आघुर्णजनक फलन

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य इसकी संभाव्यता वितरण का एक वैकल्पिक विनिर्देश है। इस प्रकार, यह संभाव्यता घनत्व कार्यों या संचयी वितरण कार्यों के साथ सीधे काम करने की समानता में विश्लेषणात्मक परिणामों के वैकल्पिक मार्ग का आधार प्रदान करता है। यादृच्छिक चर के भारित रकम के माध्यम से परिभाषित वितरण के क्षण-उत्पन्न कार्यों के लिए विशेष रूप से सरल परिणाम हैं। चूँकि, सभी यादृच्छिक चरों में क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्य नहीं होते हैं।

जैसा कि इसके नाम से स्पष्ट होता है, जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग डिस्ट्रीब्यूशन के क्षण (गणित) की गणना करने के लिए किया जा सकता है: 0 के बारे में nth क्षण को क्षण-जेनरेटिंग फ़ंक्शन के n'th डेरिवेटिव है, जिसका मूल्यांकन किया गया है 0.

वास्तविक-मूल्यवान वितरण (यूनिवेरिएट डिस्ट्रीब्यूशन) के अतिरिक्त, क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्यों को वेक्टर- या मैट्रिक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और यहां तक ​​कि अधिक सामान्य स्थितियों में भी बढ़ाया जा सकता है।

विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) के विपरीत, वास्तविक-मूल्यवान वितरण का क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य हमेशा सम्मलित नहीं होता है। वितरण के क्षण-सृजन फंक्शन के व्यवहार और वितरण के गुणों के बीच संबंध हैं, जैसे कि क्षणों का अस्तित्व।

परिभाषा

संयुक्त त्रिविमीय वितरण $X$ के लिए $F_{X}$हो। $X$ (या $F_{X}$) का क्षण-जनरेटिंग फ़ंक्शन $M_{X}(t)$, का क्षण-जनरेटिंग फ़ंक्शन

$M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]$

बशर्ते यह अपेक्षित मूल्य सम्मलित हो $t$ कुछ पड़ोस (गणित) में 0. अर्थात एक है $h>0$ ऐसा कि सभी के लिए $t$ में $-h<t<h$, $\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]$ सम्मलित। यदि अपेक्षा 0 के पड़ोस में सम्मलित नहीं है, तो हम कहते हैं कि क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य सम्मलित नहीं है।

दूसरे शब्दों में, X का क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान है $e^{tX}$. अधिक सामान्यतः, जब $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$, एक $n$-आयामी यादृच्छिक वेक्टर, और $\mathbf {t}$ एक निश्चित वेक्टर है, एक उपयोग करता है तब $\mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X}$ के अतिरिक्त $tX$:

$M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).$

$M_{X}(0)$ हमेशा सम्मलित होता है और 1 के समान होता है। चूंकि, क्षण-सृजन कार्यों के साथ एक महत्वपूर्ण समस्या यह है कि क्षण और क्षण-सृजन कार्य सम्मलित नहीं हो सकते हैं, क्योंकि इंटीग्रल को पूरी प्रकार से अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है। इसके विपरीत, विशेषता कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) या फूरियर रूपांतरण हमेशा सम्मलित होता है (क्योंकि यह परिमित माप (गणित) के स्थान पर एक बंधे हुए कार्य का अभिन्न अंग है), और इसके अतिरिक्त कुछ उद्देश्यों के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।

क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि इसका उपयोग वितरण के क्षणों को खोजने के लिए किया जा सकता है। श्रृंखला का विस्तार $e^{tX}$ है

$e^{t\,X}=1+t\,X+{\frac {t^{2}\,X^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\,X^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\,X^{n}}{n!}}+\cdots .$

इस प्रकार

${\begin{aligned}M_{X}(t)=\operatorname {E} (e^{t\,X})&=1+t\operatorname {E} (X)+{\frac {t^{2}\operatorname {E} (X^{2})}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {E} (X^{3})}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\operatorname {E} (X^{n})$