रेखीय समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 09:16, 24 July 2022

दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन

एक रेखीय समीकरण को $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां $x_{1},\ldots ,x_{n}$ चर (या अज्ञात) हैं तथा $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ गुणांक हैं, जो प्रायः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक $a_{1},\ldots ,a_{n}$ का शून्य न होना आवश्यक है।

वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है।

इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर के स्थान पर रखने पर समीकरण के दोनों पक्ष समतुल्य हो जाते है।

केवल एक चर होने की स्थिति में, एक मात्र हल $a_{1}\neq 0$ है। प्राय: रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष स्थिति को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को प्रत्यक्षता से अज्ञात कहा जाता है।

दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में की जा सकती है, जो की यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों के एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द मूल है।सामान्यतः, $n$ चर के एक रैखिक समीकरण का हल $n$ विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) ( $n - 1$ विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।

आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रायः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रायः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।

यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण की स्थिति पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और सामान्यतः किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों की स्थिति में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

एक चर

एक चर $x$ का एक रैखिक समीकरण $ax+b=0,$ है, जहां $a$ तथा $b$ वास्तविक संख्याएं हैं।

$x=-{\frac {b}{a}}$ , $x$ के मूल तथा $a\neq 0$ ।

दो चर

दो चरों $x$ तथा $y$ का एक रैखिक समीकरण $ax+by+c=0,$ है, जहां $a$ , $b$ तथा $c$ वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार होती हैं कि $a^{2}+b^{2}\neq 0$ ।^[1]

इसके असीम रूप से कई संभावित हल हैं।

रैखिक फलन

यदि $b \neq 0$ , समीकरण

ax+by+c=0

$x$ के प्रत्येक मान के लिए एकल चर $y$ में एक रैखिक समीकरण है, जिसका $y$ के लिए एक विशिष्ट हल दिया गया है।

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

यह एक फलन को परिभाषित करता है। इस फलन का आरेख (ग्राफ) ढलान $-{\frac {a}{b}}$ तथा $y$ -अवरोध $-{\frac {c}{b}}.$ वाली एक रेखा है, सामान्यतः वे फलन जिनका आरेख (ग्राफ) एक रेखा होती है, गणना के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक ऐसा फलन होता है जो योग को योगखंड की छवियों के योग के लिए मैप करता है। अत: इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फलन केवल तभी रैखिक होता है जब $c = 0$ हो, अर्थात जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। अस्पष्टता से बचने के लिए, जिन फलन का आरेख (ग्राफ) एक स्वेच्छाचारी रेखा है, उन्हें सामान्यतः सजातीय फलन कहा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या

Vertical line of equation

x = a

Horizontal line of equation

y = b

एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y),

$ax+by+c=0$

यूक्लिडियन तल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।

वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।

यदि b ≠ 0 है, तो रेखा x के फलन का आरेख (ग्राफ) है, जिसे पिछले भाग में परिभाषित किया गया है। यदि b = 0 है, तो रेखा समीकरण $x=-{\frac {c}{a}},$ की एक उर्ध्वाधर रेखा है (जो कि y अक्ष के समानांतर एक रेखा है), जो x के फलन का आरेख (ग्राफ) नहीं है।

इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण $y=-{\frac {c}{b}}$ की एक क्षैतिज रेखा होती है।

एक रेखा का समीकरण

एक रेखा को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। निम्नलिखित उपखंडों में प्रत्येक स्थिति में रेखा का एक रैखिक समीकरण दिया गया है।

ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y₀ (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

y=mx+y_{0}.

यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान तथा $x$ -अवरोधन को $x 0$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

y=m(x-x_{0}),

या, समान रूप से,

y=mx-mx_{0}.

ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।^[2] समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए,

ax+by+c=0,

इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है।

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम ( $m$ ) तथा रेखा पर किसी बिंदु निर्देशांक $x_{1},y_{1}$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण,

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

या

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है, अत: समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

y-y_{1}=m(x-x_{1})

अवरोधन रूप

एक रेखा जो किसी अक्ष के समानांतर नहीं है तथा मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, जो अक्षो को दो अलग-अलग बिंदुओं में काटती है। इन दो बिंदुओं के अवरोधन मान $x 0$ तथा y₀ में से अशून्य हैं, तथा रेखा का समीकरण^[3]

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.$

(इस समीकरण द्वारा $x 0$ तथा y₀ को अवरोधन मान के रूप में सत्यापित करना आसान है।)

दो सूत्री रूप

दो अलग-अलग बिंदुओं $(x 1, यू 1)$ तथा (x₂, यू₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा, जिसके रैखिक समीकरण को लिखने के कई तरीके हैं।

यदि $x 1 एक्स 2$ , रेखा का ढलान ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ है, अत:

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).$ एक बिंदु-ढलान रूप है।^[3]

सरल करने पर,

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

जो तब भी मान्य है जब $x 1 = एक्स 2$ (यदि दोनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं)।

यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिरांक पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है।

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(दो बिंदुओं के विनियम से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।

निर्धारक रूप

एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त करने के दो सामान्य तरीके हैं।

समीकरण $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ , सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

समीकरण $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ , सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

इस रूप में $n - 1$ विमा के स्थान में $n$ बिंदुओं से गुजरने वाले एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के अधिक सामान्य समीकरण कि विशेष स्थिति होने का लाभ होता है। ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।

दो से अधिक चर

दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

गुणांक $b$ स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद^[4]^[5]) होता है, जिसे प्राय: $a 0$ से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ $a i$ के लिए निर्धारित किया जा सकता है।

$n=3$ चर से सम्बन्धित, अनुक्रमित चर के बजाय $x,\;y$ तथा $z$ उपयोग करना सामान्य है।

ऐसे समीकरण का हल $n$ -टपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करने पर समीकरण एक वास्तविक समतुल्यता में बदल जाता है।

एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक अशून्य होना चाहिए। यदि प्रत्येक चर का गुणांक एक शून्य है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत ( $b \neq 0$ के लिए) जिनका कोई हल नहीं है, या सभी $n$ -टुपल्स हल हैं।

$n$ -टपल्स जो $n$ चर के एक रैखिक समीकरण के हल हैं, जो कि एक n-विमीय यूक्लिडियन स्पेस में एक (n - 1)-विमीय ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं (या सजातीय (एफ़िन) स्पेस, यदि गुणांक जटिल संख्याएं हैं या किसी क्षेत्र से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) एक विमीय होता है।

यदि a_j ≠ 0 से एक रैखिक समीकरण दिया जाता है, तो समीकरण को $x j$ के लिए हल किया जा सकता है।

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह $n$ वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान फलन को परिभाषित करता है ।

यह भी देखें

एक वलय पर रैखिक समीकरण
बीजीय समीकरण
रैखिक असमानता
अरेखीय समीकरण

↑ Barnett, Ziegler & Byleen 2008, pg. 15
↑ Larson & Hostetler 2007, p. 25
↑ ^3.0 ^3.1 Wilson & Tracey 1925, pp. 52-53
↑ Charles Hiram Chapman (1892). An Elementary Course in Theory of Equations. J. Wiley & sons. p. 17. पृष्ठ 17 का उद्धरण
↑ David Martin Sensenig (1890). Numbers Universalized: An Advanced Algebra. American Book Company. p. 113. पृष्ठ 113 का उद्धरण

संदर्भ

Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised ed.), D.C. Heath

बाहरी संबंध

"Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Barnett, Ziegler & Byleen 2008, pg. 15

[2] Larson & Hostetler 2007, p. 25

[WilsonTracey-3] 3.0 ^3.1 Wilson & Tracey 1925, pp. 52-53

[4] Charles Hiram Chapman (1892). An Elementary Course in Theory of Equations. J. Wiley & sons. p. 17. पृष्ठ 17 का उद्धरण

[5] David Martin Sensenig (1890). Numbers Universalized: An Advanced Algebra. American Book Company. p. 113. पृष्ठ 113 का उद्धरण

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Equation that does not involve powers or products of variables}}
 [[File:Linear Function Graph.svg|thumb|300px|दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन]]
-एक रेखीय समीकरण को <math>a_1x_1+\ldots+a_nx_n+b=0,</math> रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां <math>x_1,\ldots,x_n</math> चर (या अज्ञात) हैं तथा <math>b,a_1,\ldots,a_n</math> गुणांक हैं, जो प्रयाः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) के रूप में माना जा सकता है, और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक <math>a_1, \ldots, a_n</math> का शून्य न होना आवश्यक है।
+एक रेखीय समीकरण को <math>a_1x_1+\ldots+a_nx_n+b=0,</math> रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां <math>x_1,\ldots,x_n</math> चर (या अज्ञात) हैं तथा <math>b,a_1,\ldots,a_n</math> गुणांक हैं, जो प्रायः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के [https://en.wikipedia.org/wiki/Parameter|'''पैरामीटर'''] ([[गणित]] में स्थिर राशी) और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक <math>a_1, \ldots, a_n</math> का शून्य न होना आवश्यक है।
-वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे गुणांक लिया जाता है।
+वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक [[बहुपद|रैखिक बहुपद]] को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है।
-इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर (या अज्ञात) के स्थान पर रखने समीकरण के दोनों पक्षों की समानता को सत्य बनाते हैं।
+इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर के स्थान पर रखने पर समीकरण के दोनों पक्ष समतुल्य हो जाते है।
-केवल एक चर (या अज्ञात) होने की स्थिति में, एक मात्र हल (<math>a_1\ne 0</math>) है। अक्सर, रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष मामले को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को समझदारी से अज्ञात कहा जाता है।
+केवल एक चर होने की स्थिति में, एक मात्र हल <math>a_1\ne 0</math> है। प्राय: रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष स्थिति को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को प्रत्यक्षता से अज्ञात कहा जाता है।
-दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में की जा सकती है। एक रैखिक समीकरण का हल यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों में एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द का मूल है। अधिक सामान्यतः, {{mvar|n}} चर में एक रैखिक समीकरण के हल {{mvar|n}} विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) ({{math|''n'' − 1}} विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।
+दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के [https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system|'''कार्टेशियन निर्देशांक'''] के रूप में की जा सकती है, जो की यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों के एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द मूल है।सामान्यतः, {{mvar|n}} चर के एक रैखिक समीकरण का हल {{mvar|n}} विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) ({{math|''n'' − 1}} विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।
-आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रयाः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रयाः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।
+आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रायः सभी [[गणित]] और [[भौतिक विज्ञान|भौतिकी]] और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि [[नॉनलाइनियर सिस्टम|अरेखीय तंत्र]] प्रायः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।
-यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण के मामले पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों के मामले में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।
+यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण की स्थिति पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और सामान्यतः किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों की स्थिति में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।
