टॉटोलॉजिकल बंडल

गणित में, टॉटोलॉजिकल बंडल एक ऐसा सदिश बंडल है जो प्राकृतिक टॉटोलॉजिकल विधि से ग्रासमैनियन पर होता है: $V$ के $k$-विमा (सदिश समष्टि) के रैखिक उपसमष्टि ग्रासमैनियन के लिए, $k$-विमीय सदिश उपसमष्टि $W\subseteq V$ के अनुरूप ग्रासमैनियन में एक बिंदु दिया जाता है, फाइबर पर $W$ स्वयं उप समष्टि $W$ है। प्रक्षेप्य समष्टि की समष्टि में टॉटोलॉजिकल बंडल को टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार से किसी भी सदिश बंडल (संहत समष्टि पर) के बाद से टॉटोलॉजिकल बंडल को सार्वभौमिक बंडल भी कहा जाता है टॉटोलॉजिकल बंडल का पुलबैक है; कहने का तात्पर्य यह है कि ग्रासमैनियन सदिश बंडलों के लिए वर्गीकृत समष्टि है। अतः इस कारण से, विशिष्ट वर्गों के अध्ययन में टॉटोलॉजिकल बंडल महत्वपूर्ण है।

इस प्रकार से टॉटोलॉजिकल बंडलों का निर्माण बीजगणितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों में किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में, टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल (व्युत्क्रम शीफ के रूप में) अधिसमतल बंडल या सेरे के व्यावर्ती शीफ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)$ का

${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$

दोहरा बंडल है। अतः अधिसमतल बंडल, $\mathbb {P} ^{n}$ में अधिसमतल (विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)) $\mathbb {P} ^{n-1}$ के अनुरूप रेखा बंडल है। टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल और अधिसमतल बंडल वस्तुतः प्रक्षेप्य समष्टि के पिकार्ड समूह के दो जनक हैं।

इस प्रकार से माइकल अतियाह के K-सिद्धांत में, जटिल प्रक्षेप्य समष्टि पर टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल को मानक रेखा बंडल कहा जाता है। मानक बंडल के गोलाकार बंडल को सामान्यतः हॉपफ बंडल कहा जाता है। (सीएफ. बोट जनक।)

इस प्रकार से अधिक सामान्यतः, सदिश बंडल के प्रक्षेप्य बंडल के साथ-साथ ग्रासमैन बंडल पर भी टॉटोलॉजिकल बंडल होते हैं।

प्राचीन शब्द कैनोनिकल बंडल इस आधार पर अप्रचलित हो गया है कि विहित वर्गबहुविकल्पी गणितीय शब्दावली में अत्यधिक अतिभारित है, और (इससे भी निकृष्ट) बीजगणितीय ज्यामिति में कैनोनिकल वर्ग के साथ भ्रम है संभवतः अवरोधित किया जा सके।

सहज परिभाषा

परिभाषा के अनुसार ग्रासमैनियन किसी दिए गए सदिश समष्टि में, दिए गए विमा के रैखिक उप-समष्टि के लिए पैरामीटर समष्टि $W$ हैं। यदि $G$ ग्रासमैनियन है, और $V_{g}$, $G$ में $g$ के अनुरूप $W$ का उप-समष्टि है, तो यह पहले से ही लगभग एक सदिश बंडल के लिए आवश्यक डेटा है: अर्थात् प्रत्येक बिंदु $g$ के लिए एक सदिश स्थान, जो निरंतर बदलता रहता है। इस प्रकार से वह सभी जो इस संकेत से टॉटोलॉजिकल बंडल की परिभाषा को रोक सकता है, वह कठिनाई है जिसे $V_{g}$ प्रतिच्छेद करने जा रहा है। इसे ठीक करना असंयुक्त संघ उपकरण का नियमित अनुप्रयोग है, ताकि बंडल प्रक्षेपण $V_{g}$ की समान प्रतियों से बने फाइबर बंडल से हो, जो अब एक दूसरे को नहीं काटते हैं। इसके साथ ही हमारे निकट बंडल है।

