रैखिक लोच

रैखिक लोच गणितीय मॉडल है कि कैसे निर्धारित लोडिंग स्थितियों के कारण ठोस वस्तुएं विरूपण (भौतिकी) और आंतरिक रूप से तनाव (यांत्रिकी) बन जाती हैं। यह अधिक सामान्य परिमित तनाव सिद्धांत और सातत्य यांत्रिकी की शाखा का सरलीकरण है।

रेखीय लोच की मौलिक रेखीयकरण धारणाएं हैं: अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत या छोटे विरूपण (या तनाव) और तनाव और तनाव के घटकों के बीच रैखिक संबंध। इसके अलावा रैखिक लोच केवल तनाव वाले राज्यों के लिए मान्य है जो यील्ड (इंजीनियरिंग) का उत्पादन नहीं करते हैं।

ये धारणाएँ कई इंजीनियरिंग सामग्री और इंजीनियरिंग डिज़ाइन परिदृश्यों के लिए उचित हैं। रैखिक लोच इसलिए संरचनात्मक विश्लेषण और इंजीनियरिंग डिजाइन में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, अक्सर परिमित तत्व विश्लेषण की सहायता से।

गणितीय सूत्रीकरण

एक रैखिक लोचदार सीमा मूल्य समस्या को नियंत्रित करने वाले समीकरण संवेग के संरक्षण के लिए तीन टेन्सर आंशिक अंतर समीकरणों और छह अति सूक्ष्म तनाव-विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) संबंधों पर आधारित हैं। अवकल समीकरणों की प्रणाली रैखिक समीकरण बीजगणितीय संघटक समीकरणों के सेट द्वारा पूरी की जाती है।

डायरेक्ट टेंसर फॉर्म

प्रत्यक्ष टेंसर रूप में जो समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है, ये शासकीय समीकरण हैं:

• संवेग#किसी निकाय के लिए रेखीय संवेग, जो न्यूटन के गति के नियमों की अभिव्यक्ति है#न्यूटन का दूसरा नियम|न्यूटन का दूसरा नियम:
  $${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$$
• इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी|स्ट्रेन-विस्थापन समीकरण:
  $${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]$$
• संवैधानिक समीकरण। लोचदार सामग्री के लिए, हुक का नियम भौतिक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है और अज्ञात तनावों और तनावों से संबंधित है। हुक के नियम का सामान्य समीकरण है
  $${\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},$$

कहाँ ${\boldsymbol {\sigma }}$ कॉची तनाव टेन्सर है, ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ अतिसूक्ष्म तनाव टेंसर है, $\mathbf {u}$ विस्थापन (वेक्टर) है, ${\mathsf {C}}$ चौथा क्रम कठोरता टेन्सर है, $\mathbf {F}$ प्रति इकाई आयतन शरीर बल है, $\rho$ द्रव्यमान घनत्व है, ${\boldsymbol {\nabla }}$ नाबला ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, $(\bullet )^{\mathrm {T} }$ स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है, ${\ddot {(\bullet )}}$ समय के संबंध में दूसरी व्युत्पत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, और ${\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}$ दो दूसरे क्रम के टेंसरों का आंतरिक उत्पाद है (दोहराए गए सूचकांकों पर योग निहित है)।

कार्तीय समन्वय रूप

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के संबंध में घटकों के संदर्भ में व्यक्त, रैखिक लोच के शासकीय समीकरण हैं:

• कॉची संवेग समीकरण:
  $$\sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}$$
  जहां ${(\bullet )}_{,j}$ सबस्क्रिप्ट के लिए आशुलिपि है $\partial {(\bullet )}/\partial x_{j}$ और $\partial _{tt}$ दर्शाता है $\partial ^{2}/\partial t^{2}$, $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ कॉची स्ट्रेस (भौतिकी) टेंसर है, $F_{i}$ शरीर बल घनत्व है, $\rho$ द्रव्यमान घनत्व है, और $u_{i}$ विस्थापन है। ये रेखीय समीकरणों की 3 प्रणाली हैं 6 स्वतंत्र अज्ञात (तनाव) के साथ स्वतंत्रता समीकरण। इंजीनियरिंग संकेतन में, वे हैं:
  $${\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$
• विरूपण (यांत्रिकी)#तनाव|तनाव-विस्थापन समीकरण:
  $$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})$$
  कहाँ $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$ तनाव है। ये 9 स्वतंत्र अज्ञात (स्ट्रेन और विस्थापन) के साथ तनाव और विस्थापन से संबंधित 6 स्वतंत्र समीकरण हैं। इंजीनियरिंग संकेतन में, वे हैं:
  $${\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}$$
• संवैधानिक समीकरण। हुक के नियम का समीकरण है:
  $$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}$$
  कहाँ $C_{ijkl}$ कठोरता टेंसर है। ये तनाव और विकृति से संबंधित 6 स्वतंत्र समीकरण हैं। तनाव और तनाव टेंसरों की समरूपता की आवश्यकता से कई लोचदार स्थिरांक की समानता हो जाती है, जिससे विभिन्न तत्वों की संख्या 21 हो जाती है $C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}$.

एक आइसोटोपिक-सजातीय मीडिया के लिए इलास्टोस्टेटिक सीमा मूल्य समस्या 15 स्वतंत्र समीकरणों और समान संख्या में अज्ञात (3 संतुलन समीकरण, 6 तनाव-विस्थापन समीकरण, और 6 संवैधानिक समीकरण) की प्रणाली है। सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करते हुए, सीमा मूल्य समस्या पूरी तरह परिभाषित है। प्रणाली को हल करने के लिए सीमा मान समस्या की सीमा स्थितियों के अनुसार दो दृष्टिकोण अपनाए जा सकते हैं: विस्थापन सूत्रीकरण, और तनाव सूत्रीकरण।

बेलनाकार निर्देशांक रूप

बेलनाकार निर्देशांक में ($r,\theta ,z$) गति के समीकरण हैं

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$$

तनाव-विस्थापन संबंध हैं

$${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}$$

और संवैधानिक संबंध कार्टेशियन निर्देशांक के समान हैं, सिवाय इसके कि सूचकांक $1$,$2$,$3$ अब के लिए खड़े हो जाओ $r$,$\theta$,$z$, क्रमश।

गोलाकार निर्देशांक रूप

गोलाकार निर्देशांक में ($r,\theta ,\phi$) गति के समीकरण हैं

गोलाकार निर्देशांक (r, θ, φ) जैसा कि आमतौर पर भौतिकी में उपयोग किया जाता है: रेडियल दूरी r, ध्रुवीय कोण θ (थीटा), और अज़ीमुथल कोण φ (phi)। प्रतीक ρ (रो) अक्सर आर के बजाय प्रयोग किया जाता है।

गोलाकार निर्देशांक में तनाव टेन्सर है

$${\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}$$

(ए) आइसोट्रोपिक (इन) सजातीय मीडिया

हूक के नियम आइसोट्रोपिक सामग्री मीडिया में, कठोरता टेन्सर तनावों (परिणामस्वरूप आंतरिक तनावों) और उपभेदों (परिणामस्वरूप विकृतियों) के बीच संबंध देता है। आइसोटोपिक माध्यम के लिए, कठोरता टेंसर की कोई पसंदीदा दिशा नहीं होती है: लागू बल समान विस्थापन (बल की दिशा के सापेक्ष) देगा, चाहे जिस दिशा में बल लगाया गया हो। आइसोटोपिक मामले में, कठोरता टेंसर लिखा जा सकता है:

$$C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})$$

कहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है, K थोक मापांक (या असंपीड़्यता) है, और $\mu$ कतरनी मापांक (या कठोरता) है, दो लोचदार मापांक। यदि माध्यम विषम है, तो आइसोट्रोपिक मॉडल समझदार है यदि या तो माध्यम टुकड़े-टुकड़े-स्थिर या कमजोर रूप से विषम है; दृढ़ता से अमानवीय चिकने मॉडल में, अनिसोट्रॉपी का हिसाब देना पड़ता है। यदि माध्यम सजातीय (रसायन विज्ञान) है, तो लोचदार मोडुली माध्यम में स्थिति से स्वतंत्र होगी। संवैधानिक समीकरण अब इस रूप में लिखा जा सकता है:

$$\sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).$$

यह अभिव्यक्ति तनाव को बाईं ओर अदिश भाग में अलग करती है जो अदिश दबाव से जुड़ा हो सकता है, और दाईं ओर ट्रेसलेस भाग जो कतरनी बलों से जुड़ा हो सकता है। सरल अभिव्यक्ति है:

$$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}$$

जहां λ लैम पैरामीटर है | लैम का पहला पैरामीटर। चूँकि संवैधानिक समीकरण केवल रेखीय समीकरणों का समूह है, तनाव को तनाव के कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)$$

