गणित और गणितीय अनुकूलन में, किसी फलन का उत्तल संयुग्म लीजेंड्रे रूपांतरण का एक सामान्यीकरण है जो गैर-उत्तल कार्यों पर लागू होता है। इसे लेजेंड्रे–फेंचेल रूपांतरण , फेनचेल रूपांतरण, या फेनचेल संयुग्मन (एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे और वर्नर फेनेल के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह विशेष रूप से लैग्रेंजियन द्वैत के दूरगामी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।
परिभाषा मान लीजिये X {\displaystyle X} वास्तविक संख्या सांस्थितिक सदिश समष्टि है और मान लीजिये X ∗ {\displaystyle X^{*}} X {\displaystyle X} द्वैतसमष्टि हो। जिसे विहित द्वैध युग्मन रूप में दर्शाया जा सकता है
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : X ∗ × X → R {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R} } जिसे ( x ∗ , x ) ↦ x ∗ ( x ) {\displaystyle \left(x^{*},x\right)\mapsto x^{*}(x)}
एक फलन f : X → R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर मान लेते हुए, इसका मध्योन्नत संयुग्मन
f ∗ : X ∗ → R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} जिसका मूल्य x ∗ ∈ X ∗ {\displaystyle x^{*}\in X^{*}}
f ∗ ( x ∗ ) := sup { ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) : x ∈ X } , {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)~\colon ~x\in X\right\},} या, समकक्ष, न्यूनतम के संदर्भ में:
f ∗ ( x ∗ ) := − inf { f ( x ) − ⟨ x ∗ , x ⟩ : x ∈ X } . {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right):=-\inf \left\{f(x)-\left\langle x^{*},x\right\rangle ~\colon ~x\in X\right\}.} इस परिभाषा की व्याख्या इसके सहायक अधिसमतल के संदर्भ में फलन के अभिलेख (गणित) के अवमुख समावरक के संकेतन के रूप में की जा सकती है। [1]
उदाहरण अधिक उदाहरणों के लिए देखें § चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका .
एक सजातीय फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = ⟨ a , x ⟩ − b {\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b} f ∗ ( x ∗ ) = { b , x ∗ = a + ∞ , x ∗ ≠ a . {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}
किसी घातांक फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = 1 p | x | p , 1 < p < ∞ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1<p<\infty } f ∗ ( x ∗ ) = 1 q | x ∗ | q , 1 < q < ∞ , where 1 p + 1 q = 1. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1<q<\infty ,{\text{where}}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}
निरपेक्ष मान फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=\left|x\right|} f ∗ ( x ∗ ) = { 0 , | x ∗ | ≤ 1 ∞ , | x ∗ | > 1. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}
घातीय फलन का उत्तल संयुग्म f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} f ∗ ( x ∗ ) = { x ∗ ln x ∗ − x ∗ , x ∗ > 0 0 , x ∗ = 0 ∞ , x ∗ < 0. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}} घातीय फलन के उत्तल संयुग्म और लीजेंड्रे रूपांतर सहमत हैं, सिवाय इसके कि उत्तल संयुग्म के फलन का कार्यछेत्र अनुशासनपूर्वक से बड़ा है क्योंकि लीजेंड्रे रूपांतर केवल सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।
अपेक्षित कमी के साथ संबंध (जोखिम पर औसत मूल्य) उदाहरण के लिए यह लेख देखें।
मान लीजिए F एक यादृच्छिक चर X के संचयी वितरण फलन को दर्शाता है। फिर (भागों द्वारा एकीकृत),
