रेलेक्स बहुभुज
ज्यामिति में, एक रियूलॉक्स बहुभुज स्थिर चौड़ाई का एक वक्र है जो निरंतर त्रिज्या के परिपत्र चापों से बना होता है।[1] इन आकृतियों को उनके आदिरूप उदाहरण के नाम पर रखा गया है, रेउलेक्स त्रिकोण, जो 19वीं सदी के जर्मन इंजीनियर फ्रांज रेलॉक्स के नाम पर रखा गया है।[2] रेलेक्स त्रिभुज का निर्माण एक समबाहु त्रिभुज से प्रत्येक दो शीर्षों को तीसरे शीर्ष पर केंद्रित एक वृत्ताकार चाप द्वारा जोड़कर किया जा सकता है, और रेलेक्स बहुभुज किसी भी नियमित बहुभुज से एक समान निर्माण द्वारा विषम भुजाओं के साथ, या कुछ अनियमित बहुभुजों से से बनाए जा सकते हैं। रेलेक्स बहुभुजों द्वारा स्थिर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र का सटीक अनुमान लगाया जा सकता है। इन्हें सिक्के के आकार में लगाया गया है।
निर्माण
यदि भुजाओं की विषम संख्या वाला एक उत्तल बहुभुज है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष दो विपरीत शीर्षों के समदूरस्थ और अन्य सभी शीर्षों के निकट है, तो फिर प्रत्येक किनारे की जगह P इसके विपरीत शीर्ष पर केन्द्रित एक चाप द्वारा एक रेलेक्स बहुभुज बनाता है। एक विशेष स्थिति के रूप में, यह निर्माण विषम संख्या की भुजाओं वाले प्रत्येक नियमित बहुभुज के लिए संभव है।[1]
प्रत्येक रेलेक्स बहुभुज में एक विषम संख्या में वृत्ताकार-चाप भुजाएँ होनी चाहिए, और इस तरह से एक बहुभुज से निर्मित किया जा सकता है, जो इसके चाप समापन बिंदुओं का उत्तल हल है। चुकी, यह संभव है कि स्थिर चौड़ाई के अन्य वक्र अलग-अलग त्रिज्या वाले चापों की सम संख्या से बने हों।
गुण
रेगुलर बहुभुज पर आधारित रेयूलॉक्स बहुभुज, निरंतर चौड़ाई वाले एकमात्र वक्र हैं, जिनकी सीमाएं समान लंबाई के बहुत से वृत्ताकार चापों द्वारा बनाई गई हैं।[3]
निरंतर चौड़ाई के प्रत्येक वक्र को समान चौड़ाई के एक (संभवतः अनियमित) रेलेक्स बहुभुज द्वारा स्वेच्छया ढंग से ध्यान से अनुमानित किया जा सकता है।[1]
एक नियमित रूलॉक्स बहुभुज की भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। सामान्यतः, जब एक रेलेक्स बहुभुज के किनारे होते हैं जिन्हें समान लंबाई के चापों में विभाजित किया जा सकता है, तो चाप समापन बिंदुओं का उत्तल हल एक रेनहार्ड्ट बहुभुज होता है। ये बहुभुज कई मायनों में इष्टतम हैं: उनके व्यास के लिए सबसे बड़ी संभव परिधि है, उनके व्यास के लिए सबसे बड़ी संभव चौड़ाई है, और उनके परिधि के लिए सबसे बड़ी संभव चौड़ाई है।[4]
अनुप्रयोग
इन आकृतियों की निरंतर चौड़ाई उन्हें सिक्कों के रूप में उपयोग करने की अनुमति देती है जिनका उपयोग सिक्का-संचालित मशीनों में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यूनाइटेड किंगडम ने बीस पेंस (ब्रिटिश सिक्का) और पचास पेंस (ब्रिटिश सिक्का) को एक नियमित रेलेक्स सप्तभुज के आकार में बनाया है।[5] कैनेडियन लूनी डॉलर का सिक्का 11 पक्षों के साथ एक और नियमित रेउलेक्स बहुभुज का उपयोग करता है।[6] चुकी, गोल-बहुभुज किनारे वाले कुछ सिक्के, जैसे कि 12-पक्षीय 2017 ब्रिटिश पाउंड का सिक्का, स्थिर चौड़ाई नहीं रखते हैं और रेउलेक्स बहुभुज नहीं होते हैं।[7]
चुकी, चीनी आविष्कारक गुआन बैहुआ ने रेलेक्स बहुभुज पहियों वाली एक साइकिल बनाई, लेकिन यह आविष्कार पकड़ में नहीं आया।[8]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 Martini, Horst; Montejano, Luis; Oliveros, Déborah (2019), "Section 8.1: Reuleaux Polygons", Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications, Birkhäuser, pp. 167–169, doi:10.1007/978-3-030-03868-7, ISBN 978-3-030-03866-3, MR 3930585, S2CID 127264210
- ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 45, Mathematical Association of America, p. 155, ISBN 978-0-88385-352-8
- ↑ Firey, W. J. (1960), "Isoperimetric ratios of Reuleaux polygons", Pacific Journal of Mathematics, 10 (3): 823–829, doi:10.2140/pjm.1960.10.823, MR 0113176
- ↑ Hare, Kevin G.; Mossinghoff, Michael J. (2019), "Most Reinhardt polygons are sporadic", Geometriae Dedicata, 198: 1–18, arXiv:1405.5233, doi:10.1007/s10711-018-0326-5, MR 3933447, S2CID 119629098
- ↑ Gardner, Martin (1991), "Chapter 18: Curves of Constant Width", The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, University of Chicago Press, pp. 212–221, ISBN 0-226-28256-2
- ↑ Chamberland, Marc (2015), Single Digits: In Praise of Small Numbers, Princeton University Press, pp. 104–105, ISBN 9781400865697
- ↑ Freiberger, Marianne (December 13, 2016), "New £1 coin gets even", Plus Magazine
- ↑ du Sautoy, Marcus (May 27, 2009), "A new bicycle reinvents the wheel, with a pentagon and triangle", The Times. See also Newitz, Annalee (September 30, 2014), "Inventor creates seriously cool wheels", Gizmodo