जो फिर से, बाईं ओर अदिश भाग और दाईं ओर ट्रेसलेस कतरनी भाग है। अधिक केवल:

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]$$

कहाँ $\nu$ पोइसन का अनुपात है और $E$ यंग का मापांक है।

इलास्टोस्टैटिक्स

इलास्टोस्टैटिक्स संतुलन की शर्तों के तहत रैखिक लोच का अध्ययन है, जिसमें लोचदार शरीर पर सभी बलों का योग शून्य होता है, और विस्थापन समय का कार्य नहीं होता है। प्रणाली के लिए गति # रैखिक गति तब होती है

$$\sigma _{ji,j}+F_{i}=0.$$

इंजीनियरिंग संकेतन में (कतरनी तनाव के रूप में ताऊ के साथ),

• ${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$
• ${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0$
• ${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0$

यह खंड केवल आइसोट्रोपिक सजातीय मामले पर चर्चा करेगा।

विस्थापन सूत्रीकरण

इस मामले में, सीमा में हर जगह विस्थापन निर्धारित हैं। इस दृष्टिकोण में, तनाव और तनाव को सूत्रीकरण से समाप्त कर दिया जाता है, विस्थापन को अज्ञात के रूप में शासकीय समीकरणों में हल करने के लिए छोड़ दिया जाता है। सबसे पहले, तनाव-विस्थापन समीकरणों को संवैधानिक समीकरणों (हुक के नियम) में प्रतिस्थापित किया जाता है, अज्ञात के रूप में उपभेदों को हटा दिया जाता है:

$$\sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).$$

विभेद करना (मान लेना $\lambda$ और $\mu$ स्थानिक रूप से समान हैं) उपज:

$$\sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).$$

संतुलन समीकरण पैदावार में प्रतिस्थापन:

$$\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0$$

या (डबल (डमी) (= सारांश) सूचकांक k,k को j,j द्वारा प्रतिस्थापित करना और सूचकांकों को इंटरचेंज करना, ij से, ji के बाद, दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के आधार पर|Schwarz' प्रमेय)

$$\mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0$$

कहाँ $\lambda$ और $\mu$ लमे पैरामीटर हैं। इस तरह, केवल अज्ञात ही विस्थापन रह जाता है, इसलिए इस फॉर्मूलेशन का नाम है। इस तरह से प्राप्त नियामक समीकरणों को इलास्टोस्टैटिक समीकरण कहा जाता है, जो नीचे दिए गए 'नेवियर-कॉची समीकरण' का विशेष मामला है।

Derivation of Navier–Cauchy equations in Engineering notation

First, the $x$-direction will be considered. Substituting the strain-displacement equations into the equilibrium equation in the $x$-direction we have

$$\sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)$$

$$\tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)$$

$$\tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)$$

Then substituting these equations into the equilibrium equation in the $x\,\!$-direction we have

$${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0$$

$${\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0$$

Using the assumption that $\mu$ and $\lambda$ are constant we can rearrange and get:

$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0$$

Following the same procedure for the $y\,\!$-direction and $z\,\!$-direction we have

$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0$$

$$\left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0$$

These last 3 equations are the Navier–Cauchy equations, which can be also expressed in vector notation as

$$(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} =0$$

एक बार विस्थापन क्षेत्र की गणना हो जाने के बाद, विस्थापन को तनाव के समाधान के लिए तनाव-विस्थापन समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जो बाद में तनावों को हल करने के लिए संवैधानिक समीकरणों में उपयोग किया जाता है।

