अरेखीय प्रतिगमन
| एक श्रृंखला का हिस्सा |
| प्रतिगमन विश्लेषण |
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| मॉडल |
| अनुमान |
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आंकड़ों में, अरैखिक परावर्तन, परावर्तन विश्लेषण का एक रूप है जिसमें अवलोकन संबंधी डेटा को एक फलन द्वारा प्रारूपित किया जाता है जो प्रारूपित मापदंडों का एक अरैखिक संयोजन है और एक या अधिक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है। डेटा को क्रमिक सन्निकटन की विधि द्वारा जोड़ा जाता है।
सामान्य
अरेखीय परावर्तन में, एक सांख्यिकीय प्रारूप होता है जिसका आकार है,
[lower-alpha 1]एक स्वतंत्र सदिश चर को एक स्वतंत्रता संबंधी स्थायी चर सदिश और इसके संबंधित अवलोकित स्वतंत्र चर सदिश y के साथ जोड़ता है। फलन पैरामीटर चर सदिश के घटकों में अरेखीय होता है, परंतु अन्यथा विशेष नहीं होता है। उदाहरण के रूप में, एंजाइम किनेटिक्स के लिए माइकेलिस-मेंटन प्रारूप में दो पैरामीटर और एक स्वतंत्र चर सदिश द्वारा संबंधित होता है। इसे द्वारा निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
यह फलन अरैखिक है क्योंकि यह दो s या पैरामीटरों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
स्वतंत्र चर में व्यवस्थित त्रुटि उपस्थित हो सकती है परंतु इसका उपचार परावर्तन विश्लेषण के सीमा से बाहर होता है। यदि स्वतंत्र चर त्रुटि-मुक्त नहीं हैं, तो यह एक त्रुटि-में-चर प्रारूप है, जो इस सीमा से बाहर भी है।
अरैखिक फलनों के अन्य उदाहरणों में घातांकीय फलन, लघुगणकीय फलन, त्रिकोणमितीय फलन, गाउसियन फलन और लॉरेंट्स वितरण सम्मिलित हैं। कुछ फलन, जैसे कि घातांकी या लघुगणकीय फलन , को रूपांतरित किया जा सकता है जिससे वे रैखिक हों। इस प्रकार परिवर्तित होने पर, मानक रैखिक परावर्तन किया जा सकता है परंतु इसे सावधानी के साथ लागू किया जाना चाहिए। अधिक विवरण के लिए नीचे देखें।
सामान्यतः, अरैखिक परावर्तन में, सबसे उपयुक्त पैरामीटर्स के लिए कोई सरल सांकेतिक अभिव्यक्ति नहीं होती है, जैसा कि रैखिक परावर्तन में होता है। सामान्यतः संख्यात्मक अनुकूलन कलन-विधि सर्वोत्तम-फिटिंग पैरामीटर निर्धारित करने के लिए लागू किए जाते हैं। पुनः रैखिक परावर्तन के विपरीत, अनुकूलित किए जाने वाले फलन के कई स्थानिक न्यूनतम और यहां तक कि वैश्विक न्यूनतम भी हो सकते हैं, व्यवहार में, वर्गों के योग के वैश्विक न्यूनतम को खोजने का प्रयास करने के लिए, अनुकूलन कलन-विधि के साथ मिलकर, मापदंडों के अनुमानित मूल्य का उपयोग किया जाता है।
अरेखीय डेटा प्रतिरूपण से संबंधित विवरण के लिए न्यूनतम वर्ग और अरेखीय न्यूनतम वर्ग देखें।
परावर्तन आँकड़े
इस प्रक्रिया के मूल अवधारणा है कि प्रारूप को एक रैखिक फलन, अर्थात् प्रथम-क्रम टेलर श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है:
जहाँ . से यह निष्कर्ष निकलता है कि न्यूनतम वर्ग अनुमानक द्वारा दिये गये हैं
इकाई आव्यूह के आनुपातिक सहप्रसरण आव्यूह के साथ सामान्यीकृत न्यूनतम वर्गों की तुलना करें। अरेखीय परावर्तन आँकड़ों की गणना और उपयोग, रैखिक परावर्तन आँकड़ों की तरह किया जाता है, परंतु सूत्रों में X के स्थान पर J का उपयोग किया जाता है।
जब फलन स्वयं विश्लेषणात्मक रूप से ज्ञात नहीं है, परंतु रेखीय परावर्तन की आवश्यकता है , या अधिक, ज्ञात मान सबसे अच्छा अनुमानक सीधे रैखिक टेम्पलेट आवेश से प्राप्त किया जाता है [1]