैनोनिकल समन्वय की परिभाषा अवरोध की ओर ले जाती है। यह डिराक ब्रैकेट का सहायता लेने का यह सबसे समान्य कारण है। उदाहरण के लिए, किसी भी फरमिओन्स के लिए लैग्रेंजियन (घनत्व) इस रूप का होता है।
2. जब स्वतंत्रता की गेज (या अन्य अभौतिक) स्वतंत्रता की डिग्री होती है जिसे सही करने की आवश्यकता होती है।
3. जब कोई अन्य अवरोध होती हैं जिन्हें कोई चरण समष्टि में प्रयुक्त करना चाहता है।

वेग में लैग्रेंजियन रैखिक का उदाहरण

मौलिक यांत्रिकी में उदाहरण आवेश q और द्रव्यमान m वाला कण है जो सशक्त स्थिरांक, सजातीय लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के साथ x - y समतल तक सीमित है , इसलिए पुनः शक्ति B के साथ z- दिशा में संकेत करता है।

मापदंडों के उचित विकल्प के साथ इस प्रणाली के लिए लैग्रेंजियन है

$L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}-V({\vec {r}}),$

जहां →A चुंबकीय क्षेत्र के लिए सदिश क्षमता →B है; c निर्वात में प्रकाश की गति है; और V(→r) इच्छानुसार बाह्य अदिश विभव है जिसे व्यापकता की हानि के बिना सरलता से x और y में द्विघात माना जा सकता है। हम उपयोग करते हैं

${\vec {A}}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}}-y{\hat {x}})$

हमारी सदिश क्षमता के रूप में; यह z दिशा में समान और स्थिर चुंबकीय क्षेत्र B से मेल खाता है। यहां, हैट इकाई सदिशों को दर्शाती हैं। चूँकि, पश्चात के लेख में, उनका उपयोग क्वांटम यांत्रिक संचालको को उनके मौलिक एनालॉग्स से भिन्न करने के लिए किया जाता है। उपयोग सन्दर्भ से स्पष्ट होना चाहिए।

सामान्यतः, लैग्रेंजियन यांत्रिकी स्पष्ट है

$L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,$

जो गति के समीकरणों की ओर ले जाता है

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}}$

$m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.$

एक हार्मोनिक क्षमता के लिए V का ग्रेडिएंट केवल निर्देशांक −(x,y) के समान होता है।

अब एक बहुत बड़े चुंबकीय क्षेत्र qB/mc ≫ 1 की सीमा में कोई एक साधारण सन्निकट लैग्रेंजियन उत्पन्न करने के लिए गतिज शब्द को छोड़ सकता है

$L={\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,$

गति के प्रथम-क्रम समीकरणों के साथ

${\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}$

${\dot {x}}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}~.$

ध्यान दें कि यह सन्निकट लैग्रेंजियन वेग में रैखिक है, जो उन स्थितियों में से एक है जिसके अनुसार मानक हैमिल्टनियन प्रक्रिया टूट जाती है। चूँकि इस उदाहरण को सन्निकटन के रूप में प्रेरित किया गया है, विचाराधीन लैग्रैन्जियन वैध है और लैग्रैन्जियन औपचारिकता में गति के निरंतर समीकरणों की ओर ले जाता है।

चूँकि, हैमिल्टनियन प्रक्रिया का पालन करते हुए, निर्देशांक से जुड़े कैनोनिकल क्षण अब हैं

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y$

$p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {qB}{2c}}x~,$

जो इस अभिप्राय में असामान्य हैं कि वह वेगों के व्युत्क्रमणीय नहीं हैं; इसके अतिरिक्त, वह निर्देशांक के कार्य होने के लिए बाध्य हैं: चार चरण-समष्टि वैरिएबल रैखिक रूप से निर्भर हैं, इसलिए परिवर्तनीय आधार अपूर्णता है।

लीजेंड्रे परिवर्तन तब हैमिल्टनियन का निर्माण करता है

$H(x,y,p_x,$