एफ़िन ज्यामिति

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एफाइन ज्यामिति में, C1 के माध्यम से और B1B2 के समानांतर रेखा को खोजने के लिए, और B2 के माध्यम से और B1C1 के समानांतर रेखा को खोजने के लिए प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है: उनका प्रतिच्छेदन C2 संकेतित अनुवाद का परिणाम है।

गणित में, एफाइन ज्यामिति वही है जो यूक्लिडियन ज्यामिति का अवशेष है जब (गणितज्ञ प्रायः कहते हैं "अज्ञात") दूरी और कोण की मीट्रिक धारणा।

चूंकि समांतर रेखाओं की धारणा मुख्य गुणों में से एक है जो किसी भी मीट्रिक से स्वतंत्र है, एफाइन ज्यामिति को प्रायः समानांतर रेखाओं का अध्ययन माना जाता है। इसलिए, प्लेफेयर का स्वयंसिद्ध (दिया गया है कि एक रेखा L और एक बिंदु P जो L पर नहीं है, L के समानांतर ठीक एक रेखा है जो P से होकर गुजरती है।) एफाइन ज्यामिति में मूलभूत है। एफाइन ज्यामिति में आंकड़ों की तुलना एफाइन रूपांतरण के साथ की जाती है, जो मैपिंग हैं जो बिंदुओं के संरेखण और रेखाओं के समानांतरवाद को संरक्षित करते हैं।

एफाइन ज्यामिति को दो तरह से विकसित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं।

सिंथेटिक ज्यामिति में, एक एफाइन समष्टि उन बिंदुओं का एक समुच्चय होता है जो लाइनों के एक समुच्चय से जुड़ा होता है, जो कुछ स्वयंसिद्धों (जैसे कि प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध) को संतुष्ट करता है।

रेखीय बीजगणित के आधार पर एफाइन ज्यामिति का भी विकास किया जा सकता है। इस संदर्भ में एक एफाइन समष्टि परिवर्तनों के सेट से सुसज्जित बिंदुओं का एक सेट है (वह विशेषण प्रतिचित्रण (मैपिंग) है), अनुवाद, जो एक सदिश स्थान (किसी दिए गए फील्ड पर, आमतौर पर वास्तविक संख्याएँ) बनाता है, और ऐसा कि किसी दिए गए तर्कसंगत बिंदुओं के जोड़े के लिए पहला बिंदु दूसरे बिंदु पर भेजने वाला एक अद्वितीय अनुवाद है; दो अनुवादों की रचना अनुवादों के सदिश स्थान में उनका योग है।

अधिक ठोस शब्दों में, यह एक ऐसी संक्रिया होने के बराबर है जो किसी भी क्रमित बिंदुओं के युग्म को एक सदिश और अन्य संक्रिया से जोड़ता है जो किसी सदिश द्वारा एक बिंदु के रूपांतरण को एक और बिंदु प्रदान करने की अनुमति प्रदान करता है; इन संक्रियाओं को कई स्वयंसिद्धों को पूरा करने की आवश्यकता होती है (विशेष रूप से दो क्रमिक अनुवादों का योग सदिश द्वारा अनुवाद का प्रभाव होता है)। किसी भी बिंदु को "मूल" के रूप में चुनकर, बिंदु सदिश के साथ एकाकी समतुल्यता में होते हैं, लेकिन मूल के लिए कोई अधिमानित विकल्प नहीं होता है; इस प्रकार मूल (शून्य सदिश) को "अज्ञात" कर संबंधित सदिश स्थान से प्राप्त के रूप में एक संबधित स्थान देखा जा सकता है।

मीट्रिक को अज्ञात होने का विचार मैनिफॉल्ड के सिद्धांत में लागू किया जा सकता है। इसे एफाइन संबंध पर लेख में विकसित किया गया है।

इतिहास

1748 में, लियोनहार्ड यूलर ने अपनी पुस्तक इंट्रोडक्टियो इन एनालिसिस इनफिनिटोरम (भाग 2, अध्याय XVIII) में एफाइन (लैटिन एफिनिटी, "संबंधित") शब्द प्रस्तुत किया। 1827 में, अगस्त मोबियस ने अपने डेर बैरीसेंट्रिशे कैलकुल (अध्याय 3) में एफाइन ज्यामिति पर लिखा।

फेलिक्स क्लेन के एरलांगेन कार्यक्रम के बाद, एफाइन ज्यामिति को यूक्लिडियन ज्यामिति के सामान्यीकरण के रूप में मान्यता दी गई थी।

1918 में, हर्मन वेइल ने अपने टेक्स्ट समष्टि, समय, द्रव्य के लिए एफाइन ज्यामिति का उल्लेख किया। उन्होंने गणितीय भौतिकी के अपने विकास के शुरुआती चरणों में सदिश जोड़ और घटाव को प्रस्तुत करने के लिए एफाइन ज्यामिति का उपयोग किया। बाद में, ई टी व्हिटेकर ने लिखा:

