चार गति

विशेष सापेक्षता में, चार-संवेग (जिसे संवेग-ऊर्जा या मोमेंर्जी भी कहा जाता है) चार-आयामी दिक्काल के लिए उत्कृष्ट त्रि-आयामी संवेग का सामान्यीकरण है संवेग तीन आयामों में एक सदिश है इसी तरह चार-संवेग दिक्काल में चतुर्विम सदिश है। आपेक्षिक ऊर्जा E और तीन-संवेग p = (p_x, p_y, p_z) = γmv वाले कण का प्रतिपरिवर्ती सदिश चार-संवेग, जहाँ v कण का तीन-वेग है और γ लोरेंत्ज़ कारक, है

$$p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).$$

ऊपर की मात्रा mv कण का सामान्य गैर-सापेक्ष संवेग है और m इसका विराम द्रव्यमान है। सापेक्षतावादी गणनाओं में चार-संवेग उपयोगी है क्योंकि यह लोरेंत्ज़ सहपरिवर्ती सदिश है। इसका तात्पर्य यह है कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनो के अंतर्गत यह कैसे रूपांतरित होता है, इस पर जानकारी रखना आसान है।

उपरोक्त परिभाषा समन्वय संकेत के अंतर्गत प्रयुक्त होती है जो x⁰ = ct है। कुछ लेखक संकेत x⁰ = t का उपयोग करते हैं, जो p⁰ = E/c² के साथ एक संशोधित परिभाषा देता है। सहसंयोजक चार-संवेग p_μ को परिभाषित करना भी संभव है जहां ऊर्जा का चिन्ह (या चयन किए हुए मापीय संकेत के आधार पर तीन-संवेग का चिन्ह) प्रतिवर्त हो।

मिंकोस्की मानक

चार-संवेग के मिन्कोव्स्की मानक के वर्ग की गणना करने से कण के उपयुक्त द्रव्यमान के वर्ग के समान (प्रकाश c की संवेग के कारकों तक) एक लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय मात्रा मिलती है:

$$p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}$$

जहाँ

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

सुसंगति के लिए आव्यूह संकेत (–1, 1, 1, 1) के साथ विशेष सापेक्षता का दूरीक प्रदिश (सामान्य सापेक्षता) चयन किया जाना है। मानक की ऋणात्मकता दर्शाती है कि संवेग बड़े कणों के लिए एक समय-समान चतुर्विम सदिश है। संकेत के दूसरे चयन से कुछ सूत्रों में (जैसे यहां मानक के लिए) संकेत प्रतिवर्न करेगी। यह चयन महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन एक बार बना लेने के बाद इसे स्थिरता बनाए रखना चाहिए।

मिन्कोव्स्की मानक लोरेन्ट्स अचर है, जिसका अर्थ है कि इसका मान लोरेंत्ज़ परिवर्तनों/संदर्भ के विभिन्न विरचना में वृद्धि द्वारा नहीं बदला गया है। अधिक सामान्य रूप से, किसी भी दो चार-चार-आघूर्ण के लिए p और q, के लिए राशि p ⋅ q अपरिवर्तनीय है।

चतुरंग वेग से संबंध

बड़े कण के लिए, चार-संवेग कण के अचर द्रव्यमान m द्वारा कण के चतुरंग वेग से गुणा करके दिया जाता है,

$$p^{\mu }=mu^{\mu },$$

जहां चतुरंग वेग u है

$$u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),$$

और

$$\gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

लोरेंत्ज़ (संवेग v के साथ जुड़ा हुआ है) कारक है, और c प्रकाश की संवेग है।

व्युत्पत्ति

चार-संवेग के लिए सही व्यंजक पर पहुँचने के कई तरीके हैं। एक तरीका यह है कि पहले चतुरंग वेग u = dx/dτ को परिभाषित किया जाए और p = mu सिर्फ परिभाषित करें, संतुष्ट होने के बाद कि यह सही इकाइयों और सही व्यवहार वाला चतुर्विम सदिश है। एक और, अधिक संतोषजनक, दृष्टिकोण न्यूनतम संक्रिया के सिद्धांत के साथ प्रारंभ करना है और ऊर्जा के लिए पद सहित चार-संवेग को प्राप्त करने के लिए लग्रांगियन यांत्रिकी का उपयोग करना है। एक बार में, नीचे दिए गए अवलोकनों का उपयोग करते हुए, संक्रिया (भौतिकी) S एकल सापेक्ष कण से चार-संवेग को परिभाषित कर सकते हैं। यह देखते हुए कि सामान्य रूप से सामान्यीकृत निर्देशांक q_i और विहित संवेग p_i, के साथ संवृत प्रणाली के लिए

$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},$$

यह आसन्न है (स्मरण करते हुए x⁰ = ct, x¹ = x, x² = y, x³ = z और x₀ = −x⁰, x₁ = x¹, x₂ = x², x₃ = x³ वर्तमान मापीय संकेत में) कि

$$p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)$$

एक सहसंयोजक चतुर्विम सदिश है जिसमें तीन-सदिश भाग विहित संवेग (ऋणात्मक) है।

अवलोकन

प्रारंभ में स्वतंत्रता q की एक श्रेणी की प्रणाली पर विचार करें। हैमिल्टन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए प्रक्रिया से गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति में, एक (सामान्य रूप से) प्रक्रिया की भिन्नता के लिए एक मध्यवर्ती चरण में पाता है,