आदिम भाग और सामग्री

बीजगणित में, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की विषयवस्तु (या, सम्मिलित, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में गुणांक के साथ) इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। इस तरह के बहुपद का मूल भाग बहुपद का भागफल होता है। इस प्रकार एक बहुपद इसके मूल भाग और इसकी विषयवस्तु का उत्पाद है, और यह गुणन गुणांक की रिंग (गणित) की एक इकाई (रिंग थ्योरी) द्वारा विषयवस्तु के गुणन तक अद्वितीय है (और मूल भाग का गुणन) इकाई के गुणक व्युत्क्रम द्वारा होता है।

एक बहुपद मूल है यदि इसकी विषयवस्तु 1 के बराबर है। इस प्रकार बहुपद का मूल भाग एक मूल बहुपद है।

गॉस की प्रमेय का (बहुपद) बहुपदों के लिए गॉस की प्रमेय बताती है कि मूल बहुपदों का गुणनफल (समान अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में गुणांक के साथ) भी मूल है। इसका तात्पर्य यह है कि दो बहुपदों के उत्पाद की विषयवस्तु और मूल भाग क्रमशः विषयवस्तु का उत्पाद और मूल भागों का उत्पाद है।

जैसा कि सबसे बड़े साधारण विभाजकों की गणना बहुपद गुणनखंडन की तुलना में साधारण तौर पर बहुत आसान है, बहुपद गुणनखंड एल्गोरिथ्म का पहला चरण साधारण तौर पर इसके मूल भाग-विषयवस्तु गुणनखंड की गणना है (देखें बहुपदों का गुणनखंडन § मूल भाग-विषयवस्तु गुणनखंडन) फिर विषयवस्तु और मूल भाग को अलग-अलग करने के लिए गुणनखंडन समस्या को कम किया जाता है।

विषयवस्तु और मूल भाग को तर्कसंगत संख्याओं पर बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और अधिक साधारण तौर पर, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन के अंशों के क्षेत्र में बहुपदों के लिए बीजगणित में, पूर्णांक गुणांक वाले एक शून्येतर बहुपद की विषयवस्तु (या, अधिक सामान्यतः, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में गुणांक के साथ) इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। इस तरह के बहुपद का मूल भाग बहुपद का भागफल होता है। यह अनिवार्य रूप से परिमेय संख्याओं पर पूर्णांकों और बहुपदों पर बहुपदों के गुणनखंडन और बहुपदों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना की समस्याओं को समतुल्य बनाता है।

पूर्णांक से अधिक

पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के लिए, विषयवस्तु या तो गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक या इसका योगात्मक व्युत्क्रम हो सकता है। पसंद मनमाना है, और एक और सम्मेलन पर निर्भर हो सकता है, जो सम्मिलित मूल भाग का अग्रणी गुणांक सकारात्मक होता है।

उदाहरण के लिए, की विषयवस्तु $-12x^{3}+30x-20$ या तो 2 या −2 हो सकता है, क्योंकि 2 −12, 30 और −20 का महत्तम समापवर्तक है। यदि कोई 2 को विषयवस्तु के रूप में चुनता है, तो इस बहुपद का मूल भाग है

$-6x^{3}+15x-10={\frac {-12x^{3}+30x-20}{2}},$

और इस प्रकार मूल-भाग-विषयवस्तु गुणनखंड है

$-12x^{3}+30x-20=2(-6x^{3}+15x-10).$

कलात्मक संबंधी कारणों से, कोई प्रायः एक नकारात्मक विषयवस्तु को चुनना पसंद करता है, यहाँ -2, मूल-भाग-विषयवस्तु गुणनखंड देता है

$-12x^{3}+30x-20=-2(6x^{3}-15x+10).$

गुण

इस लेख के शेष भाग में, हम एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन पर बहुपदों पर विचार करते हैं R, जो सम्मिलित पूर्णांक बीजगणितीय गुणों का रिंग हो सकता है, या एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद रिंग हो सकता है। जिसमे R, सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कम्यूटेटिव रिंग्स में अच्छी तरह से परिभाषित हैं, और एक यूनिट (रिंग थ्योरी) द्वारा गुणा करने के लिए R अद्वितीय हैं।

विषय वस्तु c(P) बहुपद का P में गुणांक के साथ R इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है, और, जैसे एक इकाई द्वारा गुणन तक परिभाषित किया गया है। मूल भाग pp(P) का P भागफल है P/c(P) का P इसकी विषयवस्तु द्वारा यह एक बहुपद है जिसमें गुणांक R हैं , जो एक इकाई द्वारा गुणा करने के लिए अद्वितीय है। यदि विषयवस्तु को एक इकाई u द्वारा गुणा करके बदल दिया जाता है, तो समानता बनाए रखने के लिए मूल भाग को उसी इकाई से विभाजित करके बदला जाना चाहिए।

$$P=c(P)\operatorname {pp} (P),$$

जिसे मूल-भाग-कंटेंट गुणनखंड P कहा जाता है,

विषयवस्तु और मूल भाग के मुख्य गुण गॉस के लेम्मा (बहुपद) गॉस के लेम्मा के परिणाम हैं, जो दावा करता है कि दो मूल बहुपदों का उत्पाद मूल है, जहां एक बहुपद मूल है यदि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। यह संकेत करता है:

• बहुपदों के उत्पाद की विषयवस्तु उनकी विषयवस्तु का उत्पाद है:
  $$c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).$$
• बहुपदों के गुणनफल का मूल भाग उनके मूल भागों का गुणनफल होता है:
  $$\operatorname {pp} (P_{1}P_{2})=\operatorname {pp} (P_{1})\operatorname {pp} (P_{2}).$$
• बहुपदों के महानतम सामान्य भाजक की विषयवस्तु सबसे बड़ा सामान्य भाजक (में R) उनकी विषयवस्तु का:
  $$c(\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (c(P_{1}),c(P_{2})).$$
• बहुपदों के महानतम सामान्य भाजक का मूल भाग सबसे बड़ा सामान्य भाजक (में R) उनके मूल भागों में:
  $$\operatorname {pp} (\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (\operatorname {pp} (P_{1}),\operatorname {pp} (P_{2})).$$
• एक बहुपद के बहुपदों का पूर्ण गुणनखंडन R गुणनखंड का उत्पाद है (में R) मूल भाग की विषयवस्तु और गुणनखंडन (बहुपद रिंग में)।

अंतिम संपत्ति का अर्थ है कि एक बहुपद के मूल-भाग-विषयवस्तु के गुणन की गणना विषयवस्तु के अलग-अलग गुणनखंड और मूल भाग के पूर्ण गुणन की गणना को कम कर देती है। यह साधारण तौर पर दिलचस्प है, क्योंकि प्राइम-भाग-कंटेंट फ़ैक्टराइज़ेशन की गणना में केवल सबसे बड़ा सामान्य विभाजक संगणना सम्मिलित है R, जो सम्मिलित गुणनखंडन से कहीं अधिक आसान है।

तर्कसंगत से अधिक

मूल-भाग-कंटेंट गुणनखंड को परिमेय गुणांक वाले बहुपदों तक इस प्रकार बढ़ाया जा सकता है।

एक बहुपद दिया P परिमेय गुणांकों के साथ, समान भाजक के साथ इसके गुणांकों को फिर से लिखकर d, कोई फिर से लिख सकता है P जैसा

$P={\frac {Q}{d}},$

कहाँ Q पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है। की विषयवस्तु P द्वारा भागफल है d की विषयवस्तु Q, वह है

$c(P)={\frac {c(Q)}{d}},$

और मूल भाग P का मूल भाग है Q:

$\operatorname {pp} (P)=\operatorname {pp} (Q).$

यह दिखाना आसान है कि यह परिभाषा सामान्य विभाजक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है, और यह कि मूल-भाग-विषयवस्तु कारक मान्य रहता है:

$P=c(P)\operatorname {pp} (P).$

इससे पता चलता है कि परिमेय पर प्रत्येक बहुपद पूर्णांक पर एक अद्वितीय मूल बहुपद के साथ सहयोगी तत्व है, और यह कि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म इस मूल बहुपद की गणना की अनुमति देता है।

एक परिणाम यह है कि परिमेय पर बहुपदों का गुणनखंडन पूर्णांकों पर मूल बहुपदों के गुणनखंडन के बराबर है। चूंकि एक क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपद पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों की तुलना में अधिक सामान्य हैं, ऐसा लग सकता है कि इस तुल्यता का उपयोग पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के गुणनखंड के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, सच्चाई बिल्कुल विपरीत है: तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपदों को गुणनखंड करने के लिए प्रत्येक ज्ञात कुशल एल्गोरिदम समस्या मॉड्यूलर अंकगणित को कुछ प्रमुख संख्या को कम करने के लिए इस समानता का उपयोग करता है। p (बहुपदों का गुणनखंड देखें)।

इस तुल्यता का उपयोग बहुपदों के महानतम सामान्य विभाजकों की गणना के लिए भी किया जाता है, हालांकि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को परिमेय गुणांक वाले बहुपदों के लिए परिभाषित किया गया है। वास्तव में, इस मामले में, यूक्लिडियन एल्गोरिथम को कई भिन्नों के अलघुकरणीय अंश की गणना करने की आवश्यकता होती है, और यह यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को एल्गोरिदम की तुलना में कम कुशल बनाता है जो केवल पूर्णांकों पर बहुपदों के साथ काम करता है (बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक देखें)।

अंशों के क्षेत्र में

पूर्ववर्ती खंड के परिणाम मान्य रहते हैं यदि पूर्णांक बीजगणितीय गुणों की रिंग और परिमेय के क्षेत्र को क्रमशः किसी अद्वितीय गुणनखंड डोमेन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है R और इसके अंशों का क्षेत्र K.

यह सम्मिलित बहुभिन्नरूपी बहुपद को गुणनखंड करने के लिए उपयोग किया जाता है, और गणितीय प्रमाण के लिए कि एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन पर बहुपद की रिंग भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है।

बहुपद मूलों का अद्वितीय गुणनखंडन गुण

एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद रिंग एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है। एक अद्वितीय कारक डोमेन पर बहुपद रिंग के लिए भी यही सच है। इसे प्रमाणित करने के लिए, यह अविभाज्य मामले पर विचार करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि सामान्य मामले को गणितीय प्रेरण द्वारा अनिश्चितताओं की संख्या से घटाया जा सकता है।

यूक्लिड की लेम्मा का एक सीधा परिणाम अद्वितीय गुणनखंड है: यदि एक अलघुकरणीय तत्व किसी उत्पाद को विभाजित करता है, तो यह कारकों में से एक को विभाजित करता है। एक क्षेत्र पर एकतरफा बहुपदों के लिए, यह बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होता है, जो स्वयं यूक्लिडियन एल्गोरिथम से उत्पन्न होता है।

तो चलो R एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन हो, जो एक फ़ील्ड नहीं है, और R[X] अविभाजित बहुपद रिंग R. एक अलघुकरणीय तत्व r में R[X] या तो एक अप्रासंगिक तत्व है R या एक अलघुकरणीय मूल बहुपद।

अगर r और R एक उत्पाद $P_{1}P_{2}$ को विभाजित करता है, दो बहुपदों का, फिर यह विषयवस्तु को विभाजित करता है $c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).$ इस प्रकार, यूक्लिड की लेम्मा द्वारा R, यह विषयवस्तु में से एक को या बहुपदों में से एक को विभाजित करता है।

अगर r क्या नहीं है R, यह एक मूल बहुपद है (क्योंकि यह अप्रासंगिक है)। फिर यूक्लिड की लेम्मा इन R[X] यूक्लिड की लेम्मा से तुरंत परिणाम देता है K[X], कहाँ K के अंशों का क्षेत्र है R.

बहुभिन्नरूपी बहुपदों का गुणनखंड

See also: बहुपदों का गुणनखंडन

एक क्षेत्र या पूर्णांक पर एक बहुभिन्नरूपी बहुपद को गुणनखंड करने के लिए, इसे एक बहुपद बहुपद के रूप में एक बहुपद बहुपद के रूप में माना जा सकता है जिसमें एक कम अनिश्चित है। फिर प्राथमिक भाग और विषयवस्तु को अलग-अलग करने के लिए गुणनखंड को कम किया जाता है। चूंकि विषयवस्तु में एक कम अनिश्चित है, इसे विधि पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) को लागू करके कारक बनाया जा सकता है। मूल भाग को गुणनखंडित करने के लिए, मानक विधि में गुणांकों के अनिर्धारकों के लिए पूर्णांकों को इस तरह से प्रतिस्थापित करना सम्मिलित है, जो शेष चर में बहुपद की डिग्री को नहीं बदलता है, परिणामी अविभाज्य बहुपद को गुणनखंडित करता है, और परिणाम को गुणनखंड में मूल भाग ऊपर उठाता है।

यह भी देखें

• वास्तविक मूल प्रमेय

संदर्भ

• B. Hartley; T.O. Hawkes (1970). Rings, modules and linear algebra. Chapman and Hall. ISBN 0-412-09810-5.
• Page 181 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. pp. 68–69. ISBN 0-521-33718-6.