ज़िंडलर वक्र

चित्र 1: ज़िंडलर वक्र। समान लंबाई की कोई भी जीवा वक्र और परिबद्ध क्षेत्र को आधा कर देती है।

चित्र 2: ए = 8 (नीला), ए = 16 (हरा) और ए = 24 (लाल) के साथ ज़िंडलर वक्र के उदाहरण।

ज़िंडलर वक्र परिभाषा बंद समतल वक्र है जिसकी परिभाषित विशेषता है:

(एल) वक्र की लंबाई को आधे में काटने वाली सभी जीवाओं की लंबाई समान होती है

सबसे सरल उदाहरण वृत्त हैं। ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ कोनराड ज़िंडलर ने कई उदाहरण खोजे, और उन्हें बनाने के लिए एक विधि दी। हरमन ऑउरबैक पहले थे, जिन्होंने 1938 में स्थापित नाम जिंडलर वक्र का प्रयोग किया।

ऑउरबैक ने प्रमाणित किया कि ज़िंडलर वक्र से घिरा एक आंकड़ा पानी के आधे घनत्व के साथ किसी भी स्थिति में पानी में तैरता रहेगा। यह फ्लोटिंग बॉडीज पर स्टैनिस्लाव उलम की समस्या के द्विआयामी संस्करण का नकारात्मक उत्तर देता है, जो पूछता है कि क्या डिस्क समान घनत्व का एकमात्र आंकड़ा है जो किसी भी स्थिति में पानी में तैरता रहेगा (मूल समस्या) यदि गोला एकमात्र ऐसा ठोस है जिसमें तीन आयामों का गुण है।

ज़िंडलर वक्र भी स्थापित करने की समस्या से जुड़े हुए हैं, परन्तु बंद पीछे और सामने की पटरियों को देखते हुए साइकिल की गति की दिशा निर्धारित करना संभव है।

समतुल्य परिभाषाएँ

ज़िंडलर वक्र की समतुल्य परिभाषा निम्नलिखित है:

(ए) सभी तार, जो क्षेत्र को आधे में काटती हैं, की लंबाई समान होती है।

ये जीवाएं समान होती हैं, जो वक्र की लंबाई को आधा कर देती हैं।

एक और परिभाषा दो कुर्सियों के ज़िंडलर हिंडोला पर आधारित है।λ1 और λ2 द्वारा दिए गए R² में दो चिकने वक्रों पर विचार करें।

मान लीजिए कि बिंदुओं λ1(t) और λ2(t) के बीच की दूरी प्रत्येक t ∈ R के लिए स्थिर है और यह कि λ1 और λ2 के बीच के मध्यबिंदुओं द्वारा परिभाषित वक्र ऐसा है कि बिंदु t पर इसका स्पर्शरेखा सदिश खंड के समानांतर है λ1(t) से λ2(t) प्रत्येक टी के लिए यदि वक्र λ1 और λ2 समान चिकने बंद वक्र को प्राचलीकरण करते हैं, तो यह वक्र ज़िंडलर वक्र है

उदाहरण

एक निश्चित वास्तविक पैरामीटर पर विचार करें $a$. के लिए $a>4$, कोई भी वक्र

$z(u)=x(u)+iy(u)=e^{2iu}+2e^{-iu}+ae^{iu/2}\;,\ u\in [0,4\pi ]\;,$

जिंडलर वक्र है। के लिए $a\geq 24$ वक्र उत्तल भी है। आरेख के लिए वक्र दिखाता है $a=8$ (नीला), $a=16$ (हरा) और $a=24$ (लाल)। के लिए $a\geq 8$ वक्र स्थिर चौड़ाई के वक्र से संबंधित हैं।

चित्रा 3: = 4 के साथ नमूना वक्र ज़िंडलर वक्र नहीं है, क्योंकि वांछित तार हैं, जो वक्र को तीसरे बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं।

