गंभीर प्रतिपादक

महत्वपूर्ण घातांक निरंतर किसी चरण संक्रमण के पास भौतिक मात्रा के समान व्यवहार करने वाला प्रमुख प्रतिपादक है। यह माना जाता है कि अभी तक यह सिद्ध नहीं हुआ है, कि यह सार्वभौमिक हैं, अर्थात इसकी भौतिक प्रणाली के विवरण पर निर्भर नहीं किया गया हैं, बल्कि यह केवल इसकी कुछ सामान्य विशेषताओं पर निर्भर करता हैं। उदाहरण के लिए, फेरोमैग्नेटिक सिस्टम के लिए, क्रिटिकल एक्सपोर्टर केवल इस पर निर्भर करते हैं:

सिस्टम का आयाम
संचार की सीमा
घूर्णन (भौतिकी) आयाम

महत्वपूर्ण घातांक के ये गुण प्रयोगात्मक डेटा द्वारा समर्थित हैं। इस प्रकार के विश्लेषणात्मक परिणाम उच्च आयामों में माध्य क्षेत्र सिद्धांत में सैद्धांतिक रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं या जब सटीक समाधान ज्ञात होते हैं जैसे द्वि-आयामी आइसिंग मॉडल इत्यादि। इस प्रकार सामान्य आयामों में सैद्धांतिक उपचार के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह दृष्टिकोण या अनुरूप बूटस्ट्रैप तकनीकों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार के चरण संक्रमण और महत्वपूर्ण घातांक कई भौतिक प्रणालियों में दिखाई देते हैं जैसे कि क्रिटिकल पॉइंट ऊष्मागतिकी में पानी, चुंबकीय प्रणालियों में प्रमुख रूप से उपचालकता में परकोलेशन में और अशांत तरल पदार्थों में उपयोग किया जाता हैं। जिसमें महत्वपूर्ण आयाम का उपयोग होता हैं जिसके ऊपर माध्य क्षेत्र के घातांक वैध हैं, इस प्रकार के सिस्टम के साथ भिन्न होते हैं और अनंत भी हो सकते हैं।

परिभाषा

इस प्रकार के चरण संक्रमण को चलाने वाला नियंत्रण पैरामीटर अधिकांशतः तापमान होता है अपितु दबाव या बाहरी चुंबकीय क्षेत्र जैसे अन्य मैक्रोस्कोपिक चर भी हो सकते हैं। सरलता के लिए, निम्नलिखित चर्चा तापमान के संदर्भ में काम करती है; दूसरे नियंत्रण पैरामीटर में अनुवाद सीधा है। इस प्रकार जिस तापमान पर संक्रमण होता है उसे महत्वपूर्ण तापमान $T c$ द्वारा प्रकट किया जाता है, हम भौतिक मात्रा $f$ के व्यवहार का वर्णन करना चाहते हैं, इस प्रकार महत्वपूर्ण तापमान के आसपास ऊर्जा के नियम के संदर्भ में; हम कम तापमान का परिचय देते हैं

\tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}

जो चरण संक्रमण पर शून्य है, और महत्वपूर्ण घातांक

k

को परिभाषित करता है :

k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log |\tau |}}

इसका परिणाम उस शक्ति नियम में है जिसकी हम इस मान को दर्शाते हैं :

f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यह फलन के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है $f (τ)$ जैसा $τ \to 0$ .

अधिक आम तौर पर कोई उम्मीद कर सकता है

f(\tau )=A\tau ^{k}\left(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \right)

सबसे महत्वपूर्ण क्रिटिकल एक्सपोनेंट

आइए हम मान लें कि सिस्टम के दो अलग-अलग चरण हैं जो आदेश पैरामीटर द्वारा वर्णित हैं $Ψ$ , जो $T c$ के ऊपर विलुप्त हो जाता है .

