कैंटर फलन

इकाई अंतराल पर कैंटर फलन का ग्राफ़

गणित में, कैंटर फलन एक फलन (गणित) का उदाहरण है जो सतत फलन है, लेकिन निरपेक्ष सांतत्य नहीं है। यह विश्लेषण में विशेष रूप से प्रतिउदाहरण है, क्योंकि यह सतत, व्युत्पन्न और माप के बारे में अनुभवहीन अंतर्ज्ञान को चुनौती देता है। हालाँकि यह हर जगह सतत है और इसका लगभग हर जगह शून्य व्युत्पन्न है, फिर भी इसका मान 0 से 1 हो जाता है क्योंकि इसका तर्क 0 से 1 तक पहुँच जाता है। इस प्रकार, एक अर्थ में फलन बहुत हद तक स्थिरांक जैसा लगता है जो बढ़ नहीं सकता है, और दूसरे में, यह वास्तव में दिष्ट रूप से बढ़ता है।

इसे कैंटर त्रिक फलन, लेबेस्ग्यू फलन भी कहा जाता है। लेबेस्ग्यू एकल फलन, कैंटोर-विटाली फलन, डेविल्स स्टेरकेस, कैंटर स्टेरकेस फलन, और कैंटर-लेब्सग फलन भी कहा जाता है। जॉर्ज कैंटर Cantor (1884) ने कैंटर फलन प्रारंभ किया और उल्लेख किया कि शेफ़र ने बताया कि यह कार्ल गुस्ताव एक्सल हार्नैक द्वारा दावा किए गए कलन का मूलभूत प्रमेय के विस्तार का प्रति उदाहरण था। कैंटर फलन पर शेफ़र (1884), लेब्सग्यू (1904) और विटाली (1905) द्वारा चर्चा की गई और इसे लोकप्रिय बनाया गया है।

परिभाषा

कैंटर फलन का पुनरावृत्त निर्माण

कैंटर फलन को परिभाषित करने के लिए $c:[0,1]\to [0,1]$, मान लीजिये $x$, $[0,1]$ में कोई भी संख्या हो और प्राप्त $c(x)$ है निम्नलिखित चरणों द्वारा:

1. $x$ आधार 3 में अभिव्यक्त करना।
2. यदि आधार-3 का प्रतिरूपण $x$ में 1 है, प्रत्येक अंक के पहले 1 को 0 से बदलें।
3. किसी भी शेष 2s को 1s से बदलें।
4. परिणाम को द्विआधारी संख्या के रूप में समझें। परिणाम $c(x)$ है।

उदाहरण के लिए:

• ${\tfrac {1}{4}}$ इसका त्रिक प्रतिरूपण 0.02020202 है... कोई 1s नहीं है इसलिए अगला चरण अभी भी 0.02020202 है... इसे 0.01010101 के रूप में फिर से लिखा गया है... यह ${\tfrac {1}{3}}$ का द्विआधारी प्रतिरूपण है , इसलिए $c({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{3}}$।
• ${\tfrac {1}{5}}$ इसका त्रिक प्रतिरूपण 0.01210121 है... पहले 1 के बाद के अंकों को 0s से प्रतिस्थापित करके 0.01000000 उत्पन्न किया जाता है... इसे दोबारा नहीं लिखा गया है क्योंकि इसमें कोई 2s नहीं है। यह ${\tfrac {1}{4}}$ का द्विआधारी प्रतिरूपण है, इसलिए $c({\tfrac {1}{5}})={\tfrac {1}{4}}$।
• ${\tfrac {200}{243}}$ इसका त्रिक प्रतिरूपण 0.21102 (या 0.211012222...) है। 0.21 उत्पन्न करने के लिए पहले 1 के बाद के अंकों को 0s से प्रतिस्थापित किया जाता है। इसे 0.11 के रूप में पुनः लिखा गया है। यह ${\tfrac {3}{4}}$ का द्विआधारी प्रतिरूपण है , इसलिए $c({\tfrac {200}{243}})={\tfrac {3}{4}}$।

समान रूप से, यदि ${\mathcal {C}}$ कैंटर समुच्चय [0,1] है, फिर कैंटर फलन को $c:[0,1]\to [0,1]$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$c(x)={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}},&x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}\in {\mathcal {C}}\ \mathrm {for} \ a_{n}\in \{0,1\};\\\sup _{y\leq x,\,y\in {\mathcal {C}}}c(y),&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\\\end{cases}}$

यह सूत्र अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि कैंटर समुच्चय के प्रत्येक सदस्य का अद्वितीय आधार 3 प्रतिरूपण होता है जिसमें केवल अंक 0 या 2 होते हैं। (कुछ सदस्यों के लिए) ${\mathcal {C}}$, त्रिक विस्तार 2's के अनुगामी के साथ दोहराया जा रहा है और 1 में समाप्त होने वाला वैकल्पिक गैर-दोहराया जाने वाला विस्तार है। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {1}{3}}$ = 0.1₃ = 0.02222...₃ कैंटर समुच्चय का सदस्य है)। तब से $c(0)=0$ और $c(1)=1$, और $c$ पर ${\mathcal {C}}$ एकदिष्ट है, यह स्पष्ट है कि $0\leq c(x)\leq 1$ सभी $x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}$ के लिए भी धारण करता है।

गुण

कैंटर फलन सतत फलन और माप (गणित) के बारे में अनुभवहीन अंतर्ज्ञान को चुनौती देता है; यद्यपि यह हर जगह सतत है और लगभग हर जगह इसका व्युत्पन्न शून्य है, ${\textstyle c(x)}$ 0 से 1 तक चला जाता है ${\textstyle x}$, 0 से 1 तक जाता है, और बीच में प्रत्येक मान लेता है। कैंटर फलन वास्तविक फलन का सबसे अधिकांशतः उद्धृत उदाहरण है जो एकसमान सतत है (सटीकता से, यह घातांक α = log 2/log 3 का होल्डर सतत है) लेकिन निरपेक्ष सांतत्य नहीं है। यह फॉर्म के अंतराल पर स्थिर है (0.x₁x₂x₃...x_n022222..., 0.x₁x₂x₃....x_n200000...), और कैंटर समुच्चय में सम्मिलित प्रत्येक बिंदु इन अंतरालों में से एक में नहीं है, इसलिए इसका व्युत्पन्न कैंटर समुच्चय के बाहर 0 है। दूसरी ओर, ऊपर वर्णित अंतराल समापन बिंदु वाले कैंटर समुच्चय के अगणनीय उपसमुच्चय में किसी भी बिंदु पर इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है।

कैंटर फलन को कैंटर समुच्चय पर समर्थित 1/2-1/2 बर्नौली माप μ के संचयी वितरण फलन के रूप में भी देखा जा सकता है: ${\textstyle c(x)=\mu ([0,x])}$