चार-वेग

भौतिकी में, विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक चार-सदिश है। यह गति के आपेक्षिकीय प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।

भौतिक घटना(सापेक्षता) समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी विश्व रेखा कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से प्रकाश की गति से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के उचित समय के अनुसार पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति) हो सकती है। चार-वेग वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के परिमाण का मान, अर्थात मीट्रिक टेन्सर(सामान्य_सापेक्षता) g को चार- वेग U पर लागू करने से प्राप्त मात्रा, अर्थात ||U||² = U ⋅ U = g_μνU^νU^μ, सदैव ±c² बराबर होता है, जहाँ c प्रकाश की गति है। धनात्कम या ऋणात्मक चिन्ह लागू होता है या नहीं यह मीट्रिक हस्ताक्षर के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु की स्थिरता के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय U⁰ = c होता है। एक चार-वेग इस प्रकार विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। यद्यपि यह सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।

वेग

त्रि-आयामी स्थान(एक जड़त्वीय रचना में) में किसी वस्तु का मार्ग समय t के तीन स्थानिक समन्वय चरों xⁱ(t) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी स्थिति सदिश बनाते हैं, जिसे स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है

${\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.$

वेग के घटक ${\vec {u}}$(वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं

${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.$

प्रत्येक घटक मात्र लिखा है

$u^{i}={dx^{i} \over dt}$

सापेक्षता का सिद्धांत

आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के विशेष रचना के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय चरों x^μ(τ) द्वारा परिभाषित किया गया है जहां μ एक अंतरिक्ष-समय अनुक्रमणिका है जो समय के जैसे घटक के लिए मान 0 लेता है, और अंतरिक्ष जैसे निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,

$x^{0}=ct\,,$ प्रत्येक चर एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.$

समय विस्फारण

समय विस्फारण से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं

$dt=\gamma (u)d\tau$

जहां लोरेंत्ज़ कारक,

$\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,$

3डी वेग सदिश ${\vec {u}}$ के यूक्लिडियन नियम u का एक चर है:

$u=\|\ {\vec {u}}\ \|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.$

चार-वेग की परिभाषा

चार-वेग एक समयबद्ध वक्र विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है। चार-वेग $\mathbf {U}$ विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर $\mathbf {X} (\tau )$ परिभाषित किया जाता है:

$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}$

$\mathbf {X}$ चार स्थिति है और $\tau$ उचित समय है।

किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से चलने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए स्थित नहीं है; न ही इसे अन्य सी ह्युंग विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा सदिश अंतरिक्ष जैसे है।

चार-वेग के घटक

समय t और निर्देशांक समय x⁰ के बीच संबंध को

$x^{0}=ct$

द्वारा परिभाषित किया गया है।

उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0:

$U^0=\frac{d{x}^0}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{d(ct)}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=c\frac{dt}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=c$