एपिग्राफ (गणित)

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फलन का एपिग्राफ

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फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समूह है। यह क्षेत्र फलन का एपिग्राफ है।

गणित में, किसी फलन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$का विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समुच्चय है, जिसे $\operatorname {epi} f,$निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदु का $X\times \mathbb {R}$ किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है।कठोर एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ में बिंदुओं का समूह है $X\times \mathbb {R}$ ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है।

महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि $f$ ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में $X\times [-\infty ,\infty ],$ बिंदु सम्मलित हैं एपिग्राफ में उप-समुच्चय $X\times \mathbb {R} ,$ में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो $f.$ यदि फलन $\pm \infty$ को एक मान के रूप में लेता है तो पूरी तरह से मूल्य के रूप में $\operatorname {graph} f$ नहीं इसके एपिग्राफ का एक उप-समुच्चय $\operatorname {epi} f$ हो उदाहरण के लिए, यदि $f\left(x_{0}\right)=\infty$ फिर बिंदु $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)$ का $\operatorname {graph} f$ होगा लेकिन $\operatorname {epi} f$ ये दो समूह फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत भी किया जा सकता है।

वास्तविक विश्लेषण में निरंतर फलन वास्तविक-मूल्यवान फलनों का अध्ययन परंपरागत रूप से फलन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो समूह हैं जो इन फलनों के बारे में ज्यामितीय जानकारी प्रदान करते हैं।एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक ध्यान केंद्रित $[-\infty ,\infty ]$ उत्तल फलनों पर होता है, सदिश समष्टि (जैसे $\mathbb {R}$ या $\mathbb {R} ^{2}$) में मान वाले निरंतर फलनों के अतिरिक्त है, ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्यतः, ऐसे फलनों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फलन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक सरलता से प्राप्त होता है। इसी प्रकार वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अधिकांशतः एक उत्तल फलन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या सिद्ध करने में सहायता करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए है।

परिभाषा

एपिग्राफ की परिभाषा एक फलन के ग्राफ़ से प्रेरित थी, जहां ग्राफ़ के $f:X\to Y$ समूह के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.$

सूक्ति }} या सुपरग्राफ एक फलन का $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समूह है

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times [f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint). }}\end{alignedat}}$

संघ में खत्म $x\in f^{-1}(\mathbb {R} )$ जो अंतिम पंक्ति, समूह के दाहिने हाथ की ओर ऊपर दिखाई देता है $\{x\}\times [f(x),\infty )$ से मिलकर खड़ी किरण होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है $($