इस प्रकार से प्रक्षेप्य समष्टि स्थिति सम्मिलित है। परिपाटी के अनुसार $P(V)$ दोहरे समष्टि अर्थ में टॉटोलॉजिकल बंडल को उपयोगी रूप से ले जा सकता है। अर्थात $V^{*}$ दोहरे स्थान के साथ, $P(V)$ के बिंदु $V^{*}$ के सदिश उप-समष्टि को ले जाते हैं, जो कि उनके कर्नेल हैं, जब $V^{*}$पर (किरणों की) रैखिक फलनात्मकता के रूप में माना जाता है। यदि $V$ की विमा $n+1$ है, तो टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल टॉटोलॉजिकल बंडल है, और दूसरा, जिसका अभी वर्णन किया गया है, पद $n$ का है।

औपचारिक परिभाषा

इस प्रकार से मान लीजिए कि $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ $\mathbb {R} ^{n+k}$ में एन-विमीय सदिश उप-समष्टि का ग्रासमैनियन का ग्रासमैनियन है; एक समुच्चय के रूप में यह $\mathbb {R} ^{n+k}$ के सभी एन-विमीय सदिश उप-समष्टि का समुच्चय है। अतः इस प्रकार से उदाहरण के लिए, यदि n = 1 है, तो यह वास्तविक प्रक्षेप्य k-समष्टि है।

हम टॉटोलॉजिकल बंडल γ_{n, k} पर $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ पर निम्नानुसार परिभाषित करते हैं। बंडल का कुल समष्टि सभी युग्मों (V, v) का समुच्चय है जिसमें ग्रासमैनियन का एक बिंदु V औरV में एक सदिश v सम्मिलित है; इसे कार्तीय गुणनफल $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}$ की उप-समष्टि टोपोलॉजी दी गई है। इस प्रकार से प्रक्षेपण प्रतिचित्र π, π(V, v) = V द्वारा दिया गया है। यदि F, π के अंतर्गत V का पूर्व प्रतिबिम्ब है, तो इसे a(V, v) + b(V, w) = (V, av + bw) द्वारा एक सदिश स्थान की संरचना दी जाती है। अंत में, स्थानीय तुच्छता को देखने के लिए, ग्रासमैनियन में एक बिंदु X दिया गया है, U को सभी V का समूह होने दें, जैसे कि X पर लाम्बिक प्रक्षेपण p, V को X पर समरूपी रूप से प्रतिचित्रित करता है, और फिर

${\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}$

को परिभाषित करता है जो स्पष्ट रूप से एक होमोमोर्फिज्म है। इसलिए, परिणाम पद n का सदिश बंडल है।

इस प्रकार से यदि हम $\mathbb {R}$ को जटिल क्षेत्र $\mathbb {C}$ से बदल दें तो उपरोक्त परिभाषा का अर्थ बना रहता है।

अतः परिभाषा के अनुसार, अनंत ग्रासमैनियन $G_{n}$ $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ की $k\to \infty$ के रूप में प्रत्यक्ष सीमा है। बंडलों की प्रत्यक्ष सीमा γ_{n, k} लेते हुए, $G_{n}$ का टॉटोलॉजिकल बंडल γ_n देता है। टॉटोलॉजिकल बंडल यह इस अर्थ में सार्वभौमिक बंडल है: प्रत्येक संहत समष्टि X के लिए, प्राकृतिक आक्षेप${\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}$

है जहां बाईं ओर कोष्ठक का अर्थ समस्थेयता कक्ष है और दाईं ओर पद एन के वास्तविक सदिश बंडलों के समरूपता वर्गों का समुच्चय है। व्युत्क्रम प्रतिचित्र इस प्रकार दिया गया है: चूंकि X संहत है, कोई भी सदिश बंडल E तुच्छ बंडल का उपबंडल है: कुछ k के लिए $$