एप्सिलॉन नंबर

गणित में, इप्साइलन संख्याएँ ट्रांसफिनिट संख्या का एक संग्रह है, जिसकी विशेषता को इस प्रकार परिभाषित करना है कि वे घातीय मानचित्र निश्चित बिंदु (गणित) हैं। परिणामस्वरूप, वे चुने हुए घातीय मानचित्र के अनुप्रयोगों की एक परिमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से उपलब्ध नहीं हैं और जोड़ और गुणा जैसे दुर्बल संचालन के माध्यम से 0 से पहुंच योग्य नहीं हैं। क्रमसूचक संख्या अंकगणित के संदर्भ में जॉर्ज कैंटर द्वारा मूल इप्साइलन संख्या प्रस्तुत किए गए थे; वे क्रमसूचक संख्या हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं

$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,$

जिसमें ω सबसे छोटा अनंत क्रमसूचक है।

कम से कम इस तरह के क्रमसूचक ε₀ (उच्चारण इप्साइलन शून्य या इप्साइलन शून्य ), जिसे छोटे सीमा क्रम के अनुक्रम से ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति द्वारा प्राप्त सीमा के रूप में देखा जा सकता है:

$\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}\,,$

कहाँ sup अंतिम फलन है, जो वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के स्थिति में संघ को समुच्चय करने के बराबर है।

घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमबद्ध सदस्यता द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप$\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots$. क्रमसूचक ε₀ अभी भी गिनती योग्य है, जैसा कि कोई भी इप्साइलन संख्या है जिसका सूचकांक गिनती योग्य है (अगणनीय क्रमसूचक संख्या उपस्थित हैं, और अगणनीय इप्साइलन संख्या जिनका सूचकांक एक अगणनीय क्रमसूचक संख्या है)।

सबसे छोटा इप्साइलन संख्या ε₀ कई गणितीय प्रेरण प्रमाणों में दिखाई देता है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, ट्रांसफिनिट प्रेरण केवल ε तक आवश्यक है₀ (जैसा कि हम वास्तविक हैं की संगति प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में है)।गेंटज़ेन द्वारा इसका उपयोग मीनो अंकगणित की स्थिरता को प्रमाणित करने के लिए, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ दिखाते हैं कि मीनो अंकगणित अच्छी तरह से स्थापित संबंध प्रमाणित नहीं कर सकता है। जैसे, प्रूफ-थ्योरिटिक क्रमसूचक संख्या विश्लेषण में, मीनो अंकगणित के सिद्धांत की शक्ति के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)।

कई बड़े इप्साइलन संख्याओं को वेबलेन फलन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

इप्साइलन संख्याओं के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान जॉन हॉर्टन कॉनवे और डोनाल्ड नुथ द्वारा वास्तविक संख्या प्रणाली में की गई है, जिसमें सभी सर्जरी सम्मिलित हैं जो आधार के निश्चित बिंदु हैं।

हेसनबर्ग (1906) परिभाषित गामा (Gamma) संख्याएं (योगात्मक क्रमसूचक संख्या देखें), γ> 0 होने के लिए जैसे कि α+γ = γ जब भी α <γ, और डेल्टा संख्या (देखें योगात्मक क्रमसूचक संख्या मल्टीविकालय देखें) Δ> 1 ऐसा है कि αΔ = Δजब भी 0 <α <Δ, और इप्साइलन संख्या संख्या ε> 2 हो जैसे कि α^ω= e जहाँ भी 1 <a <e उनके गामा संख्या फॉर्म ω^{β के हैं, और उसके डेल्टा संख्याएँ फॉर्म ωωB के हैं ।}

क्रमसूचक ε संख्या

आधार α के साथ क्रमिक घातांक की मानक परिभाषा है:

• $\alpha ^{0}=1\,,$
• $\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,$ जब $\beta$ एक तत्काल पूर्ववर्ती $\beta -1$ है।
• $\alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace$, जब कभी भी $\beta$ एक सीमा क्रमसूचक है।

इस परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि किसी भी निश्चित क्रमसूचक के लिए α > 1, मानचित्र (गणित) $\beta \mapsto \alpha ^{\beta }$ एक सामान्य फलन है, इसलिए यह सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु (गणित) है।जब $\alpha =\omega$, ये निश्चित बिंदु ठीक से क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्या हैं।

• $\varepsilon _{0}=\sup \lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \rbrace \,,$
• $\varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \rbrace \,,$ जब $\beta$ एक तत्काल पूर्ववर्ती $\beta -1$ है।
• $\varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace$, जब कभी भी $\beta$ एक सीमा क्रमसूचक है।

क्योंकि

$\omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,$

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0+1}}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}={({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0})}^{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0^{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$