f ( x ) := ∫ − ∞ x F ( u ) d u = E [ max ( 0 , x − X ) ] = x − E [ min ( x , X ) ] {\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,x-X)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}
उत्तल संयुग्म है
f ∗ ( p ) = ∫ 0 p F − 1 ( q ) d q = ( p − 1 ) F − 1 ( p ) + E [ min ( F − 1 ( p ) , X ) ] = p F − 1 ( p ) − E [ max ( 0 , F − 1 ( p ) − X ) ] . {\displaystyle f^{*}(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}
क्रमण एक विशेष व्याख्या में रूपांतरण होता है
f inc ( x ) := arg sup t t ⋅ x − ∫ 0 1 max { t − f ( u ) , 0 } d u , {\displaystyle f^{\text{inc}}(x):=\arg \sup _{t}t\cdot x-\int _{0}^{1}\max\{t-f(u),0\}\,du,}
चूँकि यह प्रारंभिक फलन f की गैर-घटती पुनर्व्यवस्था है; विशेष रूप से,
f inc = f {\displaystyle f^{\text{inc}}=f} एफ गैर-घटने के लिए होता है।
गुण एक सीमित उत्तल फलन का उत्तल संयुग्म फिर से एक सीमित उत्तल फलन है। एक बहुफलकीय उत्तल कार्य का उत्तल संयुग्म (बहुतल अभिलेख (गणित) के साथ एक उत्तल फलन) फिर से एक बहुफलकीय उत्तल फलन है।
क्रम उत्क्रम घोषित करें कि f ≤ g {\displaystyle f\leq g} x {\displaystyle x} f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} f ≤ g {\displaystyle f\leq g} f ∗ ≥ g ∗ {\displaystyle f^{*}\geq g^{*}}
फलन के एक परिवार ( f α ) α {\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }}
( inf α f α ) ∗ ( x ∗ ) = sup α f α ∗ ( x ∗ ) , {\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}),} और अधिकतम-न्यूनतम असमानता से
( sup α f α ) ∗ ( x ∗ ) ≤ inf α f α ∗ ( x ∗ ) . {\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x^{*})\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x^{*}).}
द्विसंयुग्मी किसी फलन का उत्तल संयुग्म हमेशा निचला अर्ध-निरंतर होता है। द्विसंयुग्मी f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}} सीमित अवमुख समावरक भी है, यानी सबसे बड़ा निचला अर्ध-निरंतर उत्तल कार्य f ∗ ∗ ≤ f {\displaystyle f^{**}\leq f} उचित उत्तल कार्य f , {\displaystyle f,} f = f ∗ ∗ {\displaystyle f=f^{**}} यदि और केवल यदि f {\displaystyle f}
फ़ेंशेल की असमानता किसी भी फलन f और इसका उत्तल संयुग्म f *x ∈ X {\displaystyle x\in X} p ∈ X ∗ {\displaystyle p\in X^{*}}
⟨ p , x ⟩ ≤ f ( x ) + f ∗ ( p ) . {\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p).} इसके अतिरिक्त, समानता तभी कायम रहती है जब p ∈ ∂ f ( x ) {\displaystyle p\in \partial f(x)}
प्रमाण उत्तल संयुग्म की परिभाषा f ∗ ( p ) = sup x ~ { ⟨ p , x ~ ⟩ − f ( x ~ ) } ≥ ⟨ p , x ⟩ − f ( x ) {\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{\tilde {x}}\left\{\langle p,{\tilde {x}}\rangle -f({\tilde {x}})\right\}\geq \langle p,x\rangle -f(x)}
उत्तलता दो कार्यों f 0 {\displaystyle f_{0}} f 1 {\displaystyle f_{1}} 0 ≤ λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}
( ( 1 − λ ) f 0 + λ f 1 ) ∗ ≤ ( 1 − λ ) f 0 ∗ + λ f 1 ∗ {\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{*}\leq (1-\lambda )f_{0}^{*}+\lambda f_{1}^{*}} धारण करता है। ∗ {\displaystyle {*}}
अनंत संवलन दो कार्यों का अनंत संवलन (या एपि-सम) f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}
( f ◻ g ) ( x ) = inf { f ( x − y ) + g ( y ) ∣ y ∈ R n } . {\displaystyle \left(f\operatorname {\Box } g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\mid y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.} मान लीजिये f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [2]