 == एक चर ==
@@ Line 25: / Line 25: @@
 इसके असीम रूप से कई संभावित हल हैं।
-=== रैखिक कार्य ===
+=== रैखिक फलन ===
 यदि {{math|''b'' ≠ 0}}, समीकरण
 :<math>ax+by+c=0 </math>
-एकल चर में एक रैखिक समीकरण है {{mvar|y}} के प्रत्येक मूल्य के लिए {{mvar|x}}. इसलिए इसका एक अनूठा समाधान है {{mvar|y}}, जो द्वारा दिया गया है
+{{mvar|x}} के प्रत्येक मान के लिए एकल चर {{mvar|y}} में एक रैखिक समीकरण है, जिसका {{mvar|y}} के लिए एक विशिष्ट हल दिया गया है।
 :<math>y=-\frac ab x-\frac cb. </math>
-यह एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ढलान वाली एक रेखा है <math>-\frac ab </math> और y-अवरोध|{{mvar|y}}संवाद <math>-\frac cb. </math> वे फलन जिनका ग्राफ एक रेखा है, आमतौर पर कलन के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जो योग को सारांश की छवियों के योग के लिए मैप करता है। तो, इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फ़ंक्शन केवल तभी रैखिक होता है जब {{math|1=''c'' = 0}}, वह तब होता है जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। भ्रम से बचने के लिए, जिन कार्यों का ग्राफ एक मनमानी रेखा है, उन्हें अक्सर एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है।
+यह एक फलन को परिभाषित करता है। इस फलन का आरेख (ग्राफ) ढलान <math>-\frac ab </math> तथा {{mvar|y}}-अवरोध <math>-\frac cb. </math> वाली एक रेखा है, सामान्यतः वे फलन जिनका आरेख (ग्राफ) एक रेखा होती है, गणना के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक ऐसा फलन होता है जो योग को योगखंड की छवियों के योग के लिए मैप करता है। अत: इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फलन केवल तभी रैखिक होता है जब {{math|1=''c'' = 0}} हो, अर्थात जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। अस्पष्टता से बचने के लिए, जिन फलन का आरेख (ग्राफ) एक स्वेच्छाचारी रेखा है, उन्हें सामान्यतः सजातीय फलन कहा जाता है।
 ===ज्यामितीय व्याख्या ===
-[[File:x is a.svg|thumb|बराबर की खड़ी रेखा]]
+[[File:x is a.svg|thumb|Vertical line of equation {{math|1=''x'' = ''a''}}]]
-पर {{math|1=''x'' = ''a''}}
+[[File:y is b.svg|thumb|Horizontal line of equation {{math|1=''y'' = ''b''}}]]
-[[File:y is b.svg|thumb|समीकरण की क्षैतिज रेखा {{math|1=y = b}]]
+एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y),
-]
-प्रत्येक समाधान {{math|(''x'', ''y'')}} एक रैखिक समीकरण का
+<math>ax+by+c=0 </math>
-:<math>ax+by+c=0</math> यूक्लिडियन तल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी समाधान एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} दोनों शून्य नहीं हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।
+[[द्वि-आयामी यूक्लिडियन स्थान|यूक्लिडियन तल]] में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।
+वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।
+यदि b ≠ 0 है, तो रेखा x के फलन का आरेख (ग्राफ) है, जिसे पिछले भाग में परिभाषित किया गया है। यदि b = 0 है, तो रेखा समीकरण <math>x=-\frac ca,</math> की एक उर्ध्वाधर रेखा है (जो कि y अक्ष के समानांतर एक रेखा है), जो x के फलन का आरेख (ग्राफ) नहीं है।
+इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण <math>y=-\frac cb</math> की एक क्षैतिज रेखा होती है।
-रेखीय समीकरण मुहावरा लाइनों और समीकरणों के बीच इस पत्राचार में अपना मूल लेता है: दो चरों में एक रैखिक समीकरण एक समीकरण होता है जिसका समाधान एक रेखा बनाता है।
-यदि {{math|''b'' ≠ 0}}, रेखा के फलन का आलेख है {{mvar|x}} जिसे पिछले भाग में परिभाषित किया गया है। यदि {{math|1=''b'' = 0}}, रेखा एक लंबवत रेखा है (जो कि के समानांतर एक रेखा है {{mvar|y}}-अक्ष) समीकरण का <math>x=-\frac ca,</math> जो के फलन का आलेख नहीं है {{mvar|x}}.
-इसी प्रकार, यदि {{math|''a'' ≠ 0}}, रेखा के एक फलन का आलेख है {{mvar|y}}, और अगर {{math|1=''a'' = 0}}, किसी के पास समीकरण की एक क्षैतिज रेखा होती है <math>y=-\frac cb.</math>
 === एक रेखा का समीकरण ===
 एक रेखा को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। निम्नलिखित उपखंडों में प्रत्येक स्थिति में रेखा का एक रैखिक समीकरण दिया गया है।
-====ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप====
