आयतन रूप

गणित में, आयतन रूप या शीर्ष-आयामी अवकलन मैनीफोल्ड के बराबर डिग्री का अवकलक होता है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर $M$ आयाम का $n$, आयतन रूप $n$-प्रपत्र के रूप में होता है। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) का एक तत्व होता है, इसे $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$, के रूप में निरूपित किया जाता है, $\Omega ^{n}(M)$. मैनिफोल्ड वैनिशिंग आयतन रूप को स्वीकार करता है यदि यह केवल ओरियंटेबल रूप में होता है। तो ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई आयतन रूप होते हैं, क्योंकि आयतन रूप को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा आयतन रूप प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित करता है।

एक आयतन रूप एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक फलन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक आयतन रूप माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त लेब्सग समाकलन द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। आयतन रूप का निरपेक्ष मान आयतन के रूप में होता है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड आयतन रूप या प्सयूडो आयतन रूप में भी जाना जाता है। यह माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं हो पर इसकी विविधता पर सम्मलित होता है।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं और इसलिए उनके पास आयतन रूप होता है। और अधिक सामान्यतः, $n$ सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर एक्सटेरियर पावर आयतन के रूप में होती है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल आयतन होते हैं, चूंकि उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा आयतन रूप की चॉइस की अनुमति देती है। ओरिएंटेड प्सयूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक संबद्ध कैनोनिकल आयतन होता है।

ओरिएंटेशन

नीचे केवल अवकलनीयता मैनिफ़ोल्ड के ओरिएंटेशन के बारे में बताया जाता है, यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अधिक सामान्य धारणा है।

एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल होता है, यदि इसमें एक निर्देशांक एटलस होता है, जिसके सभी ट्रांजीशन फलनों में धनात्मक जैकोबियन डीटरमीनेट होते हैं। ऐसे अधिकतम एटलस का चयन एक ओरिएंटेशन $M.$ के रूप में होता है, एक आयतन रूप $\omega$ पर $M$ निर्देशांक चार्ट के एटलस के रूप में प्राकृतिक विधि से एक ओरिएंटेशन $M$ को जन्म देता है, जिससे कि वह $\omega$ यूक्लिडियन आयतन रूप के धनात्मक गुणक के लिए $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$के रूप में होते है।

आयतन रूप $M.$पर फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देशन की भी अनुमति देता है और इस प्रकार स्पर्शरेखा सदिश $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ के आधार को दाएँ हाथ से कॉल करते है यदि यह इस रूप में होते है

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों के संग्रह पर धनात्मक डीटरमीनेट के साथ $n$ आयामों में सामान्य रैखिक मैपिंग के समूह $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ द्वारा कार्य किया जाता है और इस प्रकार सामान्य रैखिक समूह मानचित्रण में $n$ धनात्मक डीटरमीनेट के साथ आयाम के रूप में सिद्धांत बनाते हैं $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ के रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल $M,$ के रूप में होता है और इसलिए आयतन रूप से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल की कैनोनिकल कमी देता है, जो कि $M$ संरचना समूह के साथ एक उप-बंडल में होते है $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ का तात्पर्य यह है कि आयतन रूप G संरचना को जन्म देता है $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ संरचना $M.$ पर फ़्रेमों पर विचार करके कमी स्पष्ट रूप से संभव है,

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

(1)

इस प्रकार एक आयतन रूप एक $\mathrm {SL} (n)$ संरचना को भी जन्म देता है। इसके विपरीत एक दिया गया $\mathrm {SL} (n)$ संरचना विशेष रैखिक फ़्रेमों के लिए (1) लगाकर और फिर आवश्यक n रूप को हल करके आयतन रूप को पुनर्प्राप्त कर सकती है और इस प्रकार $\omega$ अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता होती है।

मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल यदि इसमें कहीं भी गायब होने वाला आयतन रूप न हो तो वास्तव में, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ के रूप में एक विरूपण प्रत्यावर्तन होता है, $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$ जहां धनात्मक वास्तविकताएं अदिश आव्यूह के रूप में अंतर्निहित हैं। इस प्रकार प्रत्येक $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ संरचना को कम किया जा सकता है और इस प्रकार $\mathrm {SL} (n)$ संरचना,और $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ संरचनाएँ ओरिएंटेशन के साथ मेल खाती हैं, चूंकि $M.$ अधिक ठोस रूप से, डीटरमीनेट बंडल की ट्रिवियल $\Omega ^{n}(M)$ ओरिएंटेबिलिटी के बराबर होती है और एक लाइन बंडल ट्रिवियल के रूप में होता है यदि केवल इसमें कहीं भी गायब होने वाला अनुभाग नहीं होता है। इस प्रकार, आयतन रूप का अस्तित्व ओरिएंटेबिलिटी के बराबर होता है।

मापन से संबंध

See also: मैनिफोल्ड पर घनत्व

आयतन रूप दिया गया है $\omega$ एक ओरियंटेबल मैनिफोल्ड पर घनत्व $|\omega |$ ओरिएंटेशन को भूलकर प्राप्त नॉनओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर एक आयतन प्सयूडो रूप के रूप में होते है। घनत्व को सामान्यतः नॉन ओरिएंटेशन मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया जाता है।

कोई भी आयतन प्सयूडो रूप $\omega$ बोरेल सेट पर एक माप को परिभाषित करता है और इसलिए कोई भी आयतन रूप को परिभाषित करता है

$${\displaystyle }$$