सेप्टिक समीकरण

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डिग्री 7 के एक बहुपद का ग्राफ, 7 वास्तविक संख्या के साथ एक बहुपद का मूल (क्रॉसिंग) x अक्ष) और 6 महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)। न्यूनतम की संख्या और ऊर्ध्वाधर स्थान के आधार पर, सेप्टिक में उनकी बहुलता के साथ 7, 5, 3, या 1 वास्तविक रूट गिना जा सकता है; जटिल संख्या गैर-वास्तविक जड़ों की संख्या 7 माइनस वास्तविक जड़ों की संख्या है।

बीजगणित में, एक सेप्टिक समीकरण रूप का एक समीकरण है

$ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,$

कहाँ पे a ≠ 0.

एक सेप्टिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन (गणित) है

$f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,$

कहाँ पे a ≠ 0. दूसरे शब्दों में, यह एक बहुपद सात की घात का बहुपद है। यदि a = 0, तो f एक यौन कार्य है (b ≠ 0), पंचक समारोह (b = 0, c ≠ 0), आदि।

सेटिंग द्वारा फ़ंक्शन से समीकरण प्राप्त किया जा सकता है f(x) = 0.

गुणांक a, b, c, d, e, f, g, h या तो पूर्णांक, परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या, जटिल संख्या या, अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र (गणित) के सदस्य हो सकते हैं।

क्योंकि उनके पास एक विषम डिग्री है, सेप्टिक फ़ंक्शन क्विंटिक फ़ंक्शन या घन समारोह के समान दिखाई देते हैं, जब ग्राफ़ किया जाता है, सिवाय इसके कि उनके पास अतिरिक्त मैक्सिमा और मिनिमा और स्थानीय मिनिमा (तीन मैक्सिमा और तीन मिनिमा तक) हो सकते हैं। सेप्टिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक सेक्स्टिक फ़ंक्शन है।

सॉल्वेबल सेप्टिक्स

कुछ सातवीं डिग्री के समीकरणों को मूल अभिव्यक्ति में कारक बनाकर हल किया जा सकता है, लेकिन अन्य सेप्टिक्स नहीं कर सकते। इवरिस्ट गैलोइस ने यह निर्धारित करने के लिए तकनीक विकसित की कि क्या किसी दिए गए समीकरण को रेडिकल्स द्वारा हल किया जा सकता है जिसने गैलोइस सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म दिया। एक इरेड्यूसिबल लेकिन सॉल्व करने योग्य सेप्टिक का उदाहरण देने के लिए, कोई सॉल्वेबल डे मोइवर क्विंटिक को प्राप्त करने के लिए सामान्य कर सकता है,

$x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,$,

जहां सहायक समीकरण है

$y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,$.

इसका मतलब है कि सेप्टिक को खत्म करके प्राप्त किया जाता है u तथा v के बीच x = u + v, uv + α = 0 तथा u⁷ + v⁷ + β = 0.

यह इस प्रकार है कि सेप्टिक की सात जड़ें किसके द्वारा दी गई हैं

$x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}$

कहाँ पे ω_k एकता के 7 सातवें मूल में से कोई भी है। इस सेप्टिक का गैलोज़ समूह क्रम 42 का अधिकतम हल करने योग्य समूह है। इसे आसानी से किसी भी अन्य डिग्री के लिए सामान्यीकृत किया जाता है k, जरूरी नहीं कि प्रधान हो।

एक और समाधान योग्य परिवार है,

$x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,$

जिसके सदस्य संख्या क्षेत्रों के क्लूनर के डेटाबेस में दिखाई देते हैं। इसका विवेचक है

$\Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,$

इन सेप्टिक्स का गैलोज़ समूह ऑर्डर 14 का डायहेड्रल समूह है।

सामान्य सेप्टिक समीकरण को वैकल्पिक समूह या सममित समूह गैलोइस समूह के साथ हल किया जा सकता है A₇ या S₇.इस तरह के समीकरणों को उनके समाधान के लिए जीनस (गणित) 3 के हाइपरेलिप्टिक फ़ंक्शन और संबंधित थीटा कार्यों की आवश्यकता होती है।हालाँकि, इन समीकरणों का विशेष रूप से उन्नीसवीं शताब्दी के गणितज्ञों द्वारा बीजीय समीकरणों के समाधान का अध्ययन नहीं किया गया था, क्योंकि सेक्स्टिक समीकरणों के समाधान पहले से ही कंप्यूटर के बिना उनकी कम्प्यूटेशनल क्षमताओं की सीमा पर थे। सेप्टिक्स निम्नतम क्रम के समीकरण हैं जिनके लिए यह स्पष्ट नहीं है कि उनके समाधान दो चरों के निरंतर कार्यों को अध्यारोपित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। हिल्बर्ट की तेरहवीं समस्या|हिल्बर्ट की 13वीं समस्या अनुमान था, यह सातवें डिग्री के समीकरणों के सामान्य मामले में संभव नहीं था। व्लादिमीर अर्नोल्ड ने 1957 में यह प्रदर्शित करते हुए इसे हल किया कि यह हमेशा संभव था। हालांकि, अर्नोल्ड ने खुद को वास्तविक हिल्बर्ट समस्या माना कि क्या सेप्टिक्स के लिए उनके समाधान दो चर के बीजगणितीय कार्यों को सुपरइम्पोज़ करके प्राप्त किए जा सकते हैं (समस्या अभी भी खुली है)।

गैलोइस समूह

फानो विमान

*रेडिकल्स द्वारा हल किए जा सकने वाले सेप्टिक समीकरणों में गैलोज़ समूह होता है जो या तो ऑर्डर 7 का चक्रीय समूह होता है, या ऑर्डर 14 का डायहेड्रल समूह या ऑर्डर 21 या 42 का मेटासाइक्लिक समूह होता है।* L(3, 2) }} गाल्वा समूह (क्रम 168 का) 7 वर्टेक्स लेबल के क्रमपरिवर्तन से बनता है जो फ़ानो विमान में 7 पंक्तियों को संरक्षित करता है।इस गैलोज़ समूह के साथ सेप्टिक समीकरण L(3, 2) उनके समाधान के लिए अण्डाकार कार्यों की आवश्यकता होती है, लेकिन हाइपरलिप्टिक कार्यों की नहीं।*अन्यथा एक सेप्टिक का गैलोज़ समूह या तो क्रम 2520 का वैकल्पिक समूह है या क्रम 5040 का सममित समूह है।

एक चक्रीय पेंटागन या षट्भुज के वर्ग क्षेत्र के लिए सेप्टिक समीकरण

पेंटागन#चक्रीय पेंटागन के क्षेत्रफल का वर्ग एक सेप्टिक समीकरण का एक मूल है, जिसके गुणांक पेंटागन की भुजाओं के सममित फलन होते हैं। षट्भुज#चक्रीय षट्भुज के क्षेत्रफल के वर्ग के बारे में भी यही सच है।

यह भी देखें

• क्यूबिक फ़ंक्शन
• चतुर्थक समारोह
• क्विंटिक फंक्शन
• सेक्सेटिक समीकरण
• लैब्स सेप्टिक

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