घन फलन

Not to be confused with Cubic equation.

किसी फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है—जहां y = 0). दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं। यहाँ समारोह है f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4.

गणित में, घनीय फलन, रूप का फलन (गणित) होता है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहां गुणांक a, b, c, तथा d सम्मिश्र संख्या और चर हैं x वास्तविक मूल्य लेता है, और $a\neq 0$. दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है। विशेष रूप से, किसी फलन का प्रांत और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

स्थापना f(x) = 0 रूप का एक घन समीकरण बनाता है

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

जिनके हल फलन के फलन का मूल कहलाते हैं।

एक घनीय फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं); सभी विषम-डिग्री वाले बहुपदों का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

क्यूबिक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित), एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम हो सकते हैं। अन्यथा, एक घन कार्य मोनोटोनिक है। एक घन फलन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक affine परिवर्तन तक, क्यूबिक फ़ंक्शंस के लिए केवल तीन संभावित ग्राफ़ हैं।

क्यूबिक इंटरपोलेशन के लिए क्यूबिक फ़ंक्शन मूलभूत हैं।

इतिहास

Main article: Cubic equation § History

महत्वपूर्ण और विभक्ति बिंदु

File:Cubic graph special points.svg

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

क्यूबिक फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) इसके स्थिर बिंदु हैं, यानी वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का ढलान शून्य है। इस प्रकार एक घन कार्य के महत्वपूर्ण बिंदु f द्वारा परिभाषित

f(x) = ax³ + bx² + cx + d,

के मान पर होता है x ऐसा है कि व्युत्पन्न

$3ax^{2}+2bx+c=0$

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान हैं xमहत्वपूर्ण बिंदुओं के -मान और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं

$x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.$

वर्गमूल के अंदर व्यंजक का चिह्न महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि b² – 3ac = 0, तो केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि b² – 3ac < 0, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी अगर b² – 3ac नॉनपोजिटिव है, क्यूबिक फ़ंक्शन सख्ती से मोनोटोनिक है। मामले के उदाहरण के लिए चित्र देखें Δ₀ > 0.

किसी फ़ंक्शन का नति परिवर्तन बिंदु वह होता है, जहां वह फ़ंक्शन दूसरा डेरिवेटिव#Concavity बदलता है। एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा अवकलज अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

$x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.$

वर्गीकरण

File:Cubic function (different c).svg

प्रपत्र के घन कार्य $y=x^{3}+cx.$
किसी भी घन फलन का ग्राफ ऐसे वक्र के समान (ज्यामिति) होता है।

क्यूबिक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक क्यूबिक वक्र है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र फ़ंक्शंस के ग्राफ़ नहीं हैं।

हालांकि क्यूबिक फ़ंक्शन चार पैरामीटर पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ़ में बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक क्यूबिक फंक्शन का ग्राफ फॉर्म के फंक्शन के ग्राफ के साथ हमेशा समानता (ज्यामिति) होता है

$y=x^{3}+px.$ इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (समान स्केलिंग), और, संभवतः, एक प्रतिबिंब (गणित) (दर्पण छवि) के संबंध में y-एक्सिस। एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ़ को तीन घन कार्यों में से एक के ग्राफ़ में बदल सकती है

${\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}$

इसका मतलब यह है कि एक परिशोधन परिवर्तन तक घन कार्यों के केवल तीन ग्राफ़ हैं।

सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, अगर a < 0, चर का परिवर्तन x → –x मानने की अनुमति देता है a > 0. चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले वाले की दर्पण छवि है, के संबंध में y-एक्सिस।

फिर, चर का परिवर्तन x = x₁ – b/3a प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है

$y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.$

यह के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है x-एक्सिस।

चर का परिवर्तन y = y₁ + q के संबंध में एक अनुवाद के अनुरूप है y-एक्सिस, और फॉर्म का एक फंक्शन देता है

$y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.$

चर का परिवर्तन $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ एक समान स्केलिंग से मेल खाता है, और द्वारा गुणा करने के बाद देता है ${\sqrt {a}},$ फॉर्म का एक कार्य

$y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},$

जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

तो अगर p ≠ 0, गैर-समान स्केलिंग $\textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}$ द्वारा विभाजन के बाद देता है $\textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},$

$y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),$

कहाँ पे $\operatorname {sgn}(p)$ के चिह्न के आधार पर मान 1 या -1 है p. अगर कोई परिभाषित करता है $\operatorname {sgn}(0)=0,$ फ़ंक्शन का बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है (के साथ $x_{2}=x_{3}$ तथा $y_{2}=y_{3}$).

समरूपता

फॉर्म के क्यूबिक फंक्शन के लिए $y=x^{3}+px,$ विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फ़ंक्शन एक विषम फ़ंक्शन है, इसका ग्राफ़ इन्फ़्लेक्शन पॉइंट के संबंध में सममित है, और इन्फ़्लेक्शन पॉइंट के चारों ओर आधे मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, निम्नलिखित सभी घन कार्यों के लिए सत्य है।

एक घन फलन का ग्राफ अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

संरेखता

File:Cubica colinear.png

बिंदु P₁, P₂, तथा P₃ (नीले रंग में) समरेख हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं x³ + 3/2x² − 5/2x + 5/4. बिंदु T₁, T₂, तथा T₃ (लाल रंग में) ग्राफ़ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ़ की (बिंदीदार) स्पर्शरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेदन हैं। वे संरेखी भी हैं।

तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है

$f(x)=x^{3}+px.$

यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ की स्पर्शरेखा है f बिंदु पर (α, f(α)) रेखा है

{(x, f(α) + (x − α)f ′(α)) : x ∈ R}.

तो, इस रेखा और के ग्राफ के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु f समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है f(x) = f(α) + (x − α)f ′(α), वह है

$x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),$

जिसे फिर से लिखा जा सकता है

$x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,$

और के रूप में गुणनखंडित

$(x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.$

तो, स्पर्शरेखा क्यूबिक को इंटरसेप्ट करती है

$(-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).$

तो, वह फ़ंक्शन जो एक बिंदु को मैप करता है (x, y) ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को इंटरसेप्ट करती है

$(x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).$

यह एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन है जो कोलीनियर पॉइंट्स को कोलीनियर पॉइंट्स में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।

क्यूबिक इंटरपोलेशन

Main article: Spline interpolation

किसी फ़ंक्शन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।

इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप से, एक फ़ंक्शन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फ़ंक्शन के साथ फ़ंक्शन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़े-टुकड़े क्यूबिक फ़ंक्शन है।

यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में निरंतर भिन्न होने वाले फ़ंक्शन द्वारा फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़े-टुकड़े क्यूबिक होता है। विशिष्ट रूप से परिभाषित इंटरपोलेशन होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे अंत बिंदु पर डेरिवेटिव के मान, या अंत बिंदु पर शून्य वक्रता।

बाहरी संबंध

• "Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.