सेमिग्रुप

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मैग्मा (बीजगणित) और समूहों (गणित) के बीच बीजगणितीय संरचनाएँ: एक अर्द्धसमूह साह्चर्यता के साथ एक मैग्मा है। एकाभ एक तत्समक तत्व वाला अर्धसमूह है।

गणित में, सेमीग्रुप या अर्द्धसमूह एक समुच्चय पर साहचर्य आंतरिक द्विआधारी संक्रियायुक्त बीजगणितीय संरचना है।

अर्द्धसमूह के द्विआधारी संक्रिया को प्रायः x·y, या केवल xy गुणन के रूप में दर्शाया जाता है, जो अर्द्धसमूह संक्रिया को क्रमित युग्म (x, y) पर प्रयुक्त करने के परिणाम को दर्शाता है। साह्चर्यता औपचारिक रूप से इस रूप में व्यक्त की जाती है कि अर्द्धसमूह में सभी x, y और z के लिए, (x·y)·z = x·(y·z)।

अर्द्धसमूहों को मैग्माओं की एक विशेष स्थिति, जहाँ संक्रिया साहचर्य है, या तत्समक तत्व या व्युत्क्रम के अस्तित्व की आवश्यकता के बिना समूहों के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। समूहों या मैग्माओं की स्थिति में, अर्द्धसमूह संक्रिया के क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए x·y आवश्यक रूप से y·x के बराबर नहीं है; आव्यूह गुणन एक ऐसी संक्रिया का प्रसिद्ध उदाहरण है, जो साहचर्य तो है परन्तु क्रम-विनिमेय नहीं है। यदि अर्द्धसमूह संक्रिया क्रम-विनिमेय है, तो अर्द्धसमूह को क्रम-विनिमेय अर्द्धसमूह कहा जाता है या (समूहों की समान स्थिति की तुलना में प्रायः कम) इसे एबेलियन अर्द्धसमूह कहा जा सकता है।

एकाभ, अर्द्धसमूह और समूहों के बीच एक मध्यवर्ती बीजगणितीय संरचना है, और यह एक अर्द्धसमूह भी है जिसमें एक तत्समक तत्व होता है, इस प्रकार समूह के सभी स्वयंसिद्धों का पालन करता है: व्युत्क्रमों के अस्तित्व के लिए एक एकाभ की आवश्यकता नहीं होती है। एक प्राकृतिक उदाहरण द्विआधारी संक्रिया के रूप में संयोजन के साथ स्ट्रिंग हैं, और तत्समक तत्व के रूप में रिक्त स्ट्रिंग है। अरिक्त स्ट्रिंगों तक सीमित करना एक अर्द्धसमूह का उदाहरण प्रदान करता है जो एक एकाभ नहीं है। योग के साथ धनात्मक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह बनाते हैं जो एक एकाभ नहीं है, जबकि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक एक एकाभ बनाते हैं। तत्समक तत्व के बिना एक अर्धसमूह को केवल एक तत्समक तत्व जोड़कर आसानी से एक एकाभ में परिवर्तित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, एकाभों का अध्ययन समूह सिद्धांत के स्थान पर अर्द्धसमूह सिद्धांत में किया जाता है। अर्धसमूहों को क्वासीसमूहों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो एक अलग दिशा में समूहों का एक सामान्यीकरण है; एक क्वासीसमूह में संक्रिया के साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन क्वासीसमूह समूहों से विभाजन की धारणा को संरक्षित करते हैं। अर्द्धसमूहों (या एकाभों) में विभाजन सामान्य रूप से संभव नहीं है।

