चाउ समूह

बीजगणितीय ज्यामिति में, किसी भी क्षेत्र पर एक बीजगणितीय प्रजाति (किस्म) के चाउ समूह क्लाउड चेवेली (1958) द्वारा वी-लियांग चाउ के नाम पर एक स्थलीय स्थान समरूपता के बीजगणित ज्यामितीय मे अनुरूप होते हैं। चाउ समूह के तत्व उप-किस्मों (तथाकथित बीजगणितीय चक्र) से उसी तरह से बनते हैं, जैसे कि सरल या सेलुलर होमोलॉजी समूह उप-परिसरों से बनते हैं। जब विविधता समतल होती है, तो चाउ समूहों की कोहोलॉजी समूहों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। पॉइनकेयर द्वैत की तुलना मे एक गुणन होता है, जिसे प्रतिच्छेदन उत्पाद कहा जाता है। चाउ समूह एक बीजगणितीय विविधता के बारे में समृद्ध जानकारी रखते हैं, और वे सामान्य रूप से गणना करने के लिए समान रूप से जटिल होते हैं।

तार्किक तुल्यता और चाउ समूह

निम्नलिखित के लिए, $k$ पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न योजना होने के लिए $k$. क्षेत्र पर विविधता को परिभाषित करता है, तथा किसी भी योजना $X$ के लिए $k$ पर परिमित प्रकार $X$ पर बीजगणितीय चक्र का अर्थ पूर्णांक गुणांक के साथ $X$ की उप-किस्मों का एक परिमित रैखिक संयोजन है। और नीचे उप-किस्मों को $X$ में विवृत समझा जाता है, जब तक कुछ और ना बताया जाये कि, एक प्राकृतिक संख्या के लिए $i$, समूह $Z_{i}(X)$ का $i$-आयामी चक्र या $i$-चक्र, संक्षेप में प्रारम्भ $X$ के समुच्चय पर मुक्त एबेलियन समूह है, $i$ की आयामी उपकिस्म $X$ होती है।

एक प्रकार के लिए $W$ आयाम का $i+1$ और बीजीय क़िस्म का कोई भी कार्य क्षेत्र $f$ पर $W$ जो समान रूप से शून्य का विभाजक नहीं है, बीजगणितीय ज्यामिति $f$ होता है $i$-चक्र

$(f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,$

जहां योग सभी $i$-आयामी उप-वर्गों $Z$ का $W$ और पूर्णांक $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ के साथ $Z$ के लुप्त होने के क्रम को दर्शाता है। इस प्रकार $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ ऋणात्मक है, यदि $f$ के पास $Z$ लुप्त होने के क्रम की परिभाषा के लिए $W$ अद्वितीय मे कुछ संरक्षण की आवश्यकता होती है।

एक योजना के लिए $X$ परिमित प्रकार का $k$, समूह $i$-चक्र तार्किक रूप से शून्य के बराबर का उपसमूह होता है,जो $Z_{i}(X)$ चक्रों द्वारा उत्पन्न $(f)$ सभी के लिए $(i+1)$-आयामी उप-किस्मों मे $W$ का $X$ और सभी गैर-शून्य तार्किक कार्य $f$ पर $W$. चाउ समूह $CH_{i}(X)$ का $i$-आयामी चक्र प्रारम्भ $X$ का भागफल समूह है,जो $Z_{i}(X)$ चक्रों के उपसमूह द्वारा तार्किक रूप से शून्य के बराबर होता है। कभी-कभी कोई $[Z]$ चाउ समूह में एक उपप्रकार $Z$ के वर्ग के लिए लिखता है, और यदि दो उप-किस्मों $Z$ और $W$ में डिस्प्लेस्टाइल $[Z]=[W]$ तो $Z$ तथा $W$ को तार्किक रूप से समकक्ष कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, जब $X$ विभिन्न प्रकार के आयाम $n$ है, तो चाउ समूह $CH_{n-1}(X)$ का भाजक वर्ग समूह है। जब $X$, $k$, पर समतल होता है, तो यह $X$ पर लाइन बंडलों के पिकार्ड समूह के लिए आइसोमोर्फिक होता है।

परिमेय तुल्यता के उदाहरण

प्रक्षेपीय स्थान पर तार्किक तुल्यता

हाइपरसर्फेस द्वारा परिभाषित तार्किक रूप से समतुल्य चक्र प्रक्षेपण स्थान पर निर्माण करना सरल होता है, क्योंकि वे सभी एक ही सदिश बंडल के लुप्त होने वाले बिंदुपथ के रूप में निर्मित किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, $d$ डिग्री के दो सजातीय बहुपद दिए गए हैं, इसलिए $f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$ हम हाइपरसर्फ्स के एक परिवार का निर्माण कर सकते हैं जिसे परिभाषित किया गया है $sf+tg$ का वैनिशिंग लोकस योजनाबद्ध रूप से, इसे इस रूप में बनाया जा सकता है।