बिहारमोनिक समीकरण

इलास्टोस्टैटिक समीकरण लिखा जा सकता है:

$$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.$$

इलास्टोस्टेटिक समीकरण के दोनों पक्षों के विचलन को लेते हुए और यह मानते हुए कि शरीर बलों में शून्य विचलन (डोमेन में सजातीय) है ($F_{i,i}=0\,\!$) अपने पास

$$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.$$

यह देखते हुए कि सारांशित सूचकांकों का मिलान नहीं होना चाहिए, और यह कि आंशिक डेरिवेटिव कम्यूट करते हैं, दो अंतर शब्द समान दिखाई देते हैं और हमारे पास:

$$\alpha ^{2}u_{j,iij}=0$$

जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि:

$$u_{j,iij}=0.$$

इलास्टोस्टैटिक समीकरण के दोनों पक्षों के लाप्लासियन को लेना, और इसके अलावा मान लेना $F_{i,kk}=0\,\!$, अपने पास

$$(\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.$$

अपसरण समीकरण से, बाईं ओर का पहला पद शून्य है (ध्यान दें: फिर से, सारांशित सूचकांकों का मिलान नहीं होना चाहिए) और हमारे पास है:

$$\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0$$

जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि:

$$u_{i,kkmm}=0$$

या, समन्वय मुक्त संकेतन में $\nabla ^{4}\mathbf {u} =0$ जो कि सिर्फ बिहारमोनिक समीकरण है $\mathbf {u} \,\!$.

तनाव सूत्रीकरण

इस मामले में, सतही सीमा पर हर जगह सतही कर्षण निर्धारित हैं। इस दृष्टिकोण में, तनावों और विस्थापनों को समाप्त कर दिया जाता है जिससे तनावों को अज्ञात के रूप में शासकीय समीकरणों में हल किया जा सकता है। बार तनाव क्षेत्र मिल जाने के बाद, तब संरचनात्मक समीकरणों का उपयोग करके उपभेदों को पाया जाता है।

स्ट्रेस टेन्सर के छह स्वतंत्र घटक हैं जिन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है, फिर भी विस्थापन सूत्रीकरण में, विस्थापन वेक्टर के केवल तीन घटक हैं जिन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है। इसका मतलब यह है कि स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को तीन तक कम करने के लिए कुछ बाधाएं हैं जिन्हें तनाव टेंसर पर रखा जाना चाहिए। संवैधानिक समीकरणों का उपयोग करते हुए, इन बाधाओं को सीधे संबंधित बाधाओं से प्राप्त किया जाता है, जो तनाव टेंसर के लिए धारण करना चाहिए, जिसमें छह स्वतंत्र घटक भी होते हैं। विस्थापन सदिश क्षेत्र के कार्य के रूप में तनाव टेन्सर पर बाधाएं सीधे तनाव टेंसर की परिभाषा से व्युत्पन्न होती हैं, जिसका अर्थ है कि ये बाधाएं कोई नई अवधारणा या जानकारी पेश नहीं करती हैं। यह तनाव टेंसर पर बाधाएं हैं जिन्हें सबसे आसानी से समझा जा सकता है। यदि लोचदार माध्यम को अप्रतिबंधित अवस्था में असीम घनों के सेट के रूप में देखा जाता है, तो माध्यम के तनावग्रस्त होने के बाद, मनमाना तनाव टेंसर को ऐसी स्थिति उत्पन्न करनी चाहिए जिसमें विकृत घन अभी भी अतिव्यापी बिना साथ फिट होते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए तनाव के लिए, निरंतर सदिश क्षेत्र (विस्थापन) मौजूद होना चाहिए जिससे उस तनाव टेंसर को प्राप्त किया जा सके। तनाव टेंसर पर बाधाएं जो यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक हैं कि यह मामला संत वेनेंट द्वारा खोजा गया था, और उन्हें संत-वेनेंट की अनुकूलता की स्थिति कहा जाता है। ये 81 समीकरण हैं, जिनमें से 6 स्वतंत्र गैर-तुच्छ समीकरण हैं, जो विभिन्न तनाव घटकों से संबंधित हैं। इन्हें इंडेक्स नोटेशन में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$\varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.$$

इंजीनियरिंग संकेतन में, वे हैं:

$$\sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.$$