चेर्नॉफ़ बाध्य

संभाव्यता सिद्धांत में, चेर्नॉफ़ बाध्य संयंत्रक संख्या के माध्यम से यादृच्छिक प्रारंभिक मुद्रण फल की पुनरावृत्ति पर विपरीत लक्ष्य बाध्य होती है। सभी ऐसे घातीय बाउंडों में से कम से कम भारी बाध्य चेर्नॉफ या चेर्नॉफ-क्रामर बाध्य कहलाता है, जो विपरीत या सब-गॉसियन (उदाहरण के लिए अवसादीय) रूप से अधिक घटती है। यह विशेष रूप से स्वतंत्र यादृच्छिक चर जैसे कि बर्नौली यादृच्छिक चर के योग के लिए उपयोगी है।

इस बाध्य को सामान्यतः हरमन चेर्नॉफ़ के नाम पर जाना जाता है, जिन्होंने 1952 के लेख में इस विधि का वर्णन किया था, चूँकि चेर्नॉफ़ ने इसे स्वयं हरमन रूबिन को समर्पित किया था। 1938 में हराल्ड क्रेमर ने अधिकतर इसी धारणा को प्रकाशित किया था, जिसे अब क्रेमर का सिद्धांत के नाम से जाना जाता है।

यह प्राथमिक या द्वितीय-समय आधारित खंड बाध्य की समानता में तेज बाध्य होता है जैसे कि मार्कोव का असम्भवता या चेबीशेव का असम्भवता, जो केवल अधिकतर शक्ति-कानूनी बाध्य देते हैं। चूंकि, चेर्नॉफ बाध्य का उपयोग योगों के लिए किया जाता है तो चाहिए कि चेर्नॉफ बाध्य कोई अभिन्नता नहीं होनी चाहिए, जो न तो मार्कोव के असम्भवता ना ही चेबीशेव के असम्भवता की आवश्यकता होती है (चूंकि चेबीशेव के असम्भवता को योग के लिए युग्म-स्वतंत्र की आवश्यकता होती है)।

चेरनॉफ बाध्य बर्नस्टीन असम्भवताओं से संबंधित है। इसका उपयोग भी होफ्डिंग के असम्भवता, बेनेट के असम्भवता और मैकडॉनाल्ड के असम्भवता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

जेनेरिक चेर्नॉफ़ सीमाएँ

File:Chernoff-bound.svg

ची-वर्ग यादृच्छिक चर के लिए बाध्य है।

यादृच्छिक प्रतिसमिष्ट के लिए जनेरिक चेरनॉफ बाध्य को लागू करने के लिए, मार्कोव की असम्भवता को उपयोग करते हुए यह बाध्य मिलता है, इसे आवश्यकतानुसार एक्सपोनेंशियल मार्कोव या एक्सपोनेंशियल मोमेंट्स बाध्य भी कहा जाता है। इसके लिए, धनात्मक $t$ के लिए हम $e^{tX}$ का बाध्य प्राप्त करते हैं (इसी कारण इसे कभी-कभी एक्सपोनेंशियल मार्कोव या एक्सपोनेंशियल मोमेंट्स बाध्य कहा जाता है)। इस बाध्य के लिए, यदि $t$ धनात्मक है, तो यह बाध्य देता है $X$ के दायां खंभे की ओर की सीमा, जिसे मायने के रूप में उसके मोमेंट-उत्पन्न कारक के साथ लिखा जा सकता है $M(t)=\operatorname {E} (e^{tX})$:

$\operatorname {P} \left(X\geq a\right)=\operatorname {P} \left(e^{tX}\geq e^{ta}\right)\leq M(t)e^{-ta}\qquad (t>0)$

यह बाध्य हर धनात्मक $t$,के लिए सत्य होता है, इसलिए हम सबसे निचला और उच्चतम को न्यूनतम मान ले सकते हैं:

$\operatorname {P} \left(X\geq a\right)\leq \inf _{t>0}M(t)e^{-ta}$

इसी प्रकार के विश्लेषण को ऋणात्मक $t$ के साथ करने से हम बाएं खंभे की समान बाध्य प्राप्त करते हैं:

$\operatorname {P} \left(X\leq a\right)=\operatorname {P} \left(e^{tX}\geq e^{ta}\right)\leq M(t)e^{-ta}\qquad (t<0)$

और

$\operatorname {P} \left(X\leq a\right)\leq \inf _{t<0}M(t)e^{-ta}$

मात्रा $M(t)e^{-ta}$ अपेक्षा मूल्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\operatorname {E} (e^{tX})e^{-ta}$, या समकालिक रूप में लिखा जा सकता है $\operatorname {E} (e^{t(X-a)})$।

गुण

घाती संख्या के लिए तार्किक समान लिया जा सकता है क्योंकि एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन अभिप्रेत है, इसलिए जेनसेन की असम्भाविता के अनुसार $\operatorname {E} (e^{tX})\geq e^{t\operatorname {E} (X)}$होता है। इससे यह प्राप्त होता है कि दायां खंभे की बाध्य अवश्य हैं होता है जब $a\leq \operatorname {E} (X)$; उसी प्रकार, बाएं खंभे के लिए बाध्य उचित होता है जब $a\geq \operatorname {E} (X)$। इसलिए हम दोनों इंफोमा को संयोजित कर सकते हैं और दो-तरफी चेरनॉफ बाध्य को परिभाषित कर सकते हैं .

$$C(a)=\inf _{t}M(t)e^{-ta}$$

जो मुड़े हुए संचयी वितरण फ़ंक्शन पर ऊपरी बाध्य प्रदान करता है $X$ (माध्य पर मुड़ा हुआ, माध्यिका पर नहीं)।

दो-तरफी चेर्नॉफ़ बाध्य के लघुगणक को दर फ़ंक्शन (या क्रैमर ट्रांसफॉर्म) के रूप में जाना जाता है $I=-\log C$