( f 1 ◻ ⋯ ◻ f m ) ∗ = f 1 ∗ + ⋯ + f m ∗ . {\displaystyle \left(f_{1}\operatorname {\Box } \cdots \operatorname {\Box } f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.} दो कार्यों के अनंत संवलन की एक ज्यामितीय व्याख्या होती है: दो कार्यों के अनंत संवलन का (निश्चित) अभिलेख (गणित) उन कार्यों के (निश्चित) अभिलेख का मिन्कोव्स्की योग है। [3]
तर्क अधिकतमीकरण यदि फलन f {\displaystyle f}
f ′ ( x ) = x ∗ ( x ) := arg sup x ∗ ⟨ x , x ∗ ⟩ − f ∗ ( x ∗ ) {\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{*}}{\langle x,x^{*}\rangle }-f^{*}\left(x^{*}\right)} f ∗ ′ ( x ∗ ) = x ( x ∗ ) := arg sup x ⟨ x , x ∗ ⟩ − f ( x ) ; {\displaystyle f^{{*}\prime }\left(x^{*}\right)=x\left(x^{*}\right):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{*}\rangle }-f(x);} इस तरह
x = ∇ f ∗ ( ∇ f ( x ) ) , {\displaystyle x=\nabla f^{*}\left(\nabla f(x)\right),} x ∗ = ∇ f ( ∇ f ∗ ( x ∗ ) ) , {\displaystyle x^{*}=\nabla f\left(\nabla f^{*}\left(x^{*}\right)\right),} और इसके अतिरिक्त
f ′ ′ ( x ) ⋅ f ∗ ′ ′ ( x ∗ ( x ) ) = 1 , {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}(x)\right)=1,} f ∗ ′ ′ ( x ∗ ) ⋅ f ′ ′ ( x ( x ∗ ) ) = 1. {\displaystyle f^{{*}\prime \prime }\left(x^{*}\right)\cdot f^{\prime \prime }\left(x(x^{*})\right)=1.}
प्रवर्धन गुण यदि कुछ γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} g ( x ) = α + β x + γ ⋅ f ( λ x + δ ) {\displaystyle g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f\left(\lambda x+\delta \right)}
g ∗ ( x ∗ ) = − α − δ x ∗ − β λ + γ ⋅ f ∗ ( x ∗ − β λ γ ) . {\displaystyle g^{*}\left(x^{*}\right)=-\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}
रैखिक परिवर्तनों के अंतर्गत व्यवहार मान लीजिये A : X → Y {\displaystyle A:X\to Y} परिबद्ध रैखिक संचालिका है। किसी भी उत्तल फलन f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} ( A f ) ∗ = f ∗ A ∗ {\displaystyle \left(Af\right)^{*}=f^{*}A^{*}}
जहाँ
( A f ) ( y ) = inf { f ( x ) : x ∈ X , A x = y } {\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}} f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} A ∗ {\displaystyle A^{*}} A {\displaystyle A} [4] G {\displaystyle G}
एक बंद उत्तल फलन f {\displaystyle f}
f ( A x ) = f ( x ) {\displaystyle f(Ax)=f(x)} x {\displaystyle x} A ∈ G {\displaystyle A\in G} यदि और केवल यदि यह उत्तल संयुग्म f ∗ {\displaystyle f^{*}} G {\displaystyle G}
चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका निम्न तालिका कई सामान्य कार्यों के साथ-साथ कुछ उपयोगी गुणों के लिए लीजेंड्रे रूपांतरण प्रदान करती है। [5]
g ( x ) {\displaystyle g(x)} dom ( g ) {\displaystyle \operatorname {dom} (g)} g ∗ ( x ∗ ) {\displaystyle g^{*}(x^{*})} dom ( g ∗ ) {\displaystyle \operatorname {dom} (g^{*})}
f ( a x ) {\displaystyle f(ax)} a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} X {\displaystyle X} f ∗ ( x ∗ a ) {\displaystyle f^{*}\left({\frac {x^{*}}{a}}\right)} X ∗ {\displaystyle X^{*}}
f ( x + b ) {\displaystyle f(x+b)} X {\displaystyle X} f ∗ ( x ∗ ) − ⟨ b , x ∗ ⟩ {\displaystyle f^{*}(x^{*})-\langle b,x^{*}\rangle } X ∗ {\displaystyle X^{*}}
a f ( x ) {\displaystyle af(x)} a > 0 {\displaystyle a>0} X {\displaystyle X} a f ∗ ( x ∗ a ) {\displaystyle af^{*}\left({\frac {x^{*}}{a}}\right)} X ∗ {\displaystyle X^{*}}
α + β x + γ ⋅ f ( λ x + δ ) {\displaystyle \alpha +\beta x+\gamma \cdot f(\lambda x+\delta )} X {\displaystyle X} − α − δ x ∗ − β λ + γ ⋅ f ∗ ( x ∗ − β γ λ ) ( γ > 0 ) {\displaystyle -\alpha -\delta {\frac {x^{*}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{*}\left({\frac {x^{*}-\beta }{\gamma \lambda }}\right)\quad (\gamma >0)} X ∗ {\displaystyle X^{*}}
| x | p p {\displaystyle {\frac {|x|^{p}}{p}}} p > 1 {\displaystyle p>1} R {\displaystyle \mathbb {R} } | x ∗ | q q {\displaystyle {\frac {|x^{*}|^{q}}{q}}} 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} R {\displaystyle \mathbb {R} }
− x p p {\displaystyle {\frac {-x^{p}}{p}}} 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} − ( − x ∗ ) q q {\displaystyle {\frac {-(-x^{*})^{q}}{q}}} 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} R − − {\displaystyle \mathbb {R} _{--}}
1 + x 2 {\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } − 1 − ( x ∗ ) 2 {\displaystyle -{\sqrt {1-(x^{*})^{2}}}} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
− log ( x ) {\displaystyle -\log(x)} R + + {\displaystyle \mathbb {R} _{++}} − ( 1 + log ( − x ∗ ) ) {\displaystyle -(1+\log(-x^{*}))} R − − {\displaystyle \mathbb {R} _{--}}
e x {\displaystyle e^{x}} R {\displaystyle \mathbb {R} } { x ∗ log ( x ∗ ) − x ∗ if x ∗ > 0 0 if x ∗ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})-x^{*}&{\text{if }}x^{*}>0\\0&{\text{if }}x^{*}=0\end{cases}}} R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
log ( 1 + e x ) {\displaystyle \log \left(1+e^{x}\right)} R {\displaystyle \mathbb {R} } { x ∗ log ( x ∗ ) + ( 1 − x ∗ ) log ( 1 − x ∗ ) if 0 < x ∗ < 1 0 if x ∗ = 0 , 1 {\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})+(1-x^{*})\log(1-x^{*})&{\text{if }}0<x^{*}<1\\0&{\text{if }}x^{*}=0,1\end{cases}}} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
− log ( 1 − e x ) {\displaystyle -\log \left(1-e^{x}\right)} R − − {\displaystyle \mathbb {R} _{--}} { x ∗ log ( x ∗ ) − ( 1 + x ∗ ) log ( 1 + x ∗ ) if x ∗ > 0 0 if x ∗ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{*}\log(x^{*})-(1+x^{*})\log(1+x^{*})&{\text{if }}x^{*}>0\\0&{\text{if }}x^{*}=0\end{cases}}} R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
यह भी देखें द्वैध समस्या फ़ेंशेल का द्वैत प्रमेय
पौराणिक रूपांतरण
उत्पादों के लिए यंग की असमानता संदर्भ
↑ "लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म" . Retrieved April 14, 2019 .↑ Phelps, Robert (1993). उत्तल कार्य, मोनोटोन संचालक और भिन्नता 42 . ISBN 0-387-56715-1 ↑ Bauschke, Heinz H.; Goebel, Rafal; Lucet, Yves; Wang, Xianfu (2008). "The Proximal Average: Basic Theory". SIAM Journal on Optimization . 19 (2): 766. CiteSeerX 10.1.1.546.4270 doi :10.1137/070687542 . ↑ Ioffe, A.D. and Tichomirov, V.M. (1979), Theorie der Extremalaufgaben . Deutscher Verlag der Wissenschaften . Satz 3.4.3
↑ Borwein, Jonathan ; Lewis, Adrian (2006). Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples 50 –51. ISBN 978-0-387-29570-1
अग्रिम पठन 