'(एल)' का प्रमाण : पैरामीट्रिक समीकरण का व्युत्पन्न है

$z'(u)=i{\Big (}2e^{2iu}-2e^{-iu}+{\frac {a}{2}}e^{iu/2}{\Big )}\;$ और

$|z'(u)|^{2}=z'(u){\overline {z'(u)}}=\cdots =8+{\frac {a^{2}}{4}}-8\cos 3u\;.$

$|z'(u)|$ है $2\pi$-आवधिक किसी के लिए $u_{0}$ निम्नलिखित समीकरण धारण करता है

$\int _{u_{0}}^{u_{0}+2\pi }|z'(u)|\,du=\int _{0}^{2\pi }|z'(u)|\,du\;,$

जो पूरे वक्र की आधी लंबाई है। वांछित तार, जो वक्र को हिस्सों में विभाजित करते हैं, बिंदुओं से घिरे होते हैं $\;z(u_{0})\;,\;z(u_{0}+2\pi )\;$ किसी के लिए $u_{0}\in [0,4\pi ]$. ऐसी जीवा की लंबाई है $|z(u_{0}+2\pi )-z(u_{0})|=\cdots =|2ae^{iu_{0}/2}|=2a\;,$ इसलिए स्वतंत्र $u_{0}$. ∎

के लिए $a=4$ वांछित तार एक अतिरिक्त बिंदु में वक्र से मिलते हैं। इसलिए $a>4$ नमूना वक्र ज़िंडलर वक्र हैं।

सामान्यीकरण

ज़िंडलर वक्र को परिभाषित करने वाली को जीवाओं के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है जो वक्र की परिधि को एक निश्चित अनुपात α में 1/2 से अलग करती है। इस विषय में, वक्र के सभी तारों के अतिरिक्त एक तार प्रणाली पर विचार किया जा सकता है। इन वक्रों को एक ज़िंडलर वक्र के रूप में जाना जाता है, और α = 1/2 के लिए ज़िंडलर वक्र हैं। ज़िंडलर वक्र के इस सामान्यीकरण में अस्थिर समस्या से संबंधित निम्नलिखित गुण हैं: चलो γ एक निश्चित अनुपात α में परिधि को काटते हुए जीवा प्रणाली के साथ एक बंद समतल वक्र हो यदि इस तार प्रणाली के सभी तार γ से घिरे क्षेत्र के आंतरिक भागर में हैं, तो γ एक ज़िंडलर वक्र है और केवल γ से घिरा क्षेत्र समान घनत्व ρ का एक ठोस है जो किसी भी अभिविन्यास में तैरता है।

यह भी देखें

• स्थिर चौड़ाई का वक्र
• रेलेक्स बहुभुज

संदर्भ

• Herman Auerbach: Sur un problème de M. Ulam concernant l’équilibre des corps flottants (PDF; 796 kB), Studia Mathematica 7 (1938), 121–142.
• K. L. Mampel: Über Zindlerkurven, Journal für reine und angewandte Mathematik 234 (1969), 12–44.
• Konrad Zindler: Über konvexe Gebilde. II. Teil, Monatshefte für Mathematik und Physik 31 (1921), 25–56.
• H. Martini, S. Wu: On Zindler Curves in Normed Planes, Canadian Mathematical Bulletin 55 (2012), 767–773.
• J. Bracho, L. Montejano, D. Oliveros: Carousels, Zindler curves and the floating body problem, Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 9–23.
• P. M. Gruber, J.M. Wills: Convexity and Its Applications, Springer, 1983, ISBN 978-3-0348-5860-1, p. 58.

बाहरी संबंध

• http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Fl2mvs/Movies.html - A page by Franz Wegner illustrating some bodies that float in any direction.
• https://www.rose-hulman.edu/~finn/research/bicycle/tracks.html - A page by David L. Finn illustrating some pair of curves which is not possible to determine which one is the rear or the front track of a bicycle.