वैश्‍लेषिक फलन

Not to be confused with analytic expression or analytic signal.

This article is about both real and complex analytic functions. For analytic functions in complex analysis specifically, see holomorphic function. For analytic functions in SQL, see Window function (SQL).

गणित में, एक विश्लेषणात्मक कार्य एक फ़ंक्शन (गणित) है जो स्थानीय रूप से एक अभिसरण श्रृंखला शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जाता है। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य और जटिल विश्लेषणात्मक कार्य दोनों मौजूद हैं। प्रत्येक प्रकार के कार्य सहज कार्य होते हैं, लेकिन जटिल विश्लेषणात्मक कार्य उन गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो आम तौर पर वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए नहीं होते हैं। एक समारोह विश्लेषणात्मक है अगर और केवल अगर इसकी टेलर श्रृंखला x के बारे में है₀ प्रत्येक एक्स के लिए कुछ पड़ोस (टोपोलॉजी) में कार्य करने के लिए अभिसरण करता है₀ एक समारोह के अपने डोमेन में।

परिभाषाएँ

औपचारिक रूप से, एक समारोह $f$ एक खुले सेट पर वास्तविक विश्लेषणात्मक है $D$ असली लाइन में अगर किसी के लिए $x_{0}\in D$ कोई लिख सकता है

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots$

जिसमें गुणांक $a_{0},a_{1},\dots$ वास्तविक संख्याएँ हैं और श्रृंखला (गणित) अभिसरण श्रृंखला है $f(x)$ के लिये $x$ के पड़ोस में $x_{0}$.

वैकल्पिक रूप से, एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य एक सुचारू कार्य है जैसे कि टेलर श्रृंखला किसी भी बिंदु पर $x_{0}$ इसके डोमेन में

$T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

में विलीन हो जाता है $f(x)$ के लिये $x$ के पड़ोस में $x_{0}$ बिंदुवार अभिसरण। किसी दिए गए सेट पर सभी वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों का सेट $D$ द्वारा अक्सर दर्शाया जाता है ${\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)$.

एक समारोह $f$ वास्तविक रेखा के कुछ उपसमुच्चय पर परिभाषित को एक बिंदु पर वास्तविक विश्लेषणात्मक कहा जाता है $x$ अगर कोई पड़ोस है $D$ का $x$ जिस पर $f$ वास्तविक विश्लेषणात्मक है।

एक जटिल विश्लेषणात्मक कार्य की परिभाषा, ऊपर की परिभाषाओं में, जटिल समतल के साथ वास्तविक और जटिल विमान के साथ वास्तविक रेखा को प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। एक फलन जटिल विश्लेषणात्मक होता है यदि और केवल यदि यह होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है अर्थात यह जटिल अवकलनीय है। इस कारण से होलोमॉर्फिक और एनालिटिक शब्द अक्सर ऐसे कार्यों के लिए परस्पर विनिमय के लिए उपयोग किए जाते हैं।

उदाहरण

विश्लेषणात्मक कार्यों के विशिष्ट उदाहरण हैं

• सभी प्राथमिक कार्य:
  • सभी बहुपद: यदि किसी बहुपद की डिग्री n है, तो उसके टेलर श्रृंखला विस्तार में n से बड़ी डिग्री की कोई भी शर्तें तुरंत 0 से गायब हो जानी चाहिए, और इसलिए यह श्रृंखला तुच्छ रूप से अभिसरण होगी। इसके अलावा, प्रत्येक बहुपद की अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला होती है।
  • घातीय कार्य विश्लेषणात्मक है। इस फ़ंक्शन के लिए कोई भी टेलर श्रृंखला न केवल x के लिए पर्याप्त रूप से x के करीब अभिसरण करती है₀ (जैसा कि परिभाषा में है) लेकिन x (वास्तविक या जटिल) के सभी मानों के लिए।
  • त्रिकोणमितीय कार्य, लघुगणक और घातांक उनके डोमेन के किसी भी खुले सेट पर विश्लेषणात्मक हैं।
• सबसे विशेष कार्य (कम से कम जटिल विमान की कुछ सीमा में):
  • हाइपरज्यामितीय कार्य
  • बेसेल कार्य करता है
  • गामा कार्य करता है