अव्यवस्थित चरण पर विचार करें ( $τ > 0$ ), क्रमित चरण ( $τ < 0$ ) और महत्वपूर्ण तापमान ( $τ = 0$ ) अलग-अलग चरण होते हैं। इस प्रकार मानक सम्मेलन के बाद, आदेशित चरण से संबंधित महत्वपूर्ण घातांक प्राइम किए गए हैं। अव्यवस्थित (आदेशित) स्थिति के लिए सुपरस्क्रिप्ट/सबस्क्रिप्ट + (-) का उपयोग करने के लिए यह अन्य मानक सम्मेलन भी है। इस प्रकार आदेशित चरण में सामान्य रूप से सहज समरूपता टूटना होता है।

परिभाषा
$Ψ$	आदेश पैरामीटर ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ρ − ρc/ρc$ तरल-गैस महत्वपूर्ण बिंदु के लिए, क्यूरी बिंदु के लिए चुंबकीयकरण, आदि)
$τ$	$T - T c / T c$
$f$	विशिष्ट मुक्त ऊर्जा
$C$	विशिष्ट ऊष्मा; $- T \partial 2 f / \partial T 2$
$J$	स्रोत क्षेत्र ( $P - P c / P c$ जहां P दबाव है और $P c$ तरल-गैस महत्वपूर्ण बिंदु के लिए महत्वपूर्ण दबाव है, कम रासायनिक क्षमता, क्यूरी बिंदु के लिए चुंबकीय क्षेत्र H हैं)
$χ$	संवेदनशीलता, संपीड्यता, आदि; $\partial ψ / \partial J$
$ξ$	सहसंबंध की लंबाई
$d$	स्थानिक आयामों की संख्या
$⟨ ψ (x \to) ψ (y \to)⟩$	सहसंबंध फलन
$r$	स्थानिक दूरी

निम्नलिखित प्रविष्टियों का मूल्यांकन $J = 0$ के लिए छोड़कर $δ$ के प्रवेश करने पर किया जाता है।

Critical exponents for $τ > 0$ (disordered phase)
Greek letter	relation
$α$	$C \propto τ - α$
$γ$	$χ \propto τ - γ$
$ν$	$ξ \propto τ - ν$

Critical exponents for $τ < 0$ (ordered phase)
Greek letter	relation
$α'$	$C \propto (- τ) - α'$
$β$	$Ψ \propto (- τ) β$
$γ'$	$χ \propto (- τ) - γ'$
$ν'$	$ξ \propto (- τ) - ν'$

Critical exponents for $τ = 0$
Greek letter	relation
$δ$	$J \propto Ψ δ$
$η$	$⟨ ψ (0) ψ (r)⟩ \propto r - d + 2 - η$

महत्वपूर्ण घातांक विशिष्ट मुक्त ऊर्जा $f (J, T)$ से प्राप्त किए जा सकते हैं, इस प्रकार स्रोत और तापमान के फलन के रूप में। सहसंबंध की लंबाई कार्यात्मक (गणित) $F [J; T]$ से प्राप्त की जा सकती है।

ये संबंध द्वि- और त्रि-आयामी प्रणालियों में महत्वपूर्ण बिंदु के समीप सटीक हैं। चूंकि, चार आयामों में, शक्ति के नियमों को लॉगरिदमिक कारकों द्वारा संशोधित किया जाता है। ये मनमाने ढंग से समीप आयामों में प्रकट नहीं होते हैं, लेकिन ठीक चार नहीं होते हैं, जिनका उपयोग आयामी नियमितीकरण के रूप में किया जा सकता है।^[1]

ईज़िंग-जैसी प्रणालियों के मीन फील्ड क्रिटिकल एक्सपोर्टर

एक अदिश क्षेत्र जिनमें से ईज़िंग मॉडल प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है, जिसके लिए महत्वपूर्ण घातांक के मौलिक लैंडौ सिद्धांत के लिए मीन फील्ड सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, जो इस प्रकार दिया गया हैं।

\alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3

यदि हम डेरिवेटिव शब्दों को जोड़ते हैं तो इसे गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत के माध्य क्षेत्र में परिवर्तित कर देते हैं, हमें मिलता है

\eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}

महत्वपूर्ण घटनाओं के अध्ययन में प्रमुख खोजों में से यह है कि महत्वपूर्ण बिंदुओं का औसत क्षेत्र सिद्धांत केवल तभी सही होता है जब सिस्टम का अंतरिक्ष आयाम निश्चित आयाम से अधिक होता है जिसे महत्वपूर्ण आयाम कहा जाता है, इस प्रकार क्षेत्रीय सिद्धांत में ऊपरी महत्वपूर्ण आयाम जो भौतिक को बाहर करता है, इस प्रकार इसके अधिकतम स्थितियों में आयाम 1, 2 या 3 तक होते हैं। इस प्रकार किसी औसत क्षेत्र सिद्धांत के साथ समस्या यह है कि महत्वपूर्ण घातांक अंतरिक्ष आयाम पर निर्भर नहीं करते हैं। इस प्रकार यह महत्वपूर्ण आयामों के नीचे मात्रात्मक विसंगति की ओर जाता है, जहां वास्तविक महत्वपूर्ण घातांक माध्य क्षेत्र मानों से भिन्न होते हैं। यह कम अंतरिक्ष आयाम पर गुणात्मक विसंगति भी पैदा कर सकता है, जहां इस प्रकार वास्तव में महत्वपूर्ण बिंदु सम्मिलित नहीं हो सकता है, भले ही औसत क्षेत्र सिद्धांत अभी भी भविष्यवाणी करता है कि है। यह ईज़िंग मॉडल के लिए आयाम 1 का मामला है जहाँ कोई चरण संक्रमण नहीं है। अंतरिक्ष आयाम जहां माध्य क्षेत्र सिद्धांत गुणात्मक रूप से गलत हो जाता है, उसे निम्न महत्वपूर्ण आयाम कहा जाता है।

प्रायोगिक मूल्य

इसका सबसे सटीक मापा गया मान $α$ उपद्रव हीलियम जिसे लैम्ब्डा संक्रमण भी कहा जाता हैं जिसके चरण संक्रमण के लिए -0.0127(3) मान दिया जाता है। इस प्रकार के प्रमाण में दबाव के अंतर को कम करने के लिए मान को अंतरिक्ष यान पर मापा गया था।^[2] यह मान सबसे सटीक सैद्धांतिक निर्धारणों के साथ महत्वपूर्ण असहमति में है^[3]^[4]^[5] उच्च तापमान विस्तार तकनीकों, मोंटे कार्लो विधि विधियों और अनुरूप बूटस्ट्रैप से आ रहा है।^[6]

Unsolved problem in physics:

हीलियम-4 में सुपरफ्लुइड ट्रांज़िशन के लिए ताप क्षमता महत्वपूर्ण घातांक $α$ के प्रायोगिक और सैद्धांतिक निर्धारणों के बीच विसंगति की व्याख्या करें।^[6]

(more unsolved problems in physics)

सैद्धांतिक भविष्यवाणियां

इस प्रकार के प्रारूप के मोंटे कार्लो सिमुलेशन के माध्यम से महत्वपूर्ण घातांक का मूल्यांकन किया जा सकता है। इस प्रथम सिद्धांत पद्धति की सटीकता उपलब्ध कम्प्यूटेशनल संसाधनों पर निर्भर करती है, जो इस प्रकार अनंत मात्रा सीमा तक जाने और सांख्यिकीय त्रुटियों को कम करने की क्षमता निर्धारित करती है। इसके अन्य तकनीकें महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव की सैद्धांतिक समझ पर निर्भर करती हैं। सबसे व्यापक रूप से लागू होने वाली तकनीक पुनर्सामान्यीकरण समूह है। इस प्रकार अनुरूप बूटस्ट्रैप हाल ही में विकसित तकनीक है, जिसने ईज़िंग क्रिटिकल एक्सपोनेंट्स के लिए मुख्य रूप से सटीकता प्राप्त की है।

स्केलिंग कार्य

महत्वपूर्ण स्केलिंग के प्रकाश में, हम आयाम रहित मात्राओं के संदर्भ में सभी ऊष्मागतिकी मात्राओं को पुनः व्यक्त कर सकते हैं। महत्वपूर्ण बिंदु के अधिकतम समीप, कम मात्रा की शक्तियों के कुछ अनुपातों के संदर्भ में सब कुछ फिर से व्यक्त किया जा सकता है। ये स्केलिंग कार्य हैं।

