अनबाउंड ऑपरेटर

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण और ऑपरेटर सिद्धांत में, अनबाउंड ऑपरेटर की धारणा अवकल संचालक, क्वांटम यांत्रिकी में असीमित वेधशालाओं और अन्य स्तिथियों से निपटने के लिए अमूर्त रूपरेखा प्रदान करती है।

चूंकि असीमित ऑपरेटर शब्द भ्रामक हो सकता है।

• असीमित को कभी-कभी यह समझा जाना चाहिए कि आवश्यक रूप से बाध्य नहीं है;
• ऑपरेटर को रैखिक ऑपरेटर के रूप में समझा जाना चाहिए (जैसा कि अनबाउंड ऑपरेटर के स्तिथि में होता है);
• ऑपरेटर का कार्यक्षेत्र रैखिक उप-समष्टि है, आवश्यक नहीं कि संपूर्ण समष्टि हो;
• यह रैखिक उपसमष्टि आवश्यक रूप से संवृत समुच्चय नहीं है; अधिकांशतः (किन्तु सदैव नहीं) इसे सघन (सांस्थितिक) माना जाता है;
• एक अनबाउंड ऑपरेटर के विशेष स्तिथि में, फिर भी, कार्यक्षेत्र को सामान्यतः संपूर्ण समष्टि माना जाता है।

अनबाउंड संचालक के विपरीत, किसी दिए गए समष्टि पर असीमित ऑपरेटर किसी क्षेत्र पर बीजगणित नहीं बनाते हैं, न ही रैखिक समष्टि बनाते हैं, क्योंकि प्रत्येक को अपने स्वयं के कार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है।

ऑपरेटर शब्द का अर्थ अधिकांशतः अनबाउंड रेखीय ऑपरेटर होता है, किन्तु इस लेख के संदर्भ में इसका अर्थ ऊपर दिए गए आरक्षणों के साथ, असीमित ऑपरेटर है। और दिया गया समष्टि हिल्बर्ट समष्टि माना जाता है। बनच समष्टि और अधिक सामान्य संसमष्टििक सदिश समष्टि के लिए कुछ सामान्यीकरण संभव हैं।

संक्षिप्त इतिहास

हिल्बर्ट समष्टि क्वांटम यांत्रिकी के लिए कठोर गणितीय रूप विकसित करने के भाग के रूप में असीमित संचालक का सिद्धांत 1920 के दशक के अंत और 1930 के दशक की आरंभ में विकसित हुआ। किन्तु सिद्धांत का विकास जॉन वॉन न्यूमैन और मार्शल स्टोन के कारण हुआ है। वॉन न्यूमैन ने 1932 में असीमित संचालक का विश्लेषण करने के लिए फलन के ग्राफ़ का उपयोग प्रारंभ किया।

परिभाषाएँ और मूलभूत गुण

मान लीजिए कि X, Y बनच समष्टि हैं। असीमित ऑपरेटर (या बस ऑपरेटर) T : D(T) → Y रेखीय मानचित्र T है जो एक रैखिक उपसमष्टि से D(T) ⊆ X—का कार्यक्षेत्र T—समष्टि Y तक है। सामान्य परिपाटी के विपरीत, T को संपूर्ण समष्टि X पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

एक ऑपरेटर T को संवृत ऑपरेटर कहा जाता है यदि इसका फलन ग्राफ़ Γ(T) एक संवृत समुच्चय है. (यहाँ, ग्राफ Γ(T) के प्रत्यक्ष योग X ⊕ Y हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग का रैखिक उपसमष्टि है जिसे, सभी जोड़ियों (x, Tx) के समुच्चय के रूप में परिभाषित , जहाँ x, T के कार्यक्षेत्र पर चलता है.) स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि T प्रत्येक अनुक्रम {x_n} के लिए कार्यक्षेत्र इस प्रकार है कि x_n → x और Tx_n → y, यह उसे धारण करता है की x, T और Tx = y के कार्यक्षेत्र के अंतर्गत आता है. क्लोजनेस को ग्राफ मानदंड के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता है: ऑपरेटर T संवृत है यदि और केवल यदि इसका कार्यक्षेत्र D(T) मानक के संबंध में पूर्ण समष्टि है:

$\|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.$

एक ऑपरेटर T को सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर कहा जाता है यदि इसका कार्यक्षेत्र X सघन रूप से समुच्चय है . इसमें संपूर्ण समष्टि X पर परिभाषित ऑपरेटर भी सम्मिलित हैं , चूंकि संपूर्ण समष्टि अपने आप में सघन है। कार्यक्षेत्र की सघनता सहायक के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त है (यदि X और Y हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं) और समष्टिान्तरण; नीचे अनुभाग देखें.

यदि T : X → Y अपने कार्यक्षेत्र पर संवृत, सघन रूप से परिभाषित और निरंतर ऑपरेटर है, तो इसका कार्यक्षेत्र संपूर्ण X है.

हिल्बर्ट समष्टि H पर सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर T को नीचे से अनबाउंड हुआ कहा जाता है यदि T + a किसी वास्तविक संख्या a के लिए धनात्मक संकारक है। अर्थात्, T के कार्यक्षेत्र में सभी x के लिए ⟨Tx|x⟩ ≥ −a ||x||² के क्षेत्र में (या वैकल्पिक रूप से ⟨Tx|x⟩ ≥ a ||x||² चूँकि से a मनमाना है)। यदि दोनों T और −T फिर नीचे से बाध्य हैं तो T अनबाउंड है।

उदाहरण

मान लीजिए कि C([0, 1]) इकाई अंतराल पर निरंतर कार्यों के समष्टि को निरूपित करें, और C¹([0, 1]) निरंतर भिन्न-भिन्न कार्यों के समष्टि को निरूपित करें। हम $C([0,1])$ सर्वोच्च मानदंड $\|\cdot \|_{\infty }$ के साथ, सुसज्जित करते हैं, इसे बानाच समष्टि बना रहा है। मौलिक विभेदीकरण ऑपरेटर को d/dx : C¹([0, 1]) → C([0, 1]) सामान्य सूत्र द्वारा परिभाषित करें :

$\left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].$

प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है, इसलिए C¹([0, 1]) ⊆ C([0, 1]). हम इसका प्रभुत्व करते हैं,कि d/dx : C([0, 1]) → C([0, 1]) कार्यक्षेत्र C¹([0, 1]) के साथ अच्छी तरह से परिभाषित असीमित ऑपरेटर है . इसके लिए हमें वो दिखाना होगा कि ${\frac {d}{dx}}$ रैखिक है और फिर, उदाहरण के लिए, कुछ $\{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])$ को इस प्रकार प्रदर्शित करें कि $\|f_{n}\|_{\infty }=1$ और $\sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty$.

यह एक रैखिक ऑपरेटर है, क्योंकि दो निरंतर अवकलनीय फलनों  f , g का एक रैखिक संयोजन a f  + bg भी निरंतर अवकलनीय है, और

$\left(\frac{d}{dx}\right)(a$