सप्तभुज

Regular heptagon
File:Regular polygon 7 annotated.svg A regular heptagon
प्रकार	Regular polygon
किनारेs और कोने	7
स्लीपी सिंबल	{7}
कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस	File:CDel node 1.pngFile:CDel 7.pngFile:CDel node.png
समरूपता समूह	Dihedral (D7), order 2×7
आंतरिक कोण (डिग्री)	≈128.571°
गुण	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

ज्यामिति में, एक सप्तभुज या सप्तभुज एक सात भुजाओं वाला बहुभुज या 7-गॉन होता है।

हेप्टागन को कभी-कभी ग्रीक प्रत्यय "-एगॉन" अर्थ कोण के साथ "सेप्ट-" (सेप्टुआ का एक अंश-, लैटिन-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग, हेप्टा- के बदले,  ग्रीक-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग; दोनों सजातीय हैं) का प्रयोग करके सेप्टागन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

नियमित सप्तभुज

सम-सप्तभुज, जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं, का आंतरिक कोण 5π/7 रेडियन (1284⁄7 डिग्री (कोण) हैं। इसका स्याफ्ली प्रतीक (Schläfli symbol) {7} है।

क्षेत्र

भुजा (साइड) लंबाई a के एक नियमित सप्तभुज का क्षेत्रफल (A) द्वारा दिया गया है:

$A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.$

इसे केंद्र में और हेप्टागन के शीर्ष पर इकाई-पक्षीय हेप्टागन को सात त्रिकोणीय "पाई स्लाइस" में उप-विभाजित करके देखा जा सकता है और फिर प्रत्येक त्रिकोण को अंतःत्रिज्या को सामान्य पक्ष के रूप में उपयोग करके देखा जा सकता है। अंतःत्रिज्या का आधा कोटिस्पर्श है $\pi /7,$ और 14 छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या का एक-चौथाई है।

त्रिज्या R के एक वृत्त में खुदे हुए एक सम-सप्तभुज का क्षेत्रफल है ${\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},$ जबकि वृत्त का क्षेत्रफल ऐसा है $\pi R^{2};$ कि सम-सप्तभुज इसके परिधि वाले वृत्त का लगभग 0.8710 भाग भर जाता है।

निर्माण

जैसा कि 7 एक पियरपोंट प्राइम है, लेकिन फर्मेट प्राइम नहीं है, नियमित हेप्टागन कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन चिह्नित मापक और कम्पास निर्माण योग्य है। इस गुण के साथ सबसे छोटा सम-बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि $\scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$ अखंडनीय बहुपद घनीय फलन का शून्य है x³ + x² − 2x − 1. नतीजतन, यह बहुपद का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) है 2cos(2π⁄7), जबकि स्वीकार्य संख्या के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की पावर होनी चाहिए।

File:Neusis-heptagon.png नियमित सप्तभुज में आंतरिक कोण का एक नया निर्माण है।

File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif एंड्रयू एम. ग्लीसन के अनुसार, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन के आधार पर परिवृत्त ${\overline {OA}}=6$ की त्रिज्या के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन है। यह निर्माण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $6\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)=2{\sqrt {7}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left(3{\sqrt {3}}\right)\right)-1.$

File:01-Siebeneck-nach Johnson.gif

दी गई पार्श्व लंबाई के साथ हेप्टागन:
डेविड जॉनसन लीस्क (क्रॉकेट जॉनसन) के अनुसार चिह्नित रूलर के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन।

सन्निकटन

आरेख लगभग 0.2% की त्रुटि के साथ व्यावहारिक उपयोग के लिए एक सन्निकटन दिखाता है। इसका श्रेय अल्ब्रेक्ट ड्यूरर को दिया जाता है। माना A परिवृत्त की परिधि पर स्थित है। चाप BOC खींचिए। फिर $\scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}$ हेप्टागन के किनारे के लिए एक सन्निकटन देता है।

यह सन्निकटन उपयोग करता है $\scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603$ यूनिट सर्कल में खुदा हुआ हेप्टागन के पक्ष के लिए, जबकि सटीक मान है $\scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777$.

गड़बड़ी को समझाने के लिए उदाहरण:
किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या r = 1 मी पर, पहली भुजा की पूर्ण त्रुटि लगभग -1.7 मिमी होगी

समरूपता

File:Symmetries of heptagon.png

एक नियमित सप्तभुज की समरूपता। शिखरों को उनकी सममिति स्थितियों के अनुसार रंगा जाता है। नीली दर्पण रेखाएँ शीर्षों और किनारों के माध्यम से खींची जाती हैं। केंद्र में जाइरेशन ऑर्डर दिए जाते हैं।

नियमित हेप्टागन डायहेड्रल समरूपता से संबंधित है। D_7h बिंदु समूह (शॉनफ्लाइज़ संकेतन), क्रम 28. समरूपता तत्व हैं: एक 7-गुना उचित घूर्णन अक्ष C₇, एक 7-गुना अनुचित घूर्णन अक्ष, S₇, 7 ऊर्ध्वाधर दर्पण तल, σ_v, 7 2-गुना घूर्णन कुल्हाड़ियों, सी₂, सप्तभुज के तल में और एक क्षैतिज दर्पण तल में, σ_h, सप्तभुज के तल में भी है।

विकर्ण और षट्कोणीय त्रिभुज

Main article: सप्तकोणीय (हेप्टागोनल) त्रिभुज

File:Heptagrams.svg

ए = लाल, बी = नीला, सी = हरी रेखाएं

सम सप्तभुज की भुजा a, छोटा विकर्ण b, और लंबा विकर्ण c, a<b<c से संतुष्ट होता है

$a^{2}=c(c-b),$

$b^{2}=a(c+a),$

$c^{2}=b(a+b),$

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}$ (ऑप्टिक समीकरण)

और इसलिए

$ab+ac=bc,$

तथा

$b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,$

$c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,$

$a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,$

इस प्रकार –b/c, c/a, और a/b सभी घन समीकरण को संतुष्ट करते हैं $t^{3}-2t^{2}-t+1=0.$ हालांकि, इस समीकरण के समाधान के लिए पूरी तरह से वास्तविक टर्म  के साथ कोई बीजगणितीय अभिव्यक्ति उपस्थित नहीं है, क्योंकि यह कैसस इरेड्यूसीबिलिस का एक उदाहरण है।

सम सप्तभुज की भुजा के संदर्भ में विकर्णों की अनुमानित लंबाई निम्न द्वारा दी जाती है

$b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.$

हमारे पास भी है

$b^{2}-a^{2}=ac,$

$c^{2}-b^{2}=ab,$

$a^{2}-c^{2}=-bc,$

तथा

${\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.$

सप्तकोणीय त्रिभुज में वर्टेक्स (ज्यामिति) होता है जो एक नियमित हेप्टागन के पहले, दूसरे और चौथे कोने के साथ मेल खाता है (एक मनमाने ढंग से प्रारंभ होने वाले शीर्ष से) और कोण $\pi /7,2\pi /7,$ तथा $4\pi /7.$ इस प्रकार इसकी भुजाएँ नियमित सप्तभुज के एक पार्श्व और दो विशेष विकर्णों से मेल खाती हैं।

बहुफलक (पॉलीहेड्रा) में

सप्तकोणीय प्रिज्म और सप्तकोणीय एंटीप्रिज्म के अलावा, नियमित बहुभुजों से पूरी तरह से बने कोई उत्तल पॉलीहेड्रॉन में चेहरे के रूप में एक हेप्टागन नहीं होता है।

स्टार सप्तभुज

नियमित हेप्टागन से दो प्रकार के स्टार हेप्टागन (हेप्टाग्राम) का निर्माण किया जा सकता है, जिसे श्लाफली प्रतीकों {7/2}, और {7/3} द्वारा लेबल किया जाता है, जिसमें विभाजक कनेक्शन का अंतराल होता है।

File:Heptagrams.svg
नीला, {7/2} और हरा {7/3} लाल सप्तभुज के भीतर तारा सप्तभुज

टाइलिंग और पैकिंग

File:3.7.42 vertex.png

Triangle, heptagon, and 42-gon vertex

File:Heptagonal tiling.svg

Hyperbolic heptagon tiling

नियमित त्रिभुज, सप्तभुज, और 42-गॉन पूरी तरह से समतल शीर्ष को भर सकते हैं। हालांकि, केवल इन बहुभुजों के साथ समतल की कोई टाइलिंग नहीं है, क्योंकि उनमें से किसी एक को त्रिकोण के तीसरे पक्ष पर एक अंतर छोड़े बिना या एक ओवरलैप बनाए बिना फिट करने का कोई तरीका नहीं है। अतिपरवलयिक तल में, नियमित सप्तभुजों द्वारा झुकाव संभव है।

नियमित हेप्टागन में पैकिंग घनत्व लगभग 0.89269 के यूक्लिडियन विमान का एक डबल जाली पैकिंग है। यह किसी उत्तल सेट के इष्टतम डबल जाली पैकिंग घनत्व के लिए सबसे कम घनत्व संभव है, और आमतौर पर किसी भी उत्तल सेट के इष्टतम पैकिंग घनत्व के लिए अनुमान लगाया गया है।

अनुभवजन्य उदाहरण

File:Geometry problem-Sb 13088-IMG 0593-white.jpg

शास्त्रियों के लिए एक स्कूल से संबंधित मिट्टी की गोली पर त्रिभुजों में विभाजित एक सप्तभुज की सतह की ज्यामिति समस्या; सूसा, दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की पहली छमाही

यूनाइटेड किंगडम, 2022 तक, दो हेप्टागोनल सिक्के, 50p और 20p टुकड़े हैं, और बारबाडोस डॉलर भी हेप्टागोनल है। 20-यूरो सेंट के सिक्के में इसी तरह की गुहाएं होती हैं। सख्ती से, सिक्कों का आकार एक रेउलेक्स हेप्टागन है, एक घुमावदार हेप्टागन जिसमें निरंतर चौड़ाई के वक्र होते हैं; वेंडिंग मशीन में डाले जाने पर सिक्कों को सुचारू रूप से रोल करने की अनुमति देने के लिए पक्ष बाहर की ओर मुड़े हुए होते हैं। बोत्सवाना पुला के सिक्के 2 पुला, 1 पुला, 50 थेबे और 5 थेबे के मूल्यवर्ग में भी समबाहु-वक्र हेप्टागन के आकार के हैं। रेलेक्स हेप्टागन के आकार के सिक्के मॉरीशस, संयुक्त अरब अमीरात, तंजानिया, समोआ, पापुआ न्यू गिनी, साओ टोमे और प्रिंसिपे, हैती, जमैका, लाइबेरिया, घाना, गाम्बिया, जॉर्डन, जर्सी, ग्वेर्नसे, आइल ऑफ मैन, में भी प्रचलन में हैं। जिब्राल्टर, गुयाना, सोलोमन द्वीप, फ़ॉकलैंड द्वीप और सेंट हेलेना

ब्राज़िल के 25-प्रतिशत सिक्के में सिक्के की डिस्क में एक सप्तभुज खुदा हुआ है। जॉर्जियाई सोवियत समाजवादी गणराज्य सहित जॉर्जिया (देश) के हथियारों के कोट के कुछ पुराने संस्करणों ने एक तत्व के रूप में {7/2} हेप्टाग्राम का उपयोग किया।

वास्तुकला में, सप्तकोणीय तल योजनाएं बहुत दुर्लभ हैं। एक उल्लेखनीय उदाहरण जर्मनी के स्टैडथगेन में प्रिंस अर्न्स्ट का मकबरा है।

यूएस में कई पुलिस बैज में {7/2} हेप्टाग्राम की रूपरेखा होती है।

यह भी देखें

• हेप्टाग्राम
• बहुभुज

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• इलिजन
• एपोटेम
• RADIUS
• परिबद्ध घेरा
• नेसिस निर्माण
• बहुभुज निर्माण योग्य
• घन समारोह
• निर्माण योग्य संख्या
• स्कोनफ्लाइज़ संकेतन
• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• शिखर (ज्यामिति)
• सप्तकोणीय त्रिकोण
• अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
• वक्रीय निर्देशांक
• रेलेक्स बहुभुज
• पचास पेंस (ब्रिटिश सिक्का)
• राजकुमार अर्न्स्ट का मकबरा
• स्थिर चौड़ाई का वक्र
• बीस पेंस (ब्रिटिश सिक्का)
• जॉर्जिया के राज्य-चिह्न (देश)

बाहरी संबंध

• Definition and properties of a heptagon With interactive animation
• Heptagon according Johnson
• Another approximate construction method
• Polygons – Heptagons
• Recently discovered and highly accurate approximation for the construction of a regular heptagon.
• Heptagon, an approximating construction as an animation
• A heptagon with a given side, an approximating construction as an animation