चरघातांकी आनमन

चरघातांकी आनमन (ET), चरघातांकी व्यावर्तन, या चरघातांकी माप का परिवर्तन (ECM) एक वितरण स्थानांतरण तकनीक है जिसका उपयोग गणित के कई हिस्सों में किया जाता है। एक यादृच्छिक चर $X$ के विभिन्न चरघातांकी आनमन को $X$ के प्राकृतिक घातीय समूह के रूप में जाना जाता है।

चरघातांकी आनमन का उपयोग मोंटे कार्लो अनुमान में दुर्लभ-घटना अनुकरण और विशेष रूप से अस्वीकृति और महत्व प्रतिदर्श के लिए किया जाता है। गणितीय वित्त में चरघातांकी आनमन को एस्चेर आनमन (या एस्चर परिवर्तन) के रूप में भी जाना जाता है, और इसे प्रायः अप्रत्यक्ष एजवर्थ श्रृंखला के साथ जोड़ा जाता है और इसका उपयोग बीमा वायदा मूल्य निर्धारण जैसे संदर्भों में किया जाता है।

चरघातांकी आनमन की प्रारंभिक औपचारिकता का श्रेय प्रायः एस्चेर को दिया जाता है जबकि महत्व प्रतिदर्श में इसके उपयोग का श्रेय डेविड सिगमंड को दिया जाता है।

अवलोकन

प्रायिकता वितरण $\mathbb {P}$, घनत्व $f$, और आघुर्णजनक फलन (एमजीएफ) $M_{X}(\theta )=\mathbb {E} [e^{\theta X}]<\infty$ के साथ एक यादृच्छिक चर $X$ को देखते हुए, चरघातांकी रूप से आनत माप $\mathbb {P} _{\theta }$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है,

$\mathbb {P} _{\theta }(X\in dx)={\frac {\mathbb {E} [e^{\theta X}\mathbb {I} [X\in dx]]}{M_{X}(\theta )}}=e^{\theta x-\kappa (\theta )}\mathbb {P} (X\in dx),$

जहां $\kappa (\theta )$ संचयी जनक फलन (सीजीएफ) है जिसे

$\kappa (\theta )=\log \mathbb {E} [e^{\theta X}]=\log M_{X}(\theta ).$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम $\mathbb {P} _{\theta }(X\in dx)=f_{\theta }(x)$ को $\theta$-का आनत घनत्व $X$ कहते हैं। यह $f_{\theta }(x)\propto e^{\theta x}f(x)$. को संतुष्ट करता है।

एक यादृच्छिक सदिश $X$ के घातीय आनमन की एक समान परिभाषा है,

$\mathbb {P} _{\theta }(X\in dx)=e^{\theta ^{T}x-\kappa (\theta )}\mathbb {P} (X\in dx),$

जहां $\kappa (\theta )=\log \mathbb {E} [\exp\{\theta ^{T}X\}]$ दिया गया है।

उदाहरण

कई स्थितियों में चरचरघातांकी रूप से आनत माप का प्राचलिक रूप $X$ के समान होता है। एक-आयामी उदाहरणों में सामान्य वितरण, घातीय वितरण, द्विपद वितरण और पॉइसन वितरण सम्मिलित हैं।

उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण की स्थिति में, $N(\mu ,\sigma ^{2})$ आनत घनत्व $f_{\theta }(x)$ ,$N(\mu +\theta \sigma ^{2},\sigma ^{2})$ घनत्व है। नीचे दी गई तालिका आनत घनत्व के अधिक उदाहरण प्रदान करती है।

मूल वितरण	θ-आनत वितरण
$\mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )$	$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}$