रीमैन पृष्ठीय

For the Riemann surface of a subring of a field, see Zariski–Riemann space.

फ़ंक्शन f(z) = √z के लिए रीमैन सतह। दो क्षैतिज अक्ष z के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष √z के वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है। √z का काल्पनिक भाग बिंदुओं के रंग द्वारा दर्शाया गया है। इस फ़ंक्शन के लिए, यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर प्लॉट को 180° घुमाने के बाद की ऊंचाई भी है।

गणित में, विशेष रूप से जटिल विश्लेषण में, एक रीमैन सतह एक जुड़े हुए एक-आयामी जटिल का विविध (कई गुना) है I इन सतहों का अध्ययन सबसे पहले किया गया था और इनका नाम बर्नहार्ड रिमेंन के नाम पर रखा गया है। रीमैन सतहों को जटिल विमान के अनुचित रूप से प्रस्तुत संस्करणों के रूप में माना जा सकता है: स्थानीय रूप से हर बिंदु के पास वे जटिल विमान के पैच की तरह दिखते हैं, लेकिन वैश्विक टोपोलॉजी काफी भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, वे एक गोले या टॉर्सर्स या एक साथ चिपकी हुई कई चादरों की तरह दिख सकते हैं।

रीमैन सतहों में मुख्य रुचि यह है कि उनके बीच होलोमोर्फिक कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है। रीमैन सतहों को आजकल इन कार्यों के वैश्विक व्यवहार का अध्ययन करने के लिए प्राकृतिक स्थापना माना जाता है, विशेष रूप से बहु-मूल्यवान कार्य जैसे वर्गमूल और अन्य बीजगणितीय कार्य, या प्राकृतिक लघुगणक।

प्रत्येक रीमैन सतह एक द्वि-आयामी वास्तविक विश्लेषणात्मक का कई गुना (यानी, एक सतह (टोपोलॉजी) ) है, लेकिन इसमें अधिक संरचना (विशेष रूप से एक जटिल मैनिफोल्ड) शामिल है जो होलोमोर्फिक कार्यों की स्पष्ट परिभाषा के लिए आवश्यक है। एक द्वि-आयामी को वास्तविक रूप से अनेक रीमैन सतह (आमतौर पर कई असमान तरीकों से) में बदला जा सकता है यदि यह उन्मुख और मेट्रिज़ेबल स्थान है , तो गोले और टोरस जटिल संरचनाओं को स्वीकार करते हैं, लेकिन मोबियस पट्टी, क्लेन बोतल और वास्तविक प्रक्षेप्य विमान नहीं करते हैं।

रीमैन सतहों के बारे में ज्यामितीय तथ्य यथासंभव अच्छे हैं, और वे अक्सर अन्य किस्मों के सामान्यीकरण के लिए अंतर्ज्ञान और प्रेरणा प्रदान करते हैं। रीमैन-रोच प्रमेय इस प्रभाव का एक प्रमुख उदाहरण है।

परिभाषाएं

Further information: Complex manifold and Conformal geometry

रीमैन सतह की कई परिभाषाएँ समान हैं।

1. एक रीमैन सतह X एक जटिल आयाम का एक कनेक्टेड स्पेस (जुड़ा हुआ) का कई गुना है। इसका मतलब है कि X एक जुड़ा हुआ हॉसडॉर्फ स्पेस है जो कि चार्ट (टोपोलॉजी) के एटलस (टोपोलॉजी) के उलझे हुए ढेरो की खुली इकाई डिस्क के साथ प्रमाणित है: प्रत्येक बिंदु X के लिए X का पड़ोस (टोपोलॉजी) है उलझे हुए ढेरो की खुली इकाई डिस्क के लिए होमोमोर्फिक (समरूप) है I समतल और दो अतिव्यापी चार्टों के बीच संक्रमण मानचित्रों को होलोमोर्फिक होना आवश्यक है।
2. एक रीमैन सतह आयाम दो का एक उन्मुख कई गुना है-एक दो-तरफा सतह (टोपोलॉजी) अनुरूप संरचना के साथ (वास्तविक) है। फिर से, मैनिफोल्ड का अर्थ है कि स्थानीय रूप से X के किसी भी बिंदु x पर, स्थान वास्तविक तल के उपसमुच्चय के समरूप है। पूरक रीमैन दर्शाता है कि X एक अतिरिक्त संरचना के साथ संपन्न है जो कई गुना पर कोण माप की अनुमति देता है, अर्थात् प्रत्यक्ष रूप से रीमैनियन मीट्रिक का एक समकक्ष वर्ग है। ऐसे दो मेट्रिक्स को अनुरूप रूप से समकक्ष माना जाता है यदि वे जिस कोण को मापते हैं वह समान होता है। X पर मेट्रिक्स का एक तुल्यता वर्ग चुनना, अनुरूप संरचना का अतिरिक्त आधार है।

एक जटिल संरचना जटिल विमान पर दिए गए मानक यूक्लिडियन मीट्रिक को चुनकर और चार्ट के माध्यम से इसे X तक ले जाकर एक अनुरूप संरचना को जन्म देती है। यह दिखाना कि एक अनुरूप संरचना एक जटिल संरचना को निर्धारित करती है, अधिक कठिन है।

उदाहरण

File:Riemann sphere1.svg

रीमैन क्षेत्र।

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एक टोरस।

• जटिल तल सी सबसे बुनियादी रीमैन सतह है। चित्र f(z) = z (पहचान मानचित्र) C के लिए एक चार्ट को परिभाषित करता है, और {f} C के लिए एक एटलस है। चित्र g(z) = z* (संयुग्म मानचित्र) C पर एक चार्ट भी परिभाषित करता है और {g} C के लिए एक एटलस है। चार्ट f और g संगत नहीं हैं, इसलिए यह सी को दो अलग-अलग रीमैन सतह संरचनाओं के साथ संपन्न करता है। वास्तव में, एक रीमैन सतह X और उसके एटलस A दिए जाने पर, संयुग्मी एटलस B = {f* : f ∈ A} कभी भी A के साथ संगत नहीं है, और X को एक अलग, असंगत रीमैन संरचना के साथ प्रदान करता है।
• इसी तरह, जटिल विमान के प्रत्येक गैर-खाली खुले उपसमुच्चय को प्राकृतिक तरीके से रीमैन सतह के रूप में देखा जा सकता है। अधिक आम तौर पर, रीमैन सतह का प्रत्येक गैर-खाली खुला उपसमुच्चय एक रीमैन सतह होता है।
• मान लीजिए कि S = C ∪ {∞} और f(z) = z जहाँ z, S \ {∞} में है और g(z) = 1 / z जहाँ z, S \ {0} में है और 1/∞ को परिभाषित किया गया है 0 हो। फिर f और g चार्ट हैं, वे संगत हैं, और { f, g } S के लिए एक एटलस है, जो S को रीमैन सतह बनाता है। इस विशेष सतह को रीमैन क्षेत्र कहा जाता है क्योंकि इसकी व्याख्या गोले के चारों ओर जटिल तल को लपेटने के रूप में की जा सकती है। जटिल विमान के विपरीत, यह कॉम्पैक्ट है।
• कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के सिद्धांत को प्रोजेक्टिव बीजगणितीय वक्र के बराबर दिखाया जा सकता है जो जटिल संख्याओं और गैर-एकवचन पर परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, टोरस C/(Z + τ Z), जहां τ एक जटिल गैर-वास्तविक संख्या है, जाली Z + τ Z से जुड़े वीयरस्ट्रैस अंडाकार गतिविधि के माध्यम से, एक समीकरण द्वारा दिए गए अण्डाकार वक्र से मेल खाती है

  y2 = x3 + a x + b. टोरी जीनस वन की एकमात्र रीमैन सतहें हैं, उच्च जेनेरा की सतहें हाइपरेलिप्टिक सतहों द्वारा प्रदान की जाती हैं y2 = P(x),

  जहाँ P घात 2g + 1 का एक सम्मिश्र बहुपद है।
• सभी कॉम्पैक्ट रीमैन सतहें बीजगणितीय वक्र क्योंकि उन्हें कुछ कुछ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}{\mathbb {CP}}^{n} में एम्बेड किया जा सकता है। यह कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय से आता है और तथ्य यह है कि किसी भी जटिल वक्र पर एक सकारात्मक रेखा बंडल मौजूद होता है।
• Important examples of non-compact Riemann surfaces are provided by analytic continuation.

• 

  f(z) = arcsin z

• 

  f(z) = log z

• 

  f(z) = z^1/2

• 

  f(z) = z^1/3

• f(z) = z^1/4

आगे की परिभाषाएं और गुण

जटिल मैनिफोल्ड के बीच किसी भी मानचित्र के साथ, एक फ़ंक्शन (गणित) f: M → N दो रीमैन सतहों के बीच M और N को होलोमोर्फिक फ़ंक्शन कहा जाता है यदि M के एटलस (टोपोलॉजी) में प्रत्येक चार्ट g और एटलस के प्रत्येक चार्ट h के लिए एन, नक्शा एच ∘ एफ ∘ जी⁻¹ होलोमोर्फिक है (सी से सी तक एक फ़ंक्शन के रूप में) जहां भी इसे परिभाषित किया गया है। दो होलोमोर्फिक मानचित्रों की संरचना होलोमोर्फिक है। दो रीमैन सतहों एम और एन को बायोमोर्फिज्म (या अनुरूप रूप से समतुल्य कहा जाता है ताकि एम से एक विशेषण होलोमोर्फिक फंक्शन मौजूद हो) ' से एन जिसका व्युत्क्रम भी होलोमोर्फिक है (यह पता चला है कि बाद की स्थिति स्वचालित है और इसलिए छोड़ा जा सकता है)। दो अनुरूप रूप से समकक्ष रीमैन सतह सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए समान हैं।

ओरिएंटेबिलिटी

प्रत्येक रीमैन सतह, एक जटिल कई गुना होने के कारण, वास्तविक कई गुना के रूप में उन्मुख है। संक्रमण फलन वाले जटिल चार्ट f और g के लिए h = f(g⁻¹(z)), h को 'R' के खुले सेट से मानचित्र के रूप में माना जा सकता है² से R² जिसका जैकोबियन मैट्रