बहुस्तरीय मॉडल

बहुस्तरीय प्रारूप (जिन्हें पदानुक्रमित रैखिक प्रारूप, रैखिक मिश्रित-प्रभाव प्रारूप, मिश्रित प्रारूप, नेस्टेड डेटा प्रारूप, यादृच्छिक गुणांक, यादृच्छिक-प्रभाव प्रारूप, यादृच्छिक पैरामीटर प्रारूप या स्प्लिट-प्लॉट प्रारूप के रूप में भी जाना जाता है) पैरामीटर के सांख्यिकीय प्रारूप हैं जो एक से अधिक स्तर पर भिन्न होते हैं। इसका एक उदाहरण छात्र के प्रदर्शन का प्रारूप हो सकता है जिसमें व्यक्तिगत छात्रों के लिए उपाय सम्मिलित हो और साथ ही उन कक्षाओं के लिए भी उपाय हों जिनमें छात्रों को समूहीकृत किया गया है। इन प्रारूपो को रैखिक प्रारूप के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, यद्यपि वे गैर-रैखिक प्रारूप तक भी विस्तारित हो सकते हैं। पर्याप्त संगणनीयता शक्ति और सॉफ्टवेयर उपलब्ध होने के उपरांत ये प्रारूप और अधिक लोकप्रिय हो गए।

बहुस्तरीय प्रारूप अनुसंधान अभिकल्पनाओ के लिए विशेष रूप से उपयुक्त होते हैं जहां प्रतिभागियों के लिए डेटा एक से अधिक स्तरों अर्थात, नेस्टेड डेटा पर व्यवस्थित होते हैं। विश्लेषण की इकाइयाँ सामान्यतः व्यक्ति के निम्न स्तर पर होती हैं जो प्रासंगिक कुल इकाइयों के भीतर स्थित होती हैं। जबकि बहुस्तरीय प्रारूप में डेटा का निम्नतम स्तर सामान्यतः एक व्यक्ति होता है, व्यक्तियों के बार-बार माप की भी जांच की जा सकती है। जैसे, बहुस्तरीय प्रारूप पुनरावर्तित उपायो के एकतरफा या बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के लिए एक वैकल्पिक प्रकार का विश्लेषण प्रदान करते हैं। सांख्यिकी विकास वक्र में व्यक्तिगत अंतर की जांच की जा सकती है।इसके अतिरिक्त बहुस्तरीय प्रारूप का उपयोग एंकोवा, के विकल्प के रूप में किया जा सकता है, जहां निर्भर चर पर स्कोर उपचार मतभेदों का परीक्षण करने से पहले सहचारिता जैसे व्यक्तिगत मतभेद के लिए समायोजित किए जाते हैं। बहुस्तरीय प्रारूप इन प्रयोगों का विश्लेषण एकरूपता-प्रतिगमन ढलानों की मान्यताओं के बिना कर सकते हैं जो एंकोवा द्वारा आवश्यक है।

बहुस्तरीय प्रारूप का उपयोग कई स्तरों वाले डेटा पर किया जा सकता है, यद्यपि दो -स्तरीय प्रारूप सबसे सरल हैं और इस लेख के बाकी भाग केवल इनसे संबंधित हैं। निर्भर चर की जांच विश्लेषण के निम्नतम स्तर पर की जानी चाहिए।

स्तर 1 प्रतिगमन समीकरण

जब एक एकल स्तर 1 स्वतंत्र चर होता है, तो स्तर 1 प्रारूप होता है:

$Y_{ij}=\alpha _{i}+\beta _{ij}X_{ij}+e_{ij}$

• $Y_{ij}$ स्तर 1 पर एक व्यक्तिगत अवलोकन के लिए निर्भर चर पर मान को संदर्भित करता है ।
• $X_{ij}$ स्तर 1 भविष्यवक्ता को संदर्भित करता है।
• $\alpha _{i}$ व्यक्तिगत विषय i के लिए आश्रित चर के अवरोधन को संदर्भित करता है।
• $\beta _{ij}$ स्तर 1 पूर्वसूचक और आश्रित चर के मध्य समूह j (स्तर 2) में संबंध के लिए व्यक्तिगत विषय i के लिए ढलान को संदर्भित करता है।
• $e_{ij}$ स्तर 1 समीकरण के लिए भविष्यवाणी की यादृच्छिक त्रुटियों को संदर्भित करता है।

$e_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{3}^{2})$

स्तर 1 पर, समूहों में अवरोधन और ढलान दोनों को या तो तय किया जा सकता है जिसका अर्थ है कि सभी समूहों के समान मूल्य हैं, यद्यपि वास्तविक दुनिया में यह एक दुर्लभ घटना होगी, गैर-यादृच्छिक रूप से भिन्न जिसका अर्थ है कि अवरोधन और ढलान स्तर 2 पर एक स्वतंत्र चर से अनुमानित हैं या यादृच्छिक रूप से भिन्न होते हैं जिसका अर्थ है कि अलग-अलग समूहों में अवरोधन और/या ढलान अलग-अलग हैं, और प्रत्येक का अपना समग्र औसत और भिन्नता है।

जब कई स्तर 1 स्वतंत्र चर होते हैं, तो समीकरण में वैक्टर और मैट्रिक्स को प्रतिस्थापित करके प्रारूप का विस्तार किया जा सकता है।

जब प्रतिक्रिया के मध्य संबंध $Y_{ij}$ और भविष्यवक्ता $X_{ij}$ रैखिक संबंध द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, तो कोई प्रतिक्रिया और पूर्वसूचक के मध्य कुछ गैर रेखीय कार्यात्मक संबंध पा सकता है,और प्रारूप को गैर-रैखिक मिश्रित-प्रभाव प्रारूप तक बढ़ा सकता है। उदाहरण के लिए, जब प्रतिक्रिया $Y_{ij}$ का संचयी संक्रमण प्रक्षेपवक्र है $i$-वें देश,और $X_{ij}$ का प्रतिनिधित्व करता है $j$-वाँ समय बिंदु, फिर क्रमित युग्म $(X_{ij},Y_{ij})$ प्रत्येक देश के लिए रसद समारोह के समान आकार दिखा सकता है।

स्तर 2 प्रतिगमन समीकरण

आश्रित चर स्तर 2 के समूहों में स्तर 1 पर स्वतंत्र चर के लिए अवरोधन और ढलान हैं।

$\nu _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{1}^{2})$

$\tau _{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{2}^{2})$

$\alpha _{i}=\gamma +\nu _{i}$

$\beta _{ij}=\delta +\tau _{ij}$

• $\gamma$ समग्र अवरोधन को संदर्भित करता है। यह सभी समूहों में आश्रित चर पर प्राप्तांकों का भव्य माध्य है जब सभी भविष्यवक्ता 0 के बराबर होते हैं।