विश्लेषणात्मक नहीं होने वाले कार्यों के विशिष्ट उदाहरण हैं

• जब वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं के सेट पर परिभाषित किया जाता है तो निरपेक्ष गामा समारोह हर जगह विश्लेषणात्मक नहीं होता है क्योंकि यह 0 पर अलग-अलग नहीं होता है। टुकड़ों के अनुसार कार्य (विभिन्न क्षेत्रों में विभिन्न सूत्रों द्वारा दिए गए कार्य) आम तौर पर विश्लेषणात्मक नहीं होते हैं जहां टुकड़े मिलते हैं।
• जटिल संयुग्म कार्य z → z* जटिल विश्लेषणात्मक नहीं है, हालांकि वास्तविक रेखा के लिए इसका प्रतिबंध पहचान कार्य है और इसलिए वास्तविक विश्लेषणात्मक है, और यह एक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य है $\mathbb {R} ^{2}$ प्रति $\mathbb {R} ^{2}$.
• अन्य गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य, और विशेष रूप से कोई भी सुचारू कार्य $f$ कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ, यानी। $f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, पर विश्लेषणात्मक नहीं हो सकता $\mathbb {R} ^{n}$.

वैकल्पिक लक्षण वर्णन

निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:

1. $f$ एक खुले सेट पर वास्तविक विश्लेषणात्मक है $D$.
2. का एक जटिल विश्लेषणात्मक विस्तार है $f$ एक खुले सेट के लिए $G\subset \mathbb {C}$ जिसमें है $D$.
3. $f$ चिकना है और हर कॉम्पैक्ट सेट के लिए $K\subset D$ एक स्थिर मौजूद है $C$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $x\in K$ और हर गैर-नकारात्मक पूर्णांक $k$ निम्नलिखित सीमा रखती है
   $$\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!$$

जटिल विश्लेषणात्मक कार्य होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के बिल्कुल समकक्ष हैं, और इस प्रकार अधिक आसानी से विशेषता हैं।

कई चर (नीचे देखें) के साथ एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के मामले में, वास्तविक विश्लेषणात्मकता को फूरियर-ब्रोस-इगोलनिट्ज़र रूपांतरण का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है।

बहुभिन्नरूपी मामले में, वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य तीसरे लक्षण वर्णन के प्रत्यक्ष सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं। होने देना $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ एक खुला सेट हो, और चलो $f:U\to \mathbb {R}$.

फिर $f$ वास्तविक विश्लेषणात्मक है $U$ अगर और केवल अगर $f\in C^{\infty }(U)$ और हर कॉम्पैक्ट के लिए $K\subseteq U$ एक स्थिर मौजूद है $C$ ऐसा है कि प्रत्येक बहु-सूचकांक के लिए $\alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}$ निम्नलिखित सीमा रखती है

