बीजगणित

For the kind of algebraic structure, see Algebra over a field. For other uses, see बीजगणित (disambiguation).

File:Quadratic formula.svg

द्विघात सूत्र समीकरण के हल को व्यक्त करता है ax² + bx + c = 0, कहाँ पे a शून्य नहीं है, इसके गुणांकों के संदर्भ में a, b और c.

बीजगणितfrom Arabic ‏الجبر‎al-jabr)  ' टूटे हुए हिस्सों का पुनर्मिलन बोनसेटिंग ' गणित के व्यापक क्षेत्र गणित । मोटे तौर पर, बीजगणित गणितीय प्रतीक एस का अध्ययन है और सूत्र एस में इन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों का अध्ययन है। यह लगभग सभी गणित का एक एकीकृत सूत्र है

प्रारंभिक बीजगणित     चर  के हेरफेर से संबंधित है जैसे कि वे संख्याएँ थीं (चित्र देखें), और इसलिए गणित के सभी अनुप्रयोगों में आवश्यक है।  सार बीजगणित ,  शिक्षा  में  बीजीय संरचना  के अध्ययन के लिए दिया गया नाम है जैसे    समूह ,    छल्ले , और    क्षेत्र  .  रेखीय बीजगणित , जो  रैखिक समीकरण  एस और  रैखिक मानचित्रण  एस से संबंधित है, का उपयोग  ज्यामिति  की आधुनिक प्रस्तुतियों के लिए किया जाता है, और इसमें कई हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग (उदाहरण के लिए  मौसम पूर्वानुमान  में)। गणित के ऐसे कई क्षेत्र हैं जो बीजगणित से संबंधित हैं, कुछ में उनके नाम पर बीजगणित है, जैसे  कम्यूटेटिव बीजगणित  और कुछ नहीं, जैसे  गैलोइस सिद्धांत ।

'बीजगणित' शब्द का प्रयोग केवल गणित के एक क्षेत्र और कुछ उपक्षेत्रों के नामकरण के लिए नहीं किया जाता है; इसका उपयोग कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं के नामकरण के लिए भी किया जाता है, जैसे कि ]] क्षेत्र पर [[ बीजगणित, जिसे आमतौर पर बीजगणित कहा जाता है। कभी-कभी, उपक्षेत्र और इसकी मुख्य बीजीय संरचनाओं के लिए एक ही वाक्यांश का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए, बूलियन बीजगणित और बूलियन बीजगणित । बीजगणित में विशेषज्ञता रखने वाले गणितज्ञ को बीजगणित विज्ञानी कहा जाता है।

व्युत्पत्ति

  अंगूठा |  सीधा=0.8[5]

'बीजगणित' शब्द से आया है Arabic: الجبر, romanized: al-jabr, lit. 'reunion of broken parts, bonesetting' 9वीं शताब्दी की शुरुआत की किताब ^cइल्म अल-जबर वा एल-मुकाबाला द साइंस ऑफ रिस्टोरिंग एंड बैलेंसिंग बाय द फारसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अल-ख्वारिज्मी । अपने काम में, 'अल-जबर' शब्द एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करने के संचालन को संदर्भित करता है, المقابلة अल-मुकाबाला संतुलन को दोनों पक्षों में समान शब्दों को जोड़ने के लिए संदर्भित किया जाता है। लैटिन में केवल बीजगणित या बीजगणित तक संक्षिप्त किया गया, यह शब्द अंततः 15वीं शताब्दी के दौरान स्पेनिश, इतालवी या मध्यकालीन लैटिन से अंग्रेजी भाषा में प्रवेश कर गया। यह मूल रूप से टूटी हुई या अव्यवस्थित हड्डियों को स्थापित करने की शल्य प्रक्रिया को संदर्भित करता है। गणितीय अर्थ पहली बार (अंग्रेज़ी में) 16वीं सदी में दर्ज किया गया था

बीजगणित के विभिन्न अर्थ

बीजगणित शब्द के गणित में एक शब्द के रूप में या क्वालीफायर के साथ कई संबंधित अर्थ हैं।

• एक लेख के बिना एक शब्द के रूप में, बीजगणित गणित के एक व्यापक हिस्से का नाम देता है।
• एक लेख के साथ या बहुवचन में एक शब्द के रूप में, एक बीजगणित या बीजगणित एक विशिष्ट गणितीय संरचना को दर्शाता है, जिसकी सटीक परिभाषा संदर्भ पर निर्भर करती है। आमतौर पर, संरचना में एक जोड़, गुणा और अदिश गुणन होता है (देखें बीजगणित एक क्षेत्र पर)। जब कुछ लेखक बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं, तो वे निम्नलिखित अतिरिक्त मान्यताओं का एक सबसेट बनाते हैं: सहयोगी , कम्यूटेटिव , यूनिटल , और/या परिमित-आयामी। सार्वभौमिक बीजगणित में, बीजगणित शब्द उपरोक्त अवधारणा के सामान्यीकरण को संदर्भित करता है, जो एन-आर्य संचालन की अनुमति देता है।
• एक क्वालीफायर के साथ, एक ही भेद है:
  • एक लेख के बिना, इसका मतलब बीजगणित का एक हिस्सा है, जैसे रैखिक बीजगणित , प्रारंभिक बीजगणित ( प्राथमिक और माध्यमिक शिक्षा के भाग के रूप में गणित के प्राथमिक पाठ्यक्रमों में पढ़ाए जाने वाले प्रतीक-हेरफेर नियम) ), या अमूर्त बीजगणित (स्वयं के लिए बीजीय संरचनाओं का अध्ययन)।
  • एक लेख के साथ, इसका अर्थ कुछ बीजीय संरचना का एक उदाहरण है, जैसे झूठ बीजगणित , सहयोगी बीजगणित , या वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित ।
  • कभी-कभी दोनों अर्थ एक ही क्वालीफायर के लिए मौजूद होते हैं, जैसा कि वाक्य में है: कम्यूटेटिव बीजगणित कम्यूटेटिव रिंग एस का अध्ययन है, जो कम्यूटेटिव बीजगणित पूर्णांकों पर है।

बीजगणित गणित की एक शाखा के रूप में

बीजगणित की शुरुआत अंकगणित के समान गणनाओं के साथ हुई, जिसमें संख्याओं के लिए अक्षर खड़े थे इसने उन संपत्तियों के प्रमाणों की अनुमति दी जो सत्य हैं चाहे कोई भी संख्या शामिल हो। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण . में$ax^{2}+bx+c=0,$ $a,b,c$ can be any numbers whatsoever (except that $a$ cannot be $0$), and the quadratic formula can be used to quickly and easily find the values of the unknown quantity $x$ जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं। अर्थात् समीकरण के सभी हल ज्ञात करना।

ऐतिहासिक रूप से, और वर्तमान शिक्षण में, बीजगणित का अध्ययन समीकरणों को हल करने से शुरू होता है, जैसे कि ऊपर द्विघात समीकरण। फिर अधिक सामान्य प्रश्न, जैसे कि क्या किसी समीकरण का कोई हल है? एक समीकरण के कितने हल होते हैं? , समाधान की प्रकृति के बारे में क्या कहा जा सकता है? माना जाता है। इन सवालों ने बीजगणित को गैर-संख्यात्मक वस्तुओं तक बढ़ाया, जैसे कि क्रमचय एस, वैक्टर , मैट्रिक्स , और बहुपद एस। इन गैर-संख्यात्मक वस्तुओं के संरचनात्मक गुणों को तब बीजगणितीय संरचना में औपचारिक रूप दिया गया था जैसे कि समूह , रिंग , और फ़ील्ड ।

16वीं शताब्दी से पहले, गणित को केवल दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया था, अंकगणित और ज्यामिति । भले ही कुछ तरीके, जो बहुत पहले विकसित किए गए थे, उन्हें आजकल बीजगणित, बीजगणित के उद्भव और इसके तुरंत बाद, गणित के उपक्षेत्रों के रूप में इनफिनिट्सिमल कैलकुलस के रूप में माना जा सकता है, जो केवल 16वीं या 17वीं शताब्दी के हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, गणित के कई नए क्षेत्र सामने आए, जिनमें से अधिकांश ने अंकगणित और ज्यामिति दोनों का उपयोग किया, और लगभग सभी ने बीजगणित का उपयोग किया।

आज, बीजगणित काफी बढ़ गया है और इसमें गणित की कई शाखाएँ शामिल हैं, जैसा कि [[ गणित विषय वर्गीकरण में देखा जा सकता है] जहां प्रथम स्तर के किसी भी क्षेत्र (दो अंकों की प्रविष्टियां) को बीजगणित नहीं कहा जाता है। आज बीजगणित में खंड 08-सामान्य बीजगणितीय प्रणाली, 12- क्षेत्र सिद्धांत और बहुपद एस, 13- कम्यूटेटिव बीजगणित , 15- रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित शामिल हैं; मैट्रिक्स सिद्धांत , 16- सहयोगी छल्ले और बीजगणित , 17- गैर-सहयोगी अंगूठी एस और बीजगणित , 18- श्रेणी सिद्धांत ; समरूप बीजगणित , 19- के-सिद्धांत और 20- समूह सिद्धांत । 11- संख्या सिद्धांत और 14- बीजगणितीय ज्यामिति में भी बीजगणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

इतिहास

Main articles: History of algebra and Timeline of algebra

बीजगणित का प्रारंभिक इतिहास

[[फ़ाइल: इमेज-अल-किताब अल-मुताशर फी इसाब अल-सब्र व-एल-मुकbala.jpg|thumb|upright=0.8|   अल-ख्वारिज्मी  की '   अल-किताब अल-मुश्तर फी इसाब अल-मुकबला 22-  

बीजगणित की जड़ों का पता प्राचीन बेबीलोनियाई . से लगाया जा सकता है जिन्होंने एक उन्नत अंकगणितीय प्रणाली विकसित की जिसके साथ वे एल्गोरिथम आईसी फैशन में गणना करने में सक्षम थे। बेबीलोनियों ने रैखिक समीकरण एस, द्विघात समीकरण एस और अनिश्चित रैखिक समीकरण का उपयोग करके आज आमतौर पर हल की गई समस्याओं के समाधान की गणना करने के लिए सूत्र विकसित किए। इसके विपरीत, इस युग के अधिकांश मिस्रवासी , साथ ही यूनानी और चीनी गणित पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में, आमतौर पर ज्यामितीय तरीकों से ऐसे समीकरणों को हल करते थे, जैसे कि 'में वर्णित'। ' रेंड मैथमैटिकल पेपिरस ', यूक्लिड के तत्व , और द नाइन चैप्टर ऑन द मैथमैटिकल आर्ट । यूनानियों के ज्यामितीय कार्य, 'तत्वों' में टाइप किए गए, विशेष समस्याओं के समाधान से परे सूत्रों को समीकरणों को बताने और हल करने की अधिक सामान्य प्रणालियों में सामान्यीकरण के लिए रूपरेखा प्रदान करते हैं, हालांकि यह गणित मध्यकालीन इस्लाम में विकसित हुआ

प्लेटो  के समय तक, ग्रीक गणित में भारी बदलाव आया था। यूनानियों ने एक    ज्यामितीय बीजगणित  बनाया जहां शब्दों को ज्यामितीय वस्तुओं के पक्षों द्वारा दर्शाया गया था, आमतौर पर रेखाएं, जिनमें उनके साथ जुड़े अक्षर थे  डायोफैंटस  (तीसरी शताब्दी ई.)  अलेक्जेंड्रिया  एन ग्रीक गणितज्ञ और ' अंकगणित ' नामक पुस्तकों की एक श्रृंखला के लेखक थे। ये ग्रंथ  बीजगणितीय समीकरण  s . को हल करने से संबंधित हैं और  संख्या सिद्धांत  में,  डायोफैंटाइन समीकरण  की आधुनिक धारणा का नेतृत्व किया है।

ऊपर चर्चा की गई पूर्व परंपराओं का ईरान के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी (सी। 780-850) पर सीधा प्रभाव था। बाद में उन्होंने द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग लिखा, जिसने बीजगणित को एक गणितीय अनुशासन के रूप में स्थापित किया जो ज्यामिति और अंकगणित से स्वतंत्र है।

  हेलेनिस्टिक  गणितज्ञ  अलेक्जेंड्रिया के हीरो  और डायोफैंटु साथ ही    भारतीय गणितज्ञ  जैसे  ब्रह्मगुप्त , ने मिस्र और बेबीलोन की परंपराओं को जारी रखा, हालांकि डायोफैंटस अरिथमेटिका और ब्रह्मगुप्त की  ब्रह्मस्फूससिद्धांत  उच्च स्तर पर हैं। उदाहरण के लिए, प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा गया पहला पूर्ण अंकगणितीय हल ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में प्रकाशित अपनी पुस्तक ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त में द्विघात समीकरणों के शून्य और ऋणात्मक हलों का वर्णन किया है। बाद में, फारसी और    अरब  गणितज्ञों ने बीजगणितीय विधियों को बहुत अधिक परिष्कार के लिए विकसित किया। हालांकि डायोफैंटस और बेबीलोनियों ने समीकरणों को हल करने के लिए ज्यादातर विशेष तदर्थ तरीकों का इस्तेमाल किया, अल-ख्वारिज्मी का योगदान मौलिक था। उन्होंने बीजगणितीय प्रतीकवाद के बिना रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल किया,  ऋणात्मक संख्या  या  शून्य , इस प्रकार उन्हें कई प्रकार के समीकरणों में अंतर करना पड़ा

उस संदर्भ में जहां बीजगणित की पहचान समीकरणों के सिद्धांत के साथ की जाती है, ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस को पारंपरिक रूप से बीजगणित के पिता के रूप में जाना जाता है और संदर्भ में जहां इसे समीकरणों में हेरफेर और हल करने के नियमों के साथ पहचाना जाता है, फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी है बीजगणित का जनक माना जाता है यह बहस के लिए खुला है कि क्या डायोफैंटस या अल-ख्वारिज्मी सामान्य अर्थों में, बीजगणित के पिता के रूप में जाने जाने के अधिक हकदार हैं। जो लोग डायोफैंटस का समर्थन करते हैं, वे इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि अल-जबर में पाया गया बीजगणित अरिथमेटिका में पाए जाने वाले बीजगणित की तुलना में थोड़ा अधिक प्राथमिक है और अरिथमेटिका को अल-जबर के साथ जोड़कर देखा जाता है। 'पूरी तरह से बयानबाजी है जो लोग अल-ख्वारिज्मी का समर्थन करते हैं, वे इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि उन्होंने रिडक्शन और बैलेंसिंग (एक समीकरण के दूसरी तरफ घटाए गए शब्दों का स्थानान्तरण, यानी को रद्द करना ) के तरीकों की शुरुआत की। समीकरण के विपरीत पक्षों पर) जिसे अल-जबर शब्द मूल रूप से संदर्भित किया जाता है और उन्होंने द्विघात समीकरणों को हल करने की विस्तृत व्याख्या की बीजगणित को अपने आप में एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में मानते हुए ज्यामितीय प्रमाणों द्वारा समर्थित उनका बीजगणित भी अब हल की जाने वाली समस्याओं की एक श्रृंखला से संबंधित नहीं था, लेकिन एक प्रदर्शनी जो आदिम शब्दों से शुरू होता है जिसमें संयोजनों को समीकरणों के लिए सभी संभावित प्रोटोटाइप देना चाहिए, जो आगे स्पष्ट रूप से अध्ययन की वास्तविक वस्तु का गठन करते हैं . उन्होंने अपने स्वयं के लिए और सामान्य तरीके से एक समीकरण का भी अध्ययन किया, क्योंकि यह किसी समस्या को हल करने के दौरान न केवल उभरता है, बल्कि विशेष रूप से समस्याओं के अनंत वर्ग को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है।

एक अन्य फारसी गणितज्ञ उमर खय्याम को बीजगणितीय ज्यामिति की नींव की पहचान करने का श्रेय दिया जाता है और उन्होंने घन समीकरण का सामान्य ज्यामितीय हल खोजा। उसका बोओके बीजगणित की समस्याओं के प्रदर्शन पर ग्रंथ (1070), जो बीजगणित के सिद्धांतों को निर्धारित करता है, फारसी गणित के शरीर का हिस्सा है जिसे अंततः यूरोप में प्रसारित किया गया था। फिर भी एक और फारसी गणितज्ञ, शराफ अल-दीन अल-त्सī , ने घन समीकरणों के विभिन्न मामलों के बीजीय और संख्यात्मक समाधान पाए उन्होंने फंक्शन . की अवधारणा भी विकसित की भारतीय गणितज्ञ महावीर और भास्कर द्वितीय , फारसी गणितज्ञ अल-काराजी और चीनी गणितज्ञ झू शिजी ने संख्यात्मक विधियों का उपयोग करते हुए क्यूबिक, क्वार्टिक , क्विंटिक और उच्च-क्रम बहुपद समीकरणों के विभिन्न मामलों को हल किया। 13वीं शताब्दी में, फाइबोनैचि द्वारा एक घन समीकरण का समाधान यूरोपीय बीजगणित में एक पुनरुद्धार की शुरुआत का प्रतिनिधि है। अबू अल-आसन इब्न अली अल-क़लादादी (1412-1486) ने बीजगणितीय प्रतीकवाद की शुरुआत की दिशा में पहला कदम उठाया। उन्होंने Σn², Σn³ की भी गणना की और वर्गमूलों को निर्धारित करने के लिए क्रमिक सन्निकटन की विधि का उपयोग किया

बीजगणित का आधुनिक इतिहास

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इतालवी गणितज्ञ गिरोलामो कार्डानो ने क्यूबिक और क्वार्टिक समीकरण एस के समाधान अपनी 1545 पुस्तक आर्स मैग्ना " में प्रकाशित किए।

फ्रेंकोइस विएते  का  नए बीजगणित  पर 16वीं सदी के अंत में किया गया कार्य आधुनिक बीजगणित की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम था। 1637 में,  रेने डेसकार्टेस  ने ' ला जियोमेट्री ' प्रकाशित किया,  विश्लेषणात्मक ज्यामिति  का आविष्कार किया और आधुनिक बीजगणितीय संकेतन की शुरुआत की। बीजगणित के आगे विकास में एक अन्य महत्वपूर्ण घटना घन और चतुर्थक समीकरणों का सामान्य बीजगणितीय समाधान था, जिसे 16 वीं शताब्दी के मध्य में विकसित किया गया था।  निर्धारक  का विचार    जापानी गणितज्ञ   सेकी कोवा  द्वारा 17वीं शताब्दी में विकसित किया गया था, इसके बाद  [[ मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उद्देश्य से  गॉटफ्राइड लाइबनिज  ने स्वतंत्र रूप से पीछा किया। (गणित) |  मैट्रिक्स ]]।  गेब्रियल क्रैमर  ने भी 18वीं शताब्दी में मैट्रिक्स और निर्धारकों पर कुछ काम किया। क्रमपरिवर्तन का अध्ययन  जोसेफ-लुई लैग्रेंज  ने अपने 1770 के पेपर रिफ्लेक्सियंस सुर ला रिजोल्यूशन अल्जेब्रिक डेस इक्वेशन्स में किया था।" बीजगणितीय समीकरणों के समाधान के लिए समर्पित, जिसमें उन्होंने    लैग्रेंज रिसोल्वेंट  पेश किया।  पाओलो रफिनी   क्रमचय समूह  एस के सिद्धांत को विकसित करने वाले पहले व्यक्ति थे, और अपने पूर्ववर्तियों की तरह, बीजीय समीकरणों को हल करने के संदर्भ में भी।

सार बीजगणित  को 19वीं शताब्दी में विकसित किया गया था, जो समीकरणों को हल करने में रुचि से प्राप्त हुआ था, शुरू में उस पर ध्यान केंद्रित किया गया था जिसे अब  गैलोइस सिद्धांत  कहा जाता है, और    निर्माण क्षमता  मुद्दे  जॉर्ज पीकॉक  अंकगणित और बीजगणित में स्वयंसिद्ध सोच के संस्थापक थे।  ऑगस्टस डी मॉर्गन  ने अपने तर्क की एक प्रस्तावित प्रणाली के पाठ्यक्रम में  संबंध बीजगणित  की खोज की।  योशिय्याह विलार्ड गिब्स  ने त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर का बीजगणित विकसित किया, और  आर्थर केली  ने मैट्रिक्स का बीजगणित विकसित किया (यह एक गैर-अनुवांशिक बीजगणित है)

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[[File:Mathematics lecture at the Helsinki University of Technology.jpg|thumb| [[ आल्टो विश्वविद्यालय में