अर्धसमूहों का औपचारिक अध्ययन 20वीं शताब्दी के प्रारंभ में प्रारंभ हुआ। इसके प्रारंभिक परिणामों में अर्धसमूहों के लिए एक कैले प्रमेय सम्मिलित है, जो किसी भी अर्द्धसमूह को रूपांतरण अर्द्धसमूह के रूप में साकार करता है, जिसमें स्वेच्छ फलन समूह सिद्धांत से एकैकी आच्छादन की भूमिका को प्रतिस्थापित करते हैं। क्रोन-रोड्स सिद्धांत, परिमित अर्धसमूहों के वर्गीकरण में एक गहन परिणाम है, जो परिमित समूहों के लिए जॉर्डन-होल्डर वियोजन के अनुरूप है। अर्द्धसमूहों के अध्ययन के लिए ग्रीन के संबंध जैसी कुछ अन्य तकनीकें समूह सिद्धांत में किसी भी वस्तु को समान नहीं करती हैं।

1950 के दशक के बाद से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में परिमित अर्धसमूहों के सिद्धांत का विशेष महत्व रहा है क्योंकि परिमित अर्धसमूहों और परिमित ऑटोमेटा के बीच सिंटैक्टिक एकाभ के माध्यम से प्राकृतिक संबंध है। प्रायिकता सिद्धांत में, अर्द्धसमूह मार्कोव प्रक्रियाओं से जुड़े हैं। अनुप्रयुक्त गणित के अन्य क्षेत्रों में, अर्धसमूह रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए मौलिक मॉडल हैं। आंशिक अवकल समीकरणों में, एक अर्धसमूह ऐसी किसी भी समीकरण से जुड़ा होता है जिसका स्थानिक मूलकलन समय से स्वतंत्र होता है।

अर्द्धसमूहों के कई विशेष वर्ग हैं, अतिरिक्त गुणों वाले अर्द्धसमूह, जो विशेष अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं। इनमें से कुछ वर्ग समूह के कुछ अतिरिक्त लेकिन सभी गुणों को प्रदर्शित न करके समूहों के और भी समीप हैं। इनमें से हम, नियमित अर्द्धसमूहों, ऑर्थोडॉक्स अर्द्धसमूहों, प्रत्यावर्तनयुक्त अर्द्धसमूहों, प्रतिलोम अर्धसमूहों और रद्दीकरण अर्धसमूहों का उल्लेख करते हैं। अर्द्धसमूहों के कुछ रोचक वर्ग भी हैं जिनमें तुच्छ समूह को छोड़कर कोई समूह नहीं होता है; बैंड और इनके क्रमविनिमेय उपवर्ग-अर्द्धजालक बाद वाले प्रकार के उदाहरण हैं, जो क्रमित बीजगणितीय संरचनाएँ भी हैं।

परिभाषा

अर्द्धसमूह एक द्विआधारी संक्रिया "$\cdot$" (अर्थात्, एक फलन $\cdot :S\times S\rightarrow S$) के साथ एक समुच्चय $S$ है, जो साहचर्य संक्रिया को संतुष्ट करता है:

सभी $a,b,c\in S$ के लिए, समीकरण $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ सत्य है।

अधिक संक्षिप्त रूप से, अर्धसमूह एक साहचर्य मैग्मा है।

अर्द्धसमूहों के उदाहरण

• रिक्त अर्द्धसमूह: रिक्त समुच्चय द्विआधारी संक्रिया के रूप में रिक्त फलन के साथ रिक्त अर्धसमूह बनाता है।
• एक तत्वयुक्त अर्द्धसमूह: एकल {a}, संक्रिया a · a = a के साथ अनिवार्य रूप से केवल एक (विशेष रूप से, समरूपता तक केवल एक), अर्द्धसमूह है।
• दो तत्वयुक्त अर्द्धसमूह: ऐसे पाँच अर्धसमूह हैं जो अनिवार्य रूप से भिन्न हैं।
• "फ्लिप-फ्लॉप" एकाभ: तीन तत्वों वाला एक अर्द्धसमूह एक स्विच पर तीन संक्रियाओं - निर्धारण, पुनर्निर्धारण और कुछ न करना का प्रतिनिधित्व करता है।
• योग के साथ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय। (0 के सम्मिलित होने पर, यह एक एकाभ बन जाता है।)
• न्यूनतम या अधिकतम के साथ पूर्णांकों का समुच्चय। (धनात्मक/ऋणात्मक अनंतता सम्मिलित होने पर, यह एक एकाभ बन जाता है।)
• आव्यूह गुणन के साथ दिए गए आकार का वर्ग गैर-नकारात्मक आव्यूह
• वलय के गुणन के साथ वलय (बीजगणित) का कोई आदर्श।
• संक्रिया के रूप में स्ट्रिंग्स के संयोजन के साथ एक निश्चित वर्णमाला Σ पर सभी परिमित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का सेट - Σ पर तथाकथित मुक्त अर्द्धसमूह। खाली स्ट्रिंग शामिल होने के साथ, यह अर्द्धसमूह Σ पर मुक्त एकाभ बन जाता है।
• अर्द्धसमूह संक्रिया के रूप में स्ट्रिंगों के संयोजन के साथ एक निश्चित वर्णमाला Σ पर सभी परिमित स्ट्रिंगों का समुच्चय - तथाकथित "Σ पर मुक्त अर्द्धसमूह"। रिक्त स्ट्रिंग सम्मिलित होने पर यह अर्द्धसमूह Σ पर मुक्त एकाभ बन जाता है।

• संक्रिया के रूप में संवलन के साथ F की सभी संवलन घातों के साथ एक प्रायिकता वितरण F। इसे संवलन अर्द्धसमूह कहा जाता है।
• रूपान्तरण अर्धसमूह और एकाभ।
• फलनों के संयोजन के साथ एक सांस्थितीय अंतरिक्ष से सतत फलन का समुच्चय तत्सम के रूप में कार्य करने वाले तत्समक फलन के साथ एक एकाभ बनाता है। अधिक सामान्यतः, किसी वर्ग के किसी वस्तु के अन्तःरूपण संयोजन के तहत एक एकाभ बनाते हैं।
• अतिसमतलों की व्यवस्था के फलकों का गुणनफल।

आधारभूत अवधारणाएँ

तत्समक और शून्य

अर्द्धसमूह $S$ (या अधिक सामान्यतः, मैग्मा) का वाम तत्समक, एक तत्व $e$ इस प्रकार है, कि $S$ में सभी $x$ के लिए , $ex=x$। इसी प्रकार, दक्षिण तत्समक, एक तत्व $f$ इस प्रकार है, कि $S$ में सभी $x$ के लिए, $xf=x$ । वाम और दक्षिण तत्समकों दोनों को एक-पक्षीय तत्समक कहा जाता है। एक अर्धसमूह में एक या अधिक वाम तत्समक हो सकते हैं, लेकिन कोई दक्षिण तत्समक नहीं हो सकता हैं, और इसके विपरीत भी।

द्वि-पक्षीय तत्समक (या केवल तत्समक) एक ऐसा तत्व है, जो वाम और दक्षिण दोनों तत्समक है। द्वि-पक्षीय तत्समक वाले अर्द्धसमूहों को एकाभ कहा जाता है। एक अर्धसमूह में अधिकतम एक द्वि-पक्षीय तत्समक हो सकता है। यदि एक अर्धसमूह में द्वि-पक्षीय तत्समक है, तो यह द्वि-पक्षीय तत्समक, उस अर्धसमूह में केवल एक-पक्षीय तत्समक होता है। यदि एक अर्धसमूह में वाम और दक्षिण तत्समक दोनों हैं, तो इसमें द्वि-पक्षीय तत्समक होता है (जो कि इस प्रकार अद्वितीय एक-पक्षीय तत्समक है)।

एक तत्समक-विहीन अर्द्धसमूह $S$ को $S$ में एक तत्व $e\notin S$ को संलग्न करने और सभी $s\in S\cup \{e\}$ के लिए $e\cdot s=s\cdot e=s$ को परिभाषित करने से निर्मित एक एकाभ में अंतःस्थापित किया जा सकता है। संकेतन $S^{1}$, आवश्यक होने पर एक तत्समक के संलग्नन द्वारा $S$ से प्राप्त एक एकाभ को दर्शाता है, (एक एकाभ के लिए $S^{1}=S$)।

इसी प्रकार, प्रत्येक मैग्मा में अधिक से अधिक एक अवशोषक तत्व होता है, जिसे अर्धसमूह सिद्धांत में शून्य कहा जाता है। उपरोक्त रचना के अनुरूप, प्रत्येक अर्द्धसमूह $S$ के लिए, $S^{0}$ को एक ऐसे अर्द्धसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो 0 युक्त एक अर्द्धसमूह है, जो $S$ को अंतःस्थापित करता है।

उपसमूह और आदर्श

अर्द्धसमूह संक्रिया अपने उपसमुच्चयों के संग्रह पर एक संक्रिया को प्रेरित करती है: अर्द्धसमूह S के दिए गए उपसमुच्चयों A और B के लिए, इनका गुणनफल A · B, जिसे सामान्यतः AB के रूप में लिखा जाता है, समुच्चय { ab | a, A में और b, B में है } है। (इस धारणा को समूहों के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।) इस संक्रिया के संदर्भ में, एक उपसमुच्चय A,

• एक 'उपअर्द्धसमूह' यदि AA, A का एक उपसमुच्चय है,
• एक 'दक्षिण आदर्श' यदि AS, A का एक उपसमुच्चय है, और
• एक 'वाम आदर्श' यदि SA, A का एक उपसमुच्चय है।

कहलाता है।

यदि A एक वाम आदर्श और दक्षिण आदर्श दोनों है, तो इसे एक आदर्श (या द्वि-पक्षीय आदर्श) कहा जाता है।

यदि S एक अर्द्धसमूह है, तो S के उपसमूहों के किसी भी संग्रह का सर्वनिष्ठ भी S का एक उपसमूह होता है। इसलिए S के उपसमूह एक पूर्ण-जालक बनाते हैं।

बिना न्यूनतम आदर्श वाले अर्द्धसमूह का एक उदाहरण योग के तहत धनात्मक पूर्णांकों का समूह है। क्रमविनिमेय अर्द्धसमूह का न्यूनतम आदर्श एक समूह होता है, जब यह अस्तित्व में होता है।

ग्रीन के संबंध, पाँच तुल्यता संबंधों का एक समुच्चय, जो तत्वों को उनके द्वारा उत्पन्न किए गए प्रमुख आदर्शों के संदर्भ में चिह्नित करता है, एक अर्धसमूह के आदर्शों और संरचना के संबंधित विचारों का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

प्रत्येक तत्व अर्द्धसमूह के किसी अन्य तत्व के साथ क्रम-विनिमेय करता है, इस गुण वाला उपसमुच्चय अर्द्धसमूह का केंद्र कहलाता है। एक अर्द्धसमूह का केंद्र वास्तव में एक उपअर्द्धसमूह होता है।

समरूपता और सर्वांगसमता

एक अर्द्धसमूह समरूपता एक ऐसा फलन है, जो अर्द्धसमूह संरचना को संरक्षित करता है। एक फलन f: S → T, दो अर्धसमूहों के बीच एक समरूपता है यदि समीकरण

f(ab) = f(a)f(b)

S में सभी तत्वों a, b के लिए सत्य है, अर्थात् परिणाम वही होता है, जब अर्द्धसमूह संक्रिया को प्रतिचित्रण f प्रयुक्त करने के बाद या इससे पहले क्रियान्वित करते हैं।

एकाभों के बीच एक अर्द्धसमूह समरूपता तत्समक को संरक्षित रखती है यदि यह एक एकाभ समरूपता है। लेकिन ऐसी अर्द्धसमूह समरूपताएँ भी हैं, जो एकाभ समरूपता नहीं हैं, उदाहरण, $S^{1}$ में तत्समक के बिना अर्द्धसमूह $S$ का विहित अंतःस्थापन। एकाभ समरूपता की विशेषता वाली स्थितियों पर आगे चर्चा की गई है। माना $f:S_0\to <!--\; \to \; -->{}_{}$