खत्री-राव गुणनफल

गणित में, आव्यूह के खत्री-राव उत्पाद को परिभाषित किया गया है^[1]^[2]^[3]

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}

जिसमें आईजे-वें ब्लॉक m_ip_i × n_jq_j है इस प्रकार इसमें A और B के संबंधित ब्लॉकों के क्रोनेकर उत्पाद का आकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं, यहाँ पर दोनों आव्यूह (गणित) के पंक्ति और स्तंभ विभाजन की संख्या को बराबर मानते हुए इसके उत्पाद का आकार (Σ_i m_ip_i) × (Σ_j n_jq_j) होता है।

उदाहरण के लिए, यदि A और B दोनों हैं 2 × 2 विभाजित आव्यूह जैसे:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

इस प्रकार हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं:

\mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c c}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].

यह क्रोनकर उत्पाद ट्रेसी उत्पाद का सबमैट्रिक्स है,^[4] इस प्रकार यहाँ पर दो आव्यूहों में से (इस उदाहरण में प्रत्येक विभाजन क्रोनकर उत्पाद ट्रेसीउत्पाद के कोने में विभाजन है) और इसे ब्लॉक क्रोनकर उत्पाद भी कहा जा सकता है।

कॉलम-वार क्रोनकर उत्पाद

दो आव्यूहों के स्तंभ-वार क्रोनेकर उत्पाद को खत्री-राव उत्पाद भी कहा जा सकता है। यह उत्पाद मानता है कि आव्यूह के विभाजन उनके कॉलम हैं। इस स्थिति में m₁ = m, p₁ = p, n = q और प्रत्येक जे के लिए: n_j = p_j = 1. परिणामी उत्पाद ए है mp × n आव्यूह जिसमें से प्रत्येक कॉलम A और B के संबंधित कॉलम का क्रोनकर उत्पाद है। कॉलम विभाजन के साथ पिछले उदाहरणों से आव्यूह का उपयोग करना:

\mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

जिससे कि:

\mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].

खत्री-राव उत्पाद का यह स्तंभ-वार संस्करण डेटा विश्लेषणात्मक प्रसंस्करण के रैखिक बीजगणित दृष्टिकोण में उपयोगी है^[5] और विकर्ण आव्यूह से निपटने वाली व्यस्त समस्याओं के समाधान को अनुकूलित करने में किया जाता हैं।^[6]^[7]

इसलिए 1996 में आगमन के कोण (एओए) और बहुपथ संकेतों की देरी का अनुमान लगाने के लिए कॉलम-वार खत्री-राव उत्पाद प्रस्तावित किया गया था^[8] और सिग्नल स्रोतों के चार निर्देशांक^[9] डिजिटल एंटीना सरणी पर किया था।

फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद

आव्यूह का फेस स्प्लिटिंग उत्पाद

आव्यूह उत्पाद की वैकल्पिक अवधारणा, जो पंक्तियों की दी गई मात्रा के साथ आव्यूह के पंक्ति-वार विभाजन का उपयोग करती है, का प्रस्ताव वैडिम सिल्यूसर वी द्वारा 1996 में किया गया था।^[10]^[9]^[11]^[12]^[13]^[14]

इस आव्यूह ऑपरेशन को आव्यूह के फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद का नाम दिया गया था^[11]^[13]या ट्रांसपोज़्ड खत्री–राव उत्पाद . इस प्रकार का ऑपरेशन दो मैट्रिसेस के पंक्ति-दर-पंक्ति क्रोनकर उत्पादों पर आधारित है। विभाजित पंक्तियों के साथ पिछले उदाहरणों से आव्यूह का उपयोग करना:

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{bmatrix}},\quad \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{bmatrix}},

इस प्रकार उक्त परिणाम प्राप्त किया जा सकता है:^[9]^[11]^[13]: $\mathbf {C} \bullet \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{bmatrix}}.$

मुख्य गुण

ट्रांसपोज़ (वी. स्लीसर, 1996^[9]^[11]^[12]):
$\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}$ ,
बिलिनियरिटी और सहयोगीता:^[9]^[11]^[12]

${\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}$

जहाँ A', B और C आव्यूह हैं, और k एक अदिश है,

$a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a$ ,^[12]
जहाँ $a$ is a vector,
द मिक्स्ड-प्रोडक्ट प्रॉपर्टी (वी. स्लीसर, 1997^[12]):
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)$ ,

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ ,^[13]

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )$ ^[15]

$(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)\circ \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)$ ,^[16]
जहाँ $\circ$ हैडमार्ड उत्पाद को दर्शाता है,
$(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )$ ,^[12]
$\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C}$ ,^[9]
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ ,^[16]
$(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} [(\mathbf {A} \ast \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \ast \mathbf {D} )]$ , जहाँ $\mathbf {P}$ is a permutation matrix.^[7]
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )$ ,^[13]^[15]
इसी प्रकार:
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} )$ ,
$c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}$ ,^[12]

$c\ast d=c\otimes d$ ,
जहाँ $c$ and $d$ वेक्टर हैं,
$\left(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}}\right)d=\left(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}}\right)c$ ,^[17] $d^{\textsf {T}}\left(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=c^{\textsf {T}}\left(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)$ ,
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)$ ,^[18]
जहाँ $c$ and $d$ वेक्टर हैं (यह 3 और 8 गुणों का एक संयोजन है), इसी तरह:
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),$
${\mathcal {F}}\left(C^{(1)}x\star C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y$ ,
जहाँ $\star$ is vector convolution and ${\mathcal {F}}$ फूरियर रूपांतरण मैट्रिक्स है (यह परिणाम काउंट स्केच गुणों का विकसित होना है^[19]),
$\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} \right)$ ,^[20]
जहाँ $\mathbf {A}$ is $r\times c$ matrix, $\mathbf {B}$ is $r\times k$ matrix, $\mathbf {1_{c}}$ is a vector of 1's of length $c$ , and $\mathbf {1_{k}}$ is a vector of 1's of length $k$ या
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right)$ ,^[21]
जहाँ $\mathbf {M}$ is $r\times c$ matrix, $\circ$ means element by element multiplication and $\mathbf {1}$ is a vector of 1's of length $c$ .
$\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ]\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)$ ,
जहाँ $[\circ ]$ मेट्रिसेस के पेनेट्रेटिंग फेस प्रोडक्ट को दर्शाता है।^[13] Similarly:
$\mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{c}} )\circ (\mathbf {1_{k}} \otimes \mathbf {N} )$ , where $\mathbf {P}$ is $c\times r$ matrix, $\mathbf {N}$ is $k\times r$ matrix,.
$\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A}$ ,^[12]

$vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w}$ ^[13]= $vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))$ ,

$\operatorname {vec} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {w}$ ,^[21]
जहाँ $\mathbf {w}$ के विकर्ण तत्वों से युक्त वेक्टर है $\mathbf {W_{d}}$ , $\operatorname {vec} (\mathbf {A} )$ means stack the columns of a matrix $\mathbf {A}$ वेक्टर देने के लिए एक दूसरे के ऊपर।
$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )$ .^[13]^[15]
इसी प्रकार:
${\begin{aligned}(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} d),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} d)\end{aligned}}$ ,
जहाँ $c$ and $d$ वेक्टर हैं

उदाहरण^[18]

\begin{aligned} ([\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] ∙ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]) ([\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]) ([\begin{matrix} σ_{1} & 0 \\ 0 & σ_{2} \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} ρ_{1} & 0 \\ 0 & ρ_{2} \end{matrix}]) ([\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] * [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}]) \\ = & ([\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] ∙ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]) ([\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{1} & 0 \\ 0 & σ_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} ρ_{1} & 0 \\ 0 & ρ_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{1} & 0 \\ 0 & σ_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \end{matrix} \end{aligned}

प्रमेय^[18]

अगर

M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c)}

, कहाँ

T^{(1)},\dots ,T^{(c)}

स्वतंत्र घटक हैं यादृच्छिक आव्यूह

T

स्वतंत्र समान रूप से वितरित पंक्तियों

T_{1},\dots ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d}

के साथ इस प्रकार है कि-

E\left[(T_{1}x)^{2}\right]=\left\|x\right\|_{2}^{2}

और

E\left[(T_{1}x)^{p}\right]^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}

,

फिर किसी भी वेक्टर $x$ के लिए

\left|\left\|Mx\right\|_{2}-\left\|x\right\|_{2}\right|<\varepsilon \left\|x\right\|_{2}

संभावना के साथ $1-\delta$ यदि पंक्तियों की मात्रा

m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}.

विशेष रूप से, यदि की प्रविष्टियाँ $T$ हैं $\pm 1$ पा सकते हैं

m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}\left({\frac {1}{c}}\log 1/\delta \right)^{c}\right)

जो की जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा से मेल खाता है $m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta \right)$ कब $\varepsilon$ छोटा है।

फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद को ब्लॉक करें

मल्टी-फेस रडार मॉडल के संदर्भ में ट्रांसपोज़्ड ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद^[15]

वैडिम सिल्यूसर की परिभाषा के अनुसार वी सिल्यूसर ने^[9]^[13] ब्लॉक में पंक्तियों की दी गई मात्रा के साथ दो ब्लॉक आव्यूह का ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],

के रूप में लिखा जा सकता है:

\mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].

दो ब्लॉक आव्यूह के ट्रांसपोज़्ड ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद (या खत्री-राव उत्पाद का ब्लॉक कॉलम-वार संस्करण) ब्लॉक में कॉलम की दी गई मात्रा के साथ दृश्य है:^[9]^[13]

\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].

मुख्य गुण

स्थान परिर्वतन करना :
$\left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}$ ^[15]

अनुप्रयोग

फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद और ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद डिजिटल एंटीना सरणियों के टेन्सर -आव्यूह सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। इन परिचालनों में भी उपयोग किया जाता है:

कनवल्शन और टेंसर स्केच संचालन को कम करने के लिए कृत्रिम होशियारी और यंत्र अधिगम सिस्टम,^[18]* लोकप्रिय प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण मॉडल, और समानता के हाइपरग्राफ मॉडल,^[22]
सांख्यिकी में सामान्यीकृत रेखीय सरणी मॉडल^[21]* दो- और बहुआयामी बी-स्पलाइन#पी-स्पलाइन|पी-स्पलाइन डेटा का सन्निकटन,^[20]* जीनोटाइप x पर्यावरण अंतःक्रियाओं का अध्ययन करता हैं।^[23]

यह भी देखें

क्रोनकर उत्पाद
हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)

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