+==== ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप ====
-एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा को इसके ढलान द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|m}}, और इसके {{mvar|y}}संवाद {{math|''y''{{sub|0}}}} (द  {mvar|y}} इसके प्रतिच्छेदन का समन्वय करें  {mvar|y}}-अक्ष)। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण लिखा जा सकता है
+एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y<sub>0</sub> (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
 :<math>y=mx+y_0.</math>
-यदि, इसके अलावा, रेखा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान और इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|x}}संवाद {{math|''x''{{sub|0}}}}. इस स्थिति में, इसका समीकरण लिखा जा सकता है
+यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान तथा {{mvar|x}}-अवरोधन को {{math|''x''{{sub|0}}}} द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
 :<math>y=m(x-x_0),</math>
 या, समान रूप से,
 :<math>y=mx-mx_0.</math>
-ये रूप एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा को एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 25}}</ref>समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए
+ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 25}}</ref> समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए,
 :<math>ax+by+c = 0,</math>
-इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है
+इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है।
 :<math>\begin{align}
 m&=-\frac ab,\\
@@ Line 64: / Line 78: @@
 y_0&=-\frac cb.
 \end{align}</math>
 ==== बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप ====
-एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा को इसके ढलान द्वारा परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|m}}, और निर्देशांक <math>x_1, y_1</math> रेखा के किसी भी बिंदु पर। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण है
+एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम ({{mvar|m}}) तथा रेखा पर किसी बिंदु निर्देशांक <math>x_1, y_1</math> द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण,
 :<math>y=y_1 + m(x-x_1),</math>
 या
 :<math>y=mx +y_1-mx_1.</math>
-यह समीकरण भी लिखा जा सकता है
+किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है, अत: समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
 :<math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
-इस बात पर बल देने के लिए कि किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है।
+==== अवरोधन रूप ====
+एक रेखा जो किसी अक्ष के समानांतर नहीं है तथा मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, जो अक्षो को दो अलग-अलग बिंदुओं में काटती है। इन दो बिंदुओं के अवरोधन मान {{math|''x''{{sub|0}}}} तथा y<sub>0</sub>  में से अशून्य हैं, तथा रेखा का समीकरण<ref name=WilsonTracey>{{harvnb|Wilson|Tracey|1925|loc=pp. 52-53}}</ref>
+<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1.</math>
-==== अवरोधन रूप ====
+(इस समीकरण द्वारा {{math|''x''{{sub|0}}}} तथा y<sub>0</sub> को अवरोधन मान के रूप में सत्यापित करना आसान है।)
-एक रेखा जो एक अक्ष के समानांतर नहीं है और मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, कुल्हाड़ियों को दो अलग-अलग बिंदुओं में काटती है। अवरोधन मान {{math|''x''{{sub|0}}}} तथा  {गणित|य{{sub|0}}}} इन दो बिंदुओं में से शून्येतर हैं, और रेखा का एक समीकरण है<ref name=WilsonTracey>{{harvnb|Wilson|Tracey|1925|loc=pp. 52-53}}</ref>:<math>\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1.</math>
-(यह सत्यापित करना आसान है कि इस समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा में है {{math|''x''{{sub|0}}}} तथा  {गणित|य{{sub|0}}}} अवरोधन मान के रूप में)।
 ====दो सूत्री रूप====
-दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए {{math|(''x''{{sub|1}}, यू{{sub|1}})}} तथा  {गणित|(x{{sub|2}}, यू{{sub|2}})}}, उनसे होकर गुजरने वाली ठीक एक रेखा है। इस रेखा के रैखिक समीकरण को लिखने के कई तरीके हैं।
+दो अलग-अलग बिंदुओं {{math|(''x''{{sub|1}}, यू{{sub|1}})}} तथा (x{{sub|2}}, यू{{sub|2}}) से होकर गुजरने वाली एक रेखा, जिसके रैखिक समीकरण को लिखने के कई तरीके हैं।
