σ- बीजगणित

गणितीय विश्लेषण और संभाव्यता सिद्धांत में, एक सेट (समुच्चय) X पर σ-बीजगणित (σ-फ़ील्ड) भी पूरक, गणनीय संघों और गणनीय प्रतिच्छेदनों के तहत बंद किए गए X के सबसेट का गैर-रिक्त संग्रह Σ है। जोड़ी $(X,\Sigma )$ को मापनीय स्थान कहा जाता है।

σ-बीजगणित सेट बीजगणित का सबसेट है; उत्तरार्द्ध के अवयवों को केवल बहुत से उपसमुच्चयों के संघ या प्रतिच्छेदनों के तहत बंद करने की आवश्यकता है, जो कमजोर स्थिति है।

σ-बीजगणित का मुख्य उपयोग उपायों की परिभाषा में है; विशेष रूप से, उन उपसमुच्चयों का संग्रह जिसके लिए एक दिया गया माप परिभाषित किया गया है, अनिवार्य रूप से एक σ-बीजगणित है। यह अवधारणा गणितीय विश्लेषण में लेबेस्ग एकीकरण की नींव के रूप में और संभाव्यता सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहां इसे उन घटनाओं के संग्रह के रूप में व्याख्यायित किया जाता है जिन्हें संभावनाएं सौंपी जा सकती हैं। साथ ही, संभाव्यता में, सशर्त अपेक्षा की परिभाषा में σ-बीजगणित महत्वपूर्ण हैं।

आँकड़ों में, (उप) σ-बीजगणित की आवश्यकता पर्याप्त आँकड़ों की औपचारिक गणितीय परिभाषा के लिए होती है, विशेषकर जब आँकड़ा कार्य या यादृच्छिक प्रक्रिया है और सशर्त घनत्व की धारणा लागू नहीं होती है।

अगर $X=\{a,b,c,d\}$ संभव σ-बीजगणित पर $X$ है $\Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},$ जहाँ $\varnothing$ खाली सेट है। सामान्यतः, परिमित बीजगणित निरंतर σ-बीजगणित होता है।

अगर $\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},$ के सेट का एक गणनीय विभाजन है $X$ तो विभाजन में सेट के सभी संघों का संग्रह (खाली सेट सहित) σ-बीजगणित है।

अधिक उपयोगी उदाहरण सभी खुले अंतरालों के साथ प्रारम्भ करके और सभी गणनीय संघों, गणनीय प्रतिच्छेदन और सापेक्ष पूरक में जोड़कर बनाई गई वास्तविक रेखा के सबसेट का सेट है और इस प्रक्रिया को जारी रखता है (सभी गणनीय अध्यादेशों के माध्यम से ट्रांसफ़िनिटी पुनरावृत्ति द्वारा) प्रासंगिक बंद होने तक गुण प्राप्त होते हैं (एक निर्माण जिसे बोरेल पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है)।

प्रेरणा

σ-अल्जेब्रस (बीजगणित) के लिए कम से कम तीन प्रमुख प्रेरक हैं: उपायों को परिभाषित करना, सेट की सीमाओं में हेरफेर करना और सेट द्वारा विशेषता आंशिक जानकारी का प्रबंधन करना है।

उपाय

$X$ पर माप एक ऐसा कार्य है जो $X;$ के उपसमुच्चय को गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है; इसे सेट के लिए "आकार" या "आयतन" की सटीक धारणा बनाने के बारे में सोचा जा सकता है। हम चाहते हैं कि अलग-अलग सेटों के संघ का आकार उनके अलग-अलग आकारों का योग हो, यहां तक कि विशिष्ट समुच्चयों के अनंत अनुक्रम के लिए भी है।

कोई $X$ के प्रत्येक सबसेट को आकार देना चाहेगा, लेकिन कई प्राकृतिक पतिस्थिति में, यह संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, चयन के अभिगृहीत का अर्थ है कि जब विचाराधीन आकृति वास्तविक रेखा के किसी उपसमुच्चय के लिए लंबाई की सामान्य धारणा है, तो ऐसे सेट मौजूद हैं जिनके लिए कोई आकार मौजूद नहीं है, उदाहरण के लिए, विटाली सेट। इस कारण से, इसके बजाय विशेषाधिकार प्राप्त सबसेट के एक छोटे संग्रह पर विचार किया जाता है $X.$ इन सबसेट को मापने योग्य सेट कहा जाएगा। वे संचालन के तहत बंद हैं जो एक औसत दर्जे के सेट के लिए अपेक्षित होगा, अर्थात, मापने योग्य सेट का पूरक एक औसत दर्जे का सेट है और मापने योग्य सेटों का गणनीय संघ एक औसत दर्जे का सेट है। इन गुणों वाले सेटों के गैर-खाली संग्रह को σ-एलजेब्रा कहा जाता है।

सेट की सीमा

माप के कई उपयोग, जैसे कि यादृच्छिक चर के अभिसरण की संभाव्यता अवधारणा, में सेट-सैद्धांतिक सीमा सम्मिलित है। इसके लिए गणनीय यूनियनों और प्रतिच्छेदन के नीचे बंद करना सर्वोपरि है। सेट सीमा को σ-अल्जेब्रा पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

• सीमा सर्वोच्च }} या बाहरी सीमा एक क्रम का $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ के सबसेट का $X$ है
  $$\limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .$$
  इसमें सभी बिंदु $x$ होते हैं जो इन सेटों में से कई में असीम रूप से होते हैं (या समतुल्य रूप से, जो कि उनमें से बहुत से हैं)। अर्थात्,$x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}$अगर और केवल अगर वहाँ एक अनंत अनुवर्ती अस्तित्व मौजूद (जहाँ $n_{1}<n_{2}<\cdots$) है $A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots$ उन सेटों में जिनमें $x;$ सम्मिलित है; अर्थात्, ऐसा है कि $x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .$
• सीमा न्यूनतम }} या आंतरिक सीमा एक क्रम का $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ के सबसेट का $X$ है
  $$\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .$$
  इसमें वे सभी बिंदु सम्मिलित हैं जो सभी में हैं लेकिन इनमें से बहुत से सेट हैं (या समतुल्य, जो हैं eventually उन सभी में)। वह है, $x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}$ अगर और केवल अगर कोई इंडेक्स मौजूद है $N\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि $A_{N},A_{N+1},\ldots$ सभी सम्मिलित हैं $x;$ अर्थात् ऐसा कि $x\in <!--\; \in \; -->A_N\cap <!--\; \cap \; -->A_{}$