वेइल की ज्यामिति ऐतिहासिक रूप से रोचक है क्योंकि विस्तार से काम करने वाली पहली ज्यामिति रही है: यह एक विशेष प्रकार के समानांतर परिवहन पर आधारित है [...चार-विमीय दिक्-काल में प्रकाश-संकेतों की विश्व-रेखाओं का उपयोग करके]। इन विश्व-रेखाओं में से किसी एक के लघु तत्व को शून्य सदिश कहा जा सकता है; तो प्रश्न में समांतर परिवहन ऐसा है कि यह एक बिंदु पर किसी शून्य-सदिश को पड़ोसी बिंदु पर एक शून्य-सदिश की स्थिति में ले जाता है।

स्वयंसिद्ध प्रणालियों

एफाइन ज्यामिति के लिए कई स्वयंसिद्ध दृष्टिकोणों को आगे रखा गया है:

पप्पस का नियम

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पप्पस का नियम: यदि लाल रेखाएँ समानांतर हैं और नीली रेखाएँ समानांतर हैं, तो बिंदीदार काली रेखाएँ समानांतर होनी चाहिए।

जैसा कि एफाइन ज्यामिति समानांतर रेखाओं से संबंधित है, अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा नोट किए गए समानांतरों के गुणों में से एक को आधार के रूप में लिया गया है:

• मान लीजिए कि $A,B,C$ एक रेखा पर हैं और $A',B',C'$ दूसरी रेखा पर हैं। यदि रेखाएँ $AB'$ और $A'B$ समानांतर हैं और रेखाएँ $BC'$ और $B'C$ समानांतर हैं, तो रेखाएँ $CA'$ और $C'A$ समानांतर हैं।

प्रस्तावित पूर्ण अभिगृहीत प्रणाली में बिंदु, रेखा, और रेखा युक्त बिंदु आदिम धारणाएँ हैं:

• दो बिंदु केवल एक रेखा में अंतर्विष्ट हैं।
• किसी भी रेखा l और किसी भी बिंदु P के लिए, l पर नहीं, केवल एक रेखा होती है जिसमें P सम्मिलित होता है और l का कोई बिंदु नहीं होता है। यह रेखा l के समान्तर कहलाती है।
• प्रत्येक रेखा में कम से कम दो बिंदु होते हैं।
• कम से कम तीन बिन्दु ऐसे हैं जो एक रेखा से संबंधित नहीं होते हैं।

एच.एस.एम. कॉक्सेटर के अनुसार:

इन पांच स्वयंसिद्धों की रुचि इस तथ्य से बढ़ जाती है कि उन्हें तर्कवाक्यों के एक विशाल निकाय में विकसित किया जा सकता है, न केवल यूक्लिडियन ज्यामिति में, बल्कि समय और स्थान की मिन्कोवस्की की ज्यामिति में भी (1 + 1 विमाओं की साधारण स्थिति में, जबकि सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को 1 + 3 की आवश्यकता होती है)। यूक्लिडियन या मिन्कोस्कीयन ज्यामिति का विस्तार लंबकोणीयता (ओर्थोगोनैलिटी), आदि के विभिन्न स्वयंसिद्धों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

घूर्णन के लिए क्या व्याख्या की जाती है, इसके अनुरूप विभिन्न प्रकार की एफाइन ज्यामिति होती है। यूक्लिडियन ज्यामिति घूर्णन के सामान्य विचार से मेल खाती है, जबकि मिन्कोवस्की की ज्यामिति अतिपरवलयिक घूर्णन से मेल खाती है। लंबवत रेखाओं के संबंध में, जब विमान सामान्य घूर्णन के अधीन होता है तो वे लंबवत रहते हैं। मिन्कोव्स्की ज्यामिति में, अतिपरवलयिक-लंबकोणीय रेखाएँ उस संबंध में बनी रहती हैं जब विमान अतिपरवलयिक घूर्णन के अधीन होता है।

तर्कसंगत संरचना

दो अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को जोड़कर तर्कसंगत ज्यामिति के स्वयंसिद्धों से समतल संबधित ज्यामिति का एक स्वयंसिद्ध उपचार बनाया जा सकता है:

1. (समानता का एफाइन स्वयंसिद्ध) एक बिंदु A और एक रेखा r दिए जाने पर, जो A से होकर नहीं जाती, A से होकर जाने वाली अधिक से अधिक एक रेखा होती है, जो r से नहीं मिलती।
2. (डेज़रगेस) सात अलग-अलग बिंदु $A,A',B,B',C,C',O$ दिए गए हैं, जैसे कि $AA'$, $BB'$, और $CC'$