+यदि {{math|''x''{{sub|1}} एक्स{{sub|2}}}}, रेखा का ढलान <math>\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.</math> है, अत:
+<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1).</math> एक बिंदु-ढलान रूप है।<ref name="WilsonTracey" />
-यदि {{math|''x''{{sub|1}} एक्स{{sub|2}}}}, रेखा का ढलान है <math>\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.</math> इस प्रकार, एक बिंदु-ढलान रूप है<ref name=WilsonTracey />:<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1).</math>
+सरल करने पर,
-हरों को साफ़ करने से, समीकरण प्राप्त होता है
 :<math> (x_2 - x_1)(y - y_1) - (y_2 - y_1)(x - x_1)=0,</math>
-जो तब भी मान्य है जब {{math|1=''x''{{sub|1}} = एक्स{{sub|2}}}} (इसे सत्यापित करने के लिए, यह सत्यापित करना पर्याप्त है कि दिए गए दो बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं)।
+जो तब भी मान्य है जब {{math|1=''x''{{sub|1}} = एक्स{{sub|2}}}} (यदि दोनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं)।
-यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिर पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है:
+यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिरांक पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है।
 :<math>(y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (x_1y_2 - x_2y_1) =0</math>
-(दो बिंदुओं के आदान-प्रदान से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।
+(दो बिंदुओं के विनियम से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।
 ==== निर्धारक रूप ====
-एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उसके लिए दो सामान्य तरीके हैं।
+एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त करने के दो सामान्य तरीके हैं।
-समीकरण <math> (x_2 - x_1)(y - y_1) - (y_2 - y_1)(x - x_1)=0</math> समीकरण में सारणिक के विस्तार का परिणाम है
+समीकरण <math> (x_2 - x_1)(y - y_1) - (y_2 - y_1)(x - x_1)=0</math>, सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।
 :<math>\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1\end{vmatrix}=0.</math>
-समीकरण <math> (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (x_1y_2 - x_2y_1)=0</math> समीकरण में निर्धारक अपनी पहली पंक्ति के संबंध में विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है
+समीकरण <math> (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (x_1y_2 - x_2y_1)=0</math>, सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।
 :<math>\begin{vmatrix}
 x&y&1\\
@@ Line 102: / Line 131: @@
 x_2&y_2&1
 \end{vmatrix}=0.</math>
-बहुत ही सरल और स्मरक होने के अलावा, इस रूप में एक हाइपरप्लेन के अधिक सामान्य समीकरण का एक विशेष मामला होने का लाभ होता है। {{mvar|n}} आयाम की जगह में अंक {{math|''n'' – 1}}. ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।
+इस रूप में {{math|''n'' – 1}} विमा के स्थान में {{mvar|n}} बिंदुओं से गुजरने वाले एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के अधिक सामान्य समीकरण कि विशेष स्थिति होने का लाभ होता है। ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।
 == दो से अधिक चर ==
-दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को हमेशा के रूप में माना जा सकता है
+दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
 :<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>
-गुणांक {{mvar|b}}, अक्सर निरूपित {{math|''a''{{sub|0}}}} को स्थिर पद कहा जाता है (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद<ref>{{cite book |title=An Elementary Course in Theory of Equations |author1=Charles Hiram Chapman |edition= |publisher=J. Wiley & sons |year=1892 |isbn= |page=17 |url=https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ}} [https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ&pg=PA17 पृष्ठ 17 का उद्धरण]</ref><ref>{{cite book |title=Numbers Universalized: An Advanced Algebra |author1=David Martin Sensenig |edition= |publisher=American Book Company |year=1890 |isbn= |page=113 |url=https://books.google.com/books?id=TvMGAAAAYAAJ}} [https://books.google.be/books?id=TvMGAAAAYAAJ&pg=PA113 पृष्ठ 113 का उद्धरण]</ref>) संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को के लिए आरक्षित किया जा सकता है {{math|''a''{{sub|''i''}}}} साथ  {गणित|i> 0}}।
+गुणांक {{mvar|b}} स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद<ref>{{cite book |title=An Elementary Course in Theory of Equations |author1=Charles Hiram Chapman |edition= |publisher=J. Wiley & sons |year=1892 |isbn= |page=17 |url=https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ}} [https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ&pg=PA17 पृष्ठ 17 का उद्धरण]</ref><ref>{{cite book |title=Numbers Universalized: An Advanced Algebra |author1=David Martin Sensenig |edition= |publisher=American Book Company |year=1890 |isbn= |page=113 |url=https://books.google.com/books?id=TvMGAAAAYAAJ}} [https://books.google.be/books?id=TvMGAAAAYAAJ&pg=PA113 पृष्ठ 113 का उद्धरण]</ref>) होता है, जिसे प्राय: {{math|''a''{{sub|0}}}} से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ {{math|''a''{{sub|''i''}}}} के लिए निर्धारित किया जा सकता है।
-व्यवहार करते समय <math>n=3</math> चर, इसका उपयोग करना आम है <math>x,\; y</math> तथा <math>z</math> अनुक्रमित चर के बजाय।
+<math>n=3</math>चर से सम्बन्धित, अनुक्रमित चर के बजाय <math>x,\; y</math> तथा <math>z</math> उपयोग करना सामान्य है।
-ऐसे समीकरण का एक हल है a {{mvar|n}}-टुपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करना समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देता है।
+ऐसे समीकरण का हल {{mvar|n}}-टपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करने पर समीकरण एक वास्तविक समतुल्यता में बदल जाता है।
-एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक गैर-शून्य होना चाहिए। वास्तव में, यदि प्रत्येक चर का एक शून्य गुणांक है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत है (के लिए .) {{mvar|''b'' ≠ 0}}) कोई समाधान नहीं होने के कारण, या सभी {{nowrap|{{mvar|n}}-टुपल्स}} समाधान हैं।
+एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक अशून्य होना चाहिए। यदि प्रत्येक चर का गुणांक एक शून्य है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत ({{mvar|''b'' ≠ 0}} के लिए) जिनका कोई हल नहीं है, या सभी {{nowrap|{{mvar|n}}-टुपल्स}} हल हैं।
-<nowiki>{mvar|n}}-tuples जो एक रैखिक समीकरण के समाधान हैं </nowiki>{{nowrap|{{mvar|n}} चर}}<nowiki> an . के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं  {गणित|(n − 1)}}-विमीय हाइपरप्लेन in an </nowiki>{{nowrap|{{mvar|n}}-डायमेंशनल}} यूक्लिडियन स्पेस (या एफाइन स्पेस अगर गुणांक कॉम्प्लेक्स नंबर हैं या किसी फील्ड से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह हाइपरप्लेन एक विमान है।
+{{mvar|n}}-टपल्स जो {{nowrap|{{mvar|n}} चर}} के एक रैखिक समीकरण के हल हैं, जो कि एक n-विमीय यूक्लिडियन स्पेस में एक (n - 1)-विमीय ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं (या सजातीय (एफ़िन) स्पेस, यदि गुणांक जटिल संख्याएं हैं या किसी क्षेत्र से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) एक विमीय होता है।
-यदि के साथ एक रैखिक समीकरण दिया जाता है  {गणित|ए{{sub|''j''}} ≠ 0}}, तो समीकरण को हल किया जा सकता है {{math|''x''{{sub|''j''}}}}, उपज
+यदि a<sub>j</sub> ≠ 0 से एक रैखिक समीकरण दिया जाता है, तो समीकरण को {{math|''x''{{sub|''j''}}}} के लिए हल किया जा सकता है।
 :<math>x_j = -\frac b{a_j} -\sum_{i\in \{1,\ldots,n\}, i\ne j} \frac {a_i}{a_j}x_i .</math>
-यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित करता है {{mvar|n}} वास्तविक चर।
+यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह {{mvar|n}} वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान फलन को परिभाषित करता है ।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 137: / Line 166: @@
 == बाहरी संबंध ==
 * {{springer|title=Linear equation|id=p/l059190}}
+{{Polynomials}}
-{{Polynomials}}
+[[Category:Articles with short description]]
-{{Authority control}}
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