रेखीय समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 10:42, 7 July 2022

दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन

एक रेखीय समीकरण को $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां $x_{1},\ldots ,x_{n}$ चर (या अज्ञात) हैं तथा $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ गुणांक हैं, जो प्रयाः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) के रूप में माना जा सकता है, और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक $a_{1},\ldots ,a_{n}$ का शून्य न होना आवश्यक है।

वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे गुणांक लिया जाता है।

इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर (या अज्ञात) के स्थान पर रखने समीकरण के दोनों पक्षों की समानता को सत्य बनाते हैं।

केवल एक चर (या अज्ञात) होने की स्थिति में, एक मात्र हल ( $a_{1}\neq 0$ ) है। अक्सर, रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष मामले को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को समझदारी से अज्ञात कहा जाता है।

दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में की जा सकती है। एक रैखिक समीकरण का हल यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों में एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द का मूल है। अधिक सामान्यतः, $n$ चर में एक रैखिक समीकरण के हल $n$ विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) ( $n - 1$ विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।

आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रयाः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रयाः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।

यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण के मामले पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों के मामले में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

एक चर

एक चर $x$ का एक रैखिक समीकरण $ax+b=0,$ है, जहां $a$ तथा $b$ वास्तविक संख्याएं हैं।

$x=-{\frac {b}{a}}$ , $x$ के मूल तथा $a\neq 0$ ।

दो चर

दो चरों $x$ तथा $y$ का एक रैखिक समीकरण $ax+by+c=0,$ है, जहां $a$ , $b$ तथा $c$ वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार होती हैं कि $a^{2}+b^{2}\neq 0$ ।^[1]

इसके असीम रूप से कई संभावित हल हैं।

रैखिक फलन

यदि $b \neq 0$ , समीकरण

ax+by+c=0

$x$ के प्रत्येक मान के लिए एकल चर $y$ में एक रैखिक समीकरण है, जिसका $y$ के लिए एक विशिष्ट हल दिया गया है।

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

यह एक फलन को परिभाषित करता है। इस फलन का आरेख (ग्राफ) ढलान $-{\frac {a}{b}}$ तथा $y$ -अवरोध $-{\frac {c}{b}}.$ वाली एक रेखा है, सामान्यतः वे फलन जिनका आरेख (ग्राफ) एक रेखा होती है, गणना के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक ऐसा फलन होता है जो योग को योगखंड की छवियों के योग के लिए मैप करता है। अत: इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फलन केवल तभी रैखिक होता है जब $c = 0$ हो, अर्थात जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। अस्पष्टता से बचने के लिए, जिन फलन का आरेख (ग्राफ) एक स्वेच्छाचारी रेखा है, उन्हें सामान्यतः सजातीय फलन कहा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या

एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y),

$ax+by+c=0$

यूक्लिडियन तल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।

वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।

यदि b ≠ 0 है, तो रेखा x के फलन का आरेख (ग्राफ) है, जिसे पिछले भाग में परिभाषित किया गया है। यदि b = 0 है, तो रेखा समीकरण $x=-{\frac {c}{a}},$ की एक उर्ध्वाधर रेखा है (जो कि y अक्ष के समानांतर एक रेखा है), जो x के फलन का आरेख (ग्राफ) नहीं है।

इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण $y=-{\frac {c}{b}}$ की एक क्षैतिज रेखा होती है।

एक रेखा का समीकरण

एक रेखा को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। निम्नलिखित उपखंडों में प्रत्येक स्थिति में रेखा का एक रैखिक समीकरण दिया गया है।

ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y₀ (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है।

बराबर की खड़ी रेखा

y=mx+y_{0}.

यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान तथा $x$ -अवरोधन को $x 0$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है।

y=m(x-x_{0}),

या, समान रूप से,

y=mx-mx_{0}.

ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।^[2] समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए

ax+by+c=0,

इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है।

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप

एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम ( $m$ ) तथा रेखा पर किसी बिंदु निर्देशांक $x_{1},y_{1}$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण,

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

या

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है, अत: समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है।

y-y_{1}=m(x-x_{1})

अवरोधन रूप

एक रेखा जो किसी अक्ष के समानांतर नहीं है तथा मूल बिंदु से नहीं गुजरती है, जो अक्षो को दो अलग-अलग बिंदुओं में काटती है। इन दो बिंदुओं के अवरोधन मान $x 0$ तथा y₀ में से अशून्य हैं, तथा रेखा का समीकरण^[3]

${\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.$

(इस समीकरण द्वारा $x 0$ तथा y₀ को अवरोधन मान के रूप में सत्यापित करना आसान है।)

दो सूत्री रूप

दो अलग-अलग बिंदुओं $(x 1, यू 1)$ तथा (x₂, यू₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा, जिसके रैखिक समीकरण को लिखने के कई तरीके हैं।

यदि $x 1 एक्स 2$ , रेखा का ढलान ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ है, अत:

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).$ एक बिंदु-ढलान रूप है।^[3]

सरल करने पर,

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

जो तब भी मान्य है जब $x 1 = एक्स 2$ (यदि दोनों बिंदु समीकरण को संतुष्ट करते हैं)।

यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिरांक पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है।

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(दो बिंदुओं के विनियम से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।

निर्धारक रूप

एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त करने के दो सामान्य तरीके हैं।

समीकरण $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ , सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

समीकरण $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ , सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

इस रूप में $n - 1$ विमा के स्थान में $n$ बिंदुओं से गुजरने वाले एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के अधिक सामान्य समीकरण कि विशेष स्थिति होने का लाभ होता है। ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।

दो से अधिक चर

दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

गुणांक $b$ स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद^[4]^[5]) होता है, जिसे प्राय: $a 0$ से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ $a i$ के लिए आरक्षित किया जा सकता है।

व्यवहार करते समय $n=3$ चर, इसका उपयोग करना आम है $x,\;y$ तथा $z$ अनुक्रमित चर के बजाय।

ऐसे समीकरण का एक हल है a $n$ -टुपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करना समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देता है।

एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक गैर-शून्य होना चाहिए। वास्तव में, यदि प्रत्येक चर का एक शून्य गुणांक है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत है (के लिए .) $b \neq 0$ ) कोई समाधान नहीं होने के कारण, या सभी $n$ -टुपल्स समाधान हैं।

{mvar|n}}-tuples जो एक रैखिक समीकरण के समाधान हैं $n$ चर an . के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं {गणित|(n − 1)}}-विमीय हाइपरप्लेन in an $n$ -डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस (या एफाइन स्पेस अगर गुणांक कॉम्प्लेक्स नंबर हैं या किसी फील्ड से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह हाइपरप्लेन एक विमान है।

यदि के साथ एक रैखिक समीकरण दिया जाता है {गणित|ए_j ≠ 0}}, तो समीकरण को हल किया जा सकता है $x j$ , उपज

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित करता है $n$ वास्तविक चर।

यह भी देखें

एक वलय पर रैखिक समीकरण
बीजीय समीकरण
रैखिक असमानता
अरेखीय समीकरण

↑ Barnett, Ziegler & Byleen 2008, pg. 15
↑ Larson & Hostetler 2007, p. 25
↑ ^3.0 ^3.1 Wilson & Tracey 1925, pp. 52-53
↑ Charles Hiram Chapman (1892). An Elementary Course in Theory of Equations. J. Wiley & sons. p. 17. पृष्ठ 17 का उद्धरण
↑ David Martin Sensenig (1890). Numbers Universalized: An Advanced Algebra. American Book Company. p. 113. पृष्ठ 113 का उद्धरण

संदर्भ

Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised ed.), D.C. Heath

बाहरी संबंध

"Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Barnett, Ziegler & Byleen 2008, pg. 15

[2] Larson & Hostetler 2007, p. 25

[WilsonTracey-3] 3.0 ^3.1 Wilson & Tracey 1925, pp. 52-53

[4] Charles Hiram Chapman (1892). An Elementary Course in Theory of Equations. J. Wiley & sons. p. 17. पृष्ठ 17 का उद्धरण

[5] David Martin Sensenig (1890). Numbers Universalized: An Advanced Algebra. American Book Company. p. 113. पृष्ठ 113 का उद्धरण

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 94: / Line 94: @@
 यह रूप दिए गए दो बिंदुओं में सममित नहीं है, लेकिन स्थिरांक पदों को फिर से समूहित करके एक सममित रूप प्राप्त किया जा सकता है।
 :<math>(y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (x_1y_2 - x_2y_1) =0</math>
-(दो बिंदुओं के आदान-प्रदान से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।
+(दो बिंदुओं के विनियम से समीकरण के बाईं ओर का चिन्ह बदल जाता है)।
 ==== निर्धारक रूप ====
-एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उसके लिए दो सामान्य तरीके हैं।
+एक रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप को केवल एक सारणिक के रूप में व्यक्त करने के दो सामान्य तरीके हैं।
-समीकरण <math> (x_2 - x_1)(y - y_1) - (y_2 - y_1)(x - x_1)=0</math> समीकरण में सारणिक के विस्तार का परिणाम है
+समीकरण <math> (x_2 - x_1)(y - y_1) - (y_2 - y_1)(x - x_1)=0</math>, सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।
 :<math>\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1\end{vmatrix}=0.</math>
-समीकरण <math> (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (x_1y_2 - x_2y_1)=0</math> समीकरण में निर्धारक अपनी पहली पंक्ति के संबंध में विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है
+समीकरण <math> (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y + (x_1y_2 - x_2y_1)=0</math>, सारणिक कि पहली पंक्ति के प्रति विस्तार द्वार प्राप्त किया जा सकता है।
 :<math>\begin{vmatrix}
 x&y&1\\
@@ Line 107: / Line 107: @@
 x_2&y_2&1
 \end{vmatrix}=0.</math>
-बहुत ही सरल और स्मरक होने के अलावा, इस रूप में एक हाइपरप्लेन के अधिक सामान्य समीकरण का एक विशेष मामला होने का लाभ होता है। {{mvar|n}} आयाम की जगह में अंक {{math|''n'' – 1}}. ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।
+इस रूप में {{math|''n'' – 1}} विमा के स्थान में {{mvar|n}} बिंदुओं से गुजरने वाले एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के अधिक सामान्य समीकरण कि विशेष स्थिति होने का लाभ होता है। ये समीकरण प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की रैखिक निर्भरता की स्थिति पर निर्भर करते हैं।
 == दो से अधिक चर ==
-दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को हमेशा के रूप में माना जा सकता है
+दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
 :<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>
-गुणांक {{mvar|b}}, अक्सर निरूपित {{math|''a''{{sub|0}}}} को स्थिर पद कहा जाता है (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद<ref>{{cite book |title=An Elementary Course in Theory of Equations |author1=Charles Hiram Chapman |edition= |publisher=J. Wiley & sons |year=1892 |isbn= |page=17 |url=https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ}} [https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ&pg=PA17 पृष्ठ 17 का उद्धरण]</ref><ref>{{cite book |title=Numbers Universalized: An Advanced Algebra |author1=David Martin Sensenig |edition= |publisher=American Book Company |year=1890 |isbn= |page=113 |url=https://books.google.com/books?id=TvMGAAAAYAAJ}} [https://books.google.be/books?id=TvMGAAAAYAAJ&pg=PA113 पृष्ठ 113 का उद्धरण]</ref>) संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को के लिए आरक्षित किया जा सकता है {{math|''a''{{sub|''i''}}}} साथ  {गणित|i> 0}}।
+गुणांक {{mvar|b}} स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद<ref>{{cite book |title=An Elementary Course in Theory of Equations |author1=Charles Hiram Chapman |edition= |publisher=J. Wiley & sons |year=1892 |isbn= |page=17 |url=https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ}} [https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ&pg=PA17 पृष्ठ 17 का उद्धरण]</ref><ref>{{cite book |title=Numbers Universalized: An Advanced Algebra |author1=David Martin Sensenig |edition= |publisher=American Book Company |year=1890 |isbn= |page=113 |url=https://books.google.com/books?id=TvMGAAAAYAAJ}} [https://books.google.be/books?id=TvMGAAAAYAAJ&pg=PA113 पृष्ठ 113 का उद्धरण]</ref>) होता है, जिसे प्राय: {{math|''a''{{sub|0}}}} से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ {{math|''a''{{sub|''i''}}}} के लिए आरक्षित किया जा सकता है।
 व्यवहार करते समय <math>n=3</math> चर, इसका उपयोग करना आम है <math>x,\; y</math> तथा <math>z</math> अनुक्रमित चर के बजाय।

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
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