स्केलिंग फ़ंक्शंस की उत्पत्ति को रीनॉर्मलाइज़ेशन ग्रुप से देखा जा सकता है। इसके महत्वपूर्ण बिंदु इन्फ्रारेड निश्चित बिंदु है। इस प्रकार महत्वपूर्ण बिंदु के पर्याप्त रूप से छोटे तथा इसके समीप हम पुनर्सामान्यीकरण समूह को रेखीयकृत कर सकते हैं। इसका मूल रूप से अर्थ यह है कि सिस्टम को कारक द्वारा पुनर्विक्रय करना $a$ पुनर्विक्रय ऑपरेटरों और स्रोत क्षेत्रों के बराबर होगा, जहाँ $a Δ$ के लिए $Δ$ का उपयोग करते हैं। इसलिए, हम स्केल की गई स्वतंत्र मात्राओं के संदर्भ में सभी मात्राओं का पुनर्मूल्यांकन कर सकते हैं।

स्केलिंग संबंध

लंबे समय से यह माना जाता था कि क्रांतिक घातांक क्रांतिक तापमान के ऊपर और नीचे समान थे, इस प्रकार उदाहरण के लिए $α \equiv α'$ या $γ \equiv γ'$ . अब यह दिखाया गया है कि यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है: जब सतत समरूपता स्पष्ट रूप से असतत समरूपता के लिए अप्रासंगिक (पुनः सामान्यीकरण समूह अर्थ में) अनिसोट्रॉपी द्वारा टूट जाती है, तो प्रतिपादक $γ$ और $γ'$ समान नहीं हैं।^[7] महत्वपूर्ण घातांक ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इस प्रकार ये सार्वभौमिकता वर्गों में आते हैं और स्केलिंग संबंध और हाइपरस्केलिंग संबंधों का पालन करते हैं

{\begin{aligned}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{aligned}}

इन समीकरणों का अर्थ है कि केवल दो स्वतंत्र घातांक हैं, उदाहरण के लिए, $ν$ और $η$ . यह सब पुनर्सामान्यीकरण समूह के सिद्धांत से होता है।

टपकन सिद्धांत

चरण संक्रमण और महत्वपूर्ण घातांक भी रिसाव प्रक्रियाओं में दिखाई देते हैं जहां अधिकार प्राप्त करने वाली साइटों की एकाग्रता या जाली के लिंक चरण संक्रमण के नियंत्रण पैरामीटर हैं, भौतिकी में इसके मौलिक चरण संक्रमण में तापमान की तुलना करने में किया जाता हैं। इस प्रकार इसके सबसे सरल उदाहरणों में से दो आयामी वर्ग में बर्नोली परकोलेशन है। साइटों को विभिन्न तरीकों से $p$ के लिए संभाव्यता के साथ अधिकार प्राप्त किया गया है . क्लस्टर को निकटतम पड़ोसी कब्जे वाली साइटों के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके कम मानों को प्राप्त के लिए $p$ कब्जे वाले स्थल केवल छोटे स्थानीय समूह बनाते हैं। परकोलेशन दहलीज पर $p_{c}\approx 0.5927$ (जिसे महत्वपूर्ण संभाव्यता भी कहा जाता है) फैला हुआ क्लस्टर बनता है जो इस प्रकार सिस्टम के विपरीत साइटों तक फैला होता है, और इस प्रकार हमारे पास दूसरे क्रम का चरण संक्रमण होता है जो सार्वभौमिक महत्वपूर्ण घातांक की विशेषता है।^[8]^[9] अंतःस्रवण के लिए सार्वभौमिकता वर्ग ईज़िंग सार्वभौमिकता वर्ग से भिन्न है। उदाहरण के लिए, सहसंबंध लंबाई महत्वपूर्ण घातांक है $\nu =4/3$ की तुलना में 2डी बर्नौली परकोलेशन के लिए $nu equals 1$

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