$\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !$

विश्लेषणात्मक कार्यों के गुण

• विश्लेषणात्मक कार्यों के योग, उत्पाद और कार्य संरचना विश्लेषणात्मक हैं।
• एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का गुणात्मक व्युत्क्रम जो कहीं भी शून्य नहीं है, विश्लेषणात्मक है, जैसा कि एक व्युत्क्रमणीय विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है जिसका व्युत्पन्न कहीं भी शून्य नहीं है। (लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय भी देखें।)
• कोई भी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्य है, जो कि असीम रूप से भिन्न है। वास्तविक कार्यों के लिए विलोम सत्य नहीं है; वास्तव में, एक निश्चित अर्थ में, वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य सभी वास्तविक असीम रूप से अलग-अलग कार्यों की तुलना में विरल हैं। सम्मिश्र संख्याओं के लिए, कांवर्स पकड़ में आता है, और वास्तव में खुले सेट पर एक बार अलग-अलग होने वाला कोई भी कार्य उस सेट पर विश्लेषणात्मक होता है (नीचे विश्लेषणात्मकता और भिन्नता देखें)।
• किसी भी खुले सेट के लिए $\Omega \subseteq \mathbb {C}$, सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का सेट ए (Ω)। $u\ :\ \Omega \to \mathbb {C}$ कॉम्पैक्ट सेट पर एकसमान अभिसरण के संबंध में एक फ्रेचेट स्थान है। तथ्य यह है कि विश्लेषणात्मक कार्यों के कॉम्पैक्ट सेट पर समान सीमाएं विश्लेषणात्मक हैं, मोरेरा के प्रमेय का एक आसान परिणाम है। सेट $\scriptstyle A_{\infty }(\Omega )$ उच्चतम मानक के साथ सभी परिबद्ध समारोह एनालिटिकल फंक्शन्स में से एक बनच स्थान है।

एक बहुपद बहुत अधिक बिंदुओं पर शून्य नहीं हो सकता जब तक कि यह शून्य बहुपद न हो (अधिक सटीक रूप से, शून्यों की संख्या बहुपद की अधिक से अधिक डिग्री होती है)। विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए एक समान लेकिन कमजोर कथन है। यदि किसी विश्लेषणात्मक फलन के शून्यों के समुच्चय ƒ का किसी फलन के अपने क्षेत्र के अंदर संचयन बिंदु है, तो ƒ संचय बिंदु वाले जुड़े हुए स्थान पर हर जगह शून्य है। दूसरे शब्दों में, अगर (आर_n) विशिष्ट संख्याओं का एक क्रम है जैसे कि ƒ(r_n) = सभी n के लिए 0 और डी के डोमेन में एक बिंदु आर के अनुक्रम की यह अनुक्रम सीमा, फिर ƒ डी युक्त आर के जुड़े घटक पर समान रूप से शून्य है। इसे पहचान प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

साथ ही, यदि एक बिंदु पर एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव शून्य हैं, तो संबंधित संबंधित घटक पर फ़ंक्शन स्थिर है।

इन कथनों का अर्थ है कि जबकि विश्लेषणात्मक कार्यों में बहुपदों की तुलना में अधिक स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की डिग्री होती है, वे अभी भी काफी कठोर हैं।

विश्लेषणात्मकता और भिन्नता

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी विश्लेषणात्मक कार्य (वास्तविक या जटिल) असीम रूप से भिन्न होता है (जिसे चिकनी, या ${\mathcal {C}}^{\infty }$). (ध्यान दें कि यह भिन्नता वास्तविक चर के अर्थ में है; नीचे जटिल डेरिवेटिव की तुलना करें।) ऐसे सहज वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं: गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य देखें। वास्तव में ऐसे कई कार्य हैं।

जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों और जटिल डेरिवेटिव पर विचार करते समय स्थिति काफी अलग होती है। यह साबित किया जा सकता है कि प्रमाण है कि होलोमोर्फिक कार्य विश्लेषणात्मक हैं | एक खुले सेट में अलग-अलग (जटिल अर्थों में) कोई भी जटिल कार्य विश्लेषणात्मक है। नतीजतन, जटिल विश्लेषण में, विश्लेषणात्मक कार्य शब्द होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का पर्याय है।

वास्तविक बनाम जटिल विश्लेषणात्मक कार्य

वास्तविक और जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों में महत्वपूर्ण अंतर हैं (कोई यह नोटिस कर सकता है कि भिन्नता के साथ उनके अलग-अलग संबंधों से भी)। जटिल कार्यों की विश्लेषणात्मकता एक अधिक प्रतिबंधात्मक संपत्ति है, क्योंकि इसमें अधिक प्रतिबंधात्मक आवश्यक शर्तें हैं और जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों में उनके वास्तविक-रेखा समकक्षों की तुलना में अधिक संरचना है। लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) के अनुसार | लिउविल के प्रमेय, पूरे जटिल विमान पर परिभाषित कोई भी बाध्य जटिल विश्लेषणात्मक कार्य स्थिर है। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए संबंधित कथन, वास्तविक रेखा द्वारा प्रतिस्थापित जटिल विमान के साथ, स्पष्ट रूप से गलत है; यह द्वारा दर्शाया गया है

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.$

इसके अलावा, यदि एक बिंदु x के चारों ओर एक खुली गेंद (गणित) में एक जटिल विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषित किया गया है₀, एक्स पर इसकी शक्ति श्रृंखला विस्तार₀ पूरी खुली गेंद में अभिसारी है (होलोमोर्फिक कार्यों की विश्लेषणात्मकता)। वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए यह कथन (जटिल विमान की एक खुली डिस्क (गणित) के बजाय वास्तविक रेखा का एक खुला अंतराल (गणित) का अर्थ है) सामान्य रूप से सही नहीं है; उपरोक्त उदाहरण का कार्य x के लिए एक उदाहरण देता है₀= 0 और त्रिज्या की एक गेंद 1 से अधिक, शक्ति श्रृंखला के बाद से 1 − x² + x⁴ − x⁶... |x| के लिए विचलन करता है ≥ 1।

वास्तविक रेखा पर कुछ खुले सेट पर कोई भी वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य जटिल विमान के कुछ खुले सेट पर एक जटिल विश्लेषणात्मक कार्य के लिए बढ़ाया जा सकता है। हालाँकि, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित प्रत्येक वास्तविक विश्लेषणात्मक कार्य को पूरे जटिल तल पर परिभाषित एक जटिल कार्य तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। उपरोक्त अनुच्छेद में परिभाषित फ़ंक्शन ƒ(x) एक प्रति उदाहरण है, क्योंकि यह x=±i के लिए परिभाषित नहीं है। यह बताता है कि क्यों ƒ(x) की टेलर श्रृंखला |x| के लिए विचलन करती है > 1, यानी अभिसरण की त्रिज्या 1 है क्योंकि जटिल फ़ंक्शन में मूल्यांकन बिंदु 0 से दूरी 1 पर एक जटिल पोल है और मूल्यांकन बिंदु के चारों ओर त्रिज्या 1 की खुली डिस्क के भीतर आगे कोई ध्रुव नहीं है।

कई चर के विश्लेषणात्मक कार्य

कोई उन चरों में शक्ति श्रृंखला के माध्यम से कई चरों में विश्लेषणात्मक कार्यों को परिभाषित कर सकता है (शक्ति श्रृंखला देखें)। कई चर के विश्लेषणात्मक कार्यों में कुछ समान गुण होते हैं जो एक चर के विश्लेषणात्मक कार्यों के रूप में होते हैं। हालाँकि, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए, नई और दिलचस्प घटनाएँ 2 या अधिक जटिल आयामों में दिखाई देती हैं:

• एक से अधिक चर में जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों के शून्य सेट कभी भी असतत स्थान नहीं होते हैं। इसे हार्टोग्स के विस्तार प्रमेय द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।
• एकल-मूल्यवान कार्यों के लिए होलोमॉर्फी के डोमेन में मनमाने (जुड़े) खुले सेट होते हैं। हालाँकि, कई जटिल चरों में, केवल कुछ जुड़े हुए खुले सेट ही होलोमॉर्फी के होलोमोर्फी का डोमेन के डोमेन के लक्षण वर्णन से छद्म उत्तलता की धारणा बनती है।

यह भी देखें

• कॉची-रीमैन समीकरण
• होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन
• पाले-वीनर प्रमेय
• अर्ध-विश्लेषणात्मक कार्य
• विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ

संदर्भ

• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. Graduate Texts in Mathematics 11 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.

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बाहरी संबंध

• "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Analytic Function". MathWorld.
• Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov