अनाकार समुच्चय

समुच्चय सिद्धांत में, अनाकार समुच्चय एक परिमित समुच्चय होता है जो दो परिमित उपसमुच्चयों का अविभाज्य संयोजन नहीं होता है

अस्तित्व

यदि "विचार का अभिग्रह" अभिकल्पना को आधार बनाया जाए, तो अनाकार समुच्चय उपलब्ध नहीं हो सकते हैं। अब्राहम फ्रेंकेल ने समुच्चय सिद्धांत में परमाणुओ का एक क्रमचय प्रारूप बनाया जिसमें परमाणुओं का समुच्चय एक अनाकार समुच्चय है। 1963 में कोहेन की प्राथमिक कार्यशाला के उपरांत, जर्मेलो-फ्रैंकेल के साथ अनाकार समुच्चयों के संगतता के प्रमाण प्राप्त किए गए।

अतिरिक्त गुण

प्रत्येक अनाकार समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय है जिसका अर्थ है कि इसमें स्वयं के उचित उपसमुच्चय के लिए कोई आक्षेप नहीं है। इसे देखने के लिए, मान लें कि $S$ एक ऐसा समुच्चय है जिसमें एक उपसमुच्चय के साथ $f$ द्विभाजन होता है।

हर प्राकृतिक संख्या $i\geq 0$ के लिए, $S_{i}$ को उन तत्वों का समुच्चय परिभाषित करता है जो f के स्वयं के $(i+1)$ गुणन योजना की छवि में सम्मिलित होते हैं, परंतु $(i+1)$ गुणन योजना की छवि में सम्मिलित नहीं होते हैं। तब प्रत्येक $S_{i}$ गैर-खाली होता है, इसलिए सम निर्धारिताओं के साथ $S_{i}$ के संगठन का संग्रह एक परिमित समुच्चय होता है, जिसका अनाकार समुच्चय $S$ भी परिमित होता है। इससे स्पष्ट होता है कि $S$, अनाकार नहीं हो सकता है। यद्यपि, इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है: यह परिमित डेडेकिंड-परिमित समुच्चयों के अस्तित्व के लिए सुसंगत है जो अनाकार नहीं हैं।

कोई अनाकार समुच्चय रैखिक क्रम नहीं हो सकता क्योंकि एक अनाकार समुच्चय की छवि या तो अनाकार या परिमित होती है, यह इस प्रकार है कि एक अनाकार समुच्चय से लेकर रैखिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय तक के प्रत्येक कार्य में केवल एक परिमित छवि होती है।

अनाकार समुच्चय पर सहमित निस्यंदक एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय का पूरक परिमित नहीं होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक उपसमुच्चय या तो परिमित या सहमित है।

विविधता

यदि $\Pi$ एक अनाकार समुच्चय के एक सीमा संख्याओं में वितरण है, तो एक ही पूर्णांक होना चाहिए जिसके लिए $\Pi$ में निरंतर परिमित संख्या के उपसमुच्चय होते हैं; क्योंकि यदि प्रत्येक आकार का उपयोग अंतिम बार किया जाता है, या यदि एक से अधिक आकार परिमित सीमा का उपयोग किया जाता है, तो यह जानकारी विभाजन का समूहन करने और $\Pi$ को दो अनंत उपसमुच्चयों में विभाजित करने के लिए उपयोग की जा सकती है। यदि एक अनाकार समुच्चय की विशेषताएँ उपरोक्त गुणवत्ता वाली होती है कि, प्रत्येक विभाजन $\Pi$ के लिए तब उसे पूर्णतः अनाकार कहा जाता है, और यदि $\Pi$ पर एक सीमित उच्चतम सीमा है, तो समुच्चय को परिमित अनाकार कहा जाता है। ZF के साथ संगत है कि अमॉर्फस सेट मौजूद हैं और सभी बाउंडेड हैं, या यह हैं और सभी अबाउंडेड हैं। यह ZF के अनुरूप है कि अनाकार समुच्चय मौजूद हैं और सभी बंधे हुए हैं, या वे मौजूद हैं और सभी अबाधित हैं।