एकगुणांकी बहुपद

बीजगणित में, एकगुणांकी (मोनिक) बहुपद एक प्रकार का एकल-चर बहुपद होता है (अर्थात, एकचर बहुपद) जिसमें अग्रणी गुणांक (उच्चतम कोटि का अशून्य गुणांक) 1 के बराबर होता है। अतः एकगुणांकी बहुपद को निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित किया गया है:

$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}$

एकचर बहुपद

यदि किसी बहुपद में केवल एक अनिर्धार्य (एकचर बहुपद) है, तो सामान्यतः पद या तो उच्चतम कोटि से निम्नतम कोटि ("अवरोही घातें") या निम्नतम कोटि से उच्चतम कोटि ("आरोही घातें") में लिखे जाते हैं। कोटि n के x में एक एकचर बहुपद अतः इसे भी उपरोक्त व्यापक रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जहाँ

c_n ≠ 0, c_n−1, ..., c₂, c₁ और c₀

नियत हैं एवं बहुपद के गुणांक हैं।

यहाँ पद c_nxⁿ को अग्रणी पद कहा जाता है, और इसका गुणांक c_n अग्रणी गुणांक है; यदि अग्रणी गुणांक 1 है, तो एकचर बहुपद को एकगुणांकी कहा जाता है।

गुण

गुणनात्मकत: संवृत

सभी एकगुणांकी बहुपदों का समुच्चय (किसी दिए गए (एकात्मक) रिंग A पर और किसी दिए गए चर x के लिए) गुणन के अधीन संवृत है, क्योंकि दो एकगुणांकी बहुपदों के प्रमुख पदों का उत्पाद उनके उत्पाद का अग्रणी पद है। इस प्रकार, एकगुणांकी बहुपद, बहुपद रिंग A[x] का एक गुणनात्मक अर्धसमूह (सेमीग्रुप) बनाते हैं। वास्तविकता में, चूंकि अचर बहुपद 1 एकगुणांकी होता है, यह अर्धसमूह एक एकगुणांकी (मोनोइड) भी होता है।

अंशतः क्रमित

सभी एकगुणांकी बहुपदों (दिए गए रिंग के ऊपर) के समुच्चय के विभाज्यता संबंध का प्रतिबंध अंशतः क्रमित होते है, और इस प्रकार इस समुच्चय को एक पोसेट बनाता है। कारण यह है कि यदि p(x) q(x) को विभाजित करता है और q(x), p(x) को दो एकगुणांकी बहुपदों p और q के लिए विभाजित करता है, तो p और q बराबर होने चाहिए। संबंधित संपत्ति सामान्य रूप से बहुपदों के लिए सही नहीं है, यदि रिंग में 1 के अतिरिक्त प्रतीप्य अवयव सम्मिलित है।

बहुपद समीकरण हल

अन्य स्थितियों में, एकगुणांकी बहुपदों के गुण और उनके संबंधित एकगुणांकी बहुपद समीकरण गुणांक रिंग A पर निर्णायक रूप से निर्भर करते हैं। यदि A एक फील्ड है, तो प्रत्येक अशून्य बहुपद p में ठीक एक संबद्ध एकगुणांकी बहुपद q: p होता है जो इसके अग्रणी गुणांक से विभाजित होता है। इस तरीके से, तब, किसी भी असतहीय बहुपद समीकरण p(x) = 0 को एक समतुल्य एकगुणांकी समीकरण q(x) = 0 से परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वास्तविक द्वितीय कोटि समीकरण

$\ ax^{2}+bx+c=0$ (कहाँ पे $a\neq 0$)

द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

$\ x^{2}+px+q=0$,

 p = b/a  और  q = c/a को प्रतिस्थापित करके। इस प्रकार, समीकरण

$2x^{2}+3x+1=0$

एकगुणांकी समीकरण के बराबर है

$x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.$

सामान्य द्विघात हल सूत्र तब थोड़ा अधिक सरलीकृत रूप है:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).$

एकीकरण

दूसरी ओर, यदि गुणांक रिंग कोई फील्ड नहीं है, तो और भी महत्वपूर्ण अंतर हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांक गुणांक वाले एक गुणांकी बहुपद समीकरण के ऐसे परिमेय हल नहीं हो सकते जो पूर्णांक नहीं हैं। इस प्रकार समीकरण

$\ 2x^{2}+3x+1=0$

संभवतः कुछ परिमेय मूल हो सकते हैं, जो एक पूर्णांक नहीं है, (और आकस्मिक रूप से इसका एक मूल -1/2 होता है); जबकि समीकरण

$\ x^{2}+5x+6=0$

तथा

$\ x^{2}+7x+8=0$

केवल पूर्णांक हल या अपरिमेय हल हो सकते हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले एकगुणांकी बहुपदों की मूल बीजगणितीय पूर्णांक कहलाती हैं।

पूर्णांकीय प्रांत पर एकगुणांकी बहुपद समीकरणों के हल पूर्णांकीय विस्तारण और पूर्णांकीय रूप से संवृत प्रांत के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, और इसलिए बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के लिए। सामान्य तौर पर, मान लें कि A एक पूर्णांकीय प्रांत है, और पूर्णांकीय प्रांत B का एक उपसमूह भी है। B के उपसमुच्चय C पर विचार करें, जिसमें B अवयव सम्मिलित है, जो A पर एकगुणांकी बहुपद समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:

$C:=\{b\in B:\exists \,p(x)\in A[x]\,,{\hbox{ which is monic and such that }}p(b)=0\}\,.$

समुच्चय C में A समाविष्ट है, क्योंकि कोई भी a ∈ A समीकरण x - a = 0 को संतुष्ट करता है। इसके अतिरिक्त, यह सिद्ध करना संभव है कि C योग और गुणन के अंतर्गत संवृत्त है। इस प्रकार, C, B का उपरिंग है। रिंग C को B में A का पूर्णांकीय संवरण कहा जाता है; या A का केवल पूर्णांकीय समापन, यदि B A का अंश फील्ड है; और C के तत्वों को A पर पूर्णांकीय कहा जाता है। यदि यहाँ $A=\mathbb {Z}$ (पूर्णांकों का रिंग) और $B=\mathbb {C}$ (जटिल संख्याओं का फील्ड) है, तो C बीजगणितीय पूर्णांकों का रिंग है।

अतार्किकता

यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो p तत्वों वाले परिमित फील्ड $\mathrm {GF} (p)$ पर कोटि n के एकगुणांकी अप्रासंगिक बहुपदों की संख्या नेकलेस गणना फलन $N_{p}(n)$ के बराबर है।

यदि एकगुणांकि होने की बाध्यता को हटा दिया जाए तो यह संख्या $(p-1)N_{p}(n)$ हो जाती है।

इन एकगुणांकी अप्रासंगिक बहुपदों की जड़ों की कुल संख्या $nN_{p}(n)$ है। यह फील्ड $\mathrm {GF} (p^{n})$ ($p^{n}$तत्वों के साथ) के तत्वों की संख्या है जो किसी भी छोटे फील्ड से संबंधित नहीं हैं।

p = 2 के लिए, इस तरह के बहुपदों का उपयोग सामान्यतः छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

बहुभिन्नरूपी बहुपद

सामान्यतः, कई चर के बहुपदों के लिए एकगुणांकी पद नियोजित नहीं होता है। हालांकि, कई चरों में एक बहुपद को केवल "अंतिम" चर में बहुपद के रूप में माना जा सकता है, लेकिन अन्य में बहुपद होने वाले गुणांक के साथ। यह कई तरीकों से किया जा सकता है, इस पर निर्भर करता है कि किस चर को "आखिरी वाले" के रूप में चुना गया है। उदाहरण के लिए, वास्तविक बहुपद

$\ p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8$

एकगुणांकी है, जिसे R[y][x] में एक तत्व के रूप में माना जाता है, अर्थात, चर x में एक एकचर बहुपद के रूप में, गुणांक के साथ जो स्वयं y में एकचर बहुपद हैं:

$p(x,y)=1\cdot x^{2}+(2y^{2}+3)\cdot x+(-y^{2}+5y-8)$;

लेकिन p(x, y) R[x][y] में एक तत्व के रूप में एकगुणांकी नहीं है, तब से उच्चतम कोटि गुणांक (अर्थात, y² गुणांक) 2x − 1 है।

एक वैकल्पिक सम्मेलन है, जो उपयोगी हो सकता है उदाहरण के लिए ग्रॉबनर बेसिस संदर्भों में: एक बहुपद को एकगुणांकी कहा जाता है, यदि इसका अग्रणी गुणांक (बहुभिन्नरूपी बहुपद के रूप में) 1 है। दूसरे पदों में, मान लें कि p = p(x1,...,xn) n चरों में एक अशून्य बहुपद है, और यह कि इन चरों में सभी ("एकगुणांकी") एकपदी के समुच्चय पर एक एकपदी क्रम दिया गया है, अर्थात, x₁,...,x_n द्वारा उत्पन्न मुक्त क्रमविनिमेय मोनोइड का कुल क्रम, इकाई के साथ सबसे कम तत्व के रूप में, और गुणन के अधीन करते हुए। उस स्थिति में, यह क्रम p में उच्चतम गैर-लुप्त होने वाले पद को परिभाषित करता है, और p को एकगुणांकी कहा जा सकता है, यदि उस पद में एक गुणांक है।

किसी भी परिभाषा के अनुसार "एकगुणांकी बहुभिन्नरूपी बहुपद" "साधारण" (अविभाजित) एकगुणांकी बहुपद के साथ कुछ गुण साझा करते हैं। उल्लेखनीय रूप से, एकगुणांकी बहुपदों का गुणनफल फिर से एकगुणांकी होता है।

यह भी देखें

• जटिल द्विघात बहुपद

संदर्भ

• Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Pearson Education. ISBN 9780201763904.