आंशिक अंश अपघटन

बीजगणित में, आंशिक अंश अपघटन या तर्कसंगत अंश का आंशिक अंश विस्तार (अर्थात, अंश (गणित) जैसे कि अंश और भाजक दोनों बहुपद हैं) संचालन है जिसमें अंश को बहुपद के योग और सरल भाजक के साथ एक या अधिक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है (संभवतः शून्य)।

आंशिक अंश अपघटन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि यह तर्कसंगत कार्य के साथ विभिन्न संगणनाओं के लिए एल्गोरिदम प्रदान करता है, जिसमें एंटीडेरिवेटिव्स की स्पष्ट गणना टेलर श्रृंखला विस्तार, व्युत्क्रम Z-रूपांतरण, और व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण सम्मिलित है। इस अवधारणा की खोज स्वतंत्र रूप से 1702 में जोहान बर्नौली और गॉटफ्रीड लीबनिज दोनों ने की थी।

प्रतीकों में, फार्म के तर्कसंगत अंश का आंशिक अंश अपघटन ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ जहाँ पर f और g बहुपद हैं, इसकी अभिव्यक्ति है

$${\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}$$

जहाँ

p(x) बहुपद है, और, प्रत्येक के लिए j, भाजक g_j (x) अलघुकरणीय बहुपद का घातांक है (जो धनात्मक अंशों के बहुपदों में गुणनखंडनीय नहीं है), और अंश f_j (x) इस अलघुकरणीय बहुपद की घात से छोटी कोटि का बहुपद है।

जब स्पष्ट संगणना सम्मिलित होती है, तो मोटे अपघटन को अधिकांशतः पसंद किया जाता है, जिसमें परिणाम के विवरण में अलघुकरणीय बहुपद को वर्ग-मुक्त बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बहुत सरल-से-गणना वर्ग-मुक्त गुणनखंडन द्वारा बहुपद गुणनखंडन को परिवर्तित करने की अनुमति देता है। यह अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है, और इनपुट बहुपद के गुणांक पूर्णांक या परिमेय संख्या होने पर अपरिमेय संख्या को प्रस्तुत करने से बचता है।

मूल सिद्धांत

माना

$$R(x)={\frac {F}{G}}$$

एक परिमेय भिन्न हो, जहाँ F और G एक क्षेत्र में अनिश्चित (चर) x में अविभाज्य बहुपद हैं। निम्नलिखित कमी चरणों को आगमनात्मक रूप से प्रयुक्त करके आंशिक अंश का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।

बहुपद भाग

ऐसे दो बहुपद E और F₁ का अस्तित्व है कि

$${\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},$$

और

$$\deg F_{1}<\deg G,$$

जहाँ $\deg P$ बहुपद P के बहुपद की डिग्री को दर्शाता है

यह F द्वारा G बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन से तुरंत परिणामित होता है, जो E और F₁ के अस्तित्व की पुष्टि करता है, जैसे कि $F=EG+F_{1}$ और $\deg F_{1}<\deg G.$

यह अगले चरणों में मान लेने की अनुमति देता है कि $\deg F<\deg G.$

भाजक के गुणनखंड

यदि $\deg F<\deg G,$ और

$$G=G_{1}G_{2},$$

जहाँ पर G₁ और G₂ कोप्राइम बहुपद हैं, तो बहुपद का अस्तित्व है जैसे कि

$${\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},$$

और

$$\deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.$$

इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। बेज़ाउट की पहचान बहुपदों C और D के अस्तित्व पर जोर देती है जैसे कि

$$CG_{1}+DG_{2}=1$$

(परिकल्पना द्वारा 1, G₁ और G₂ का बहुपद महत्तम समापवर्तक है)

माना $DF=G_{1}Q+F_{1}$ साथ $\deg F_{1}<\deg G_{1}$ के बहुपदों DF द्वारा $G_{1}.$ का यूक्लिडियन विभाजन हो, सेटिंग $F_{2}=CF+QG_{2},$ मिलता है

$$\begin{array}{rl}\frac{F}{G}& =\frac{F(C{G}_1+D{G}_2)}{G_1{G}_2}=\frac{DF}{G_1}+\frac{CF}{G_2}\\ & =\frac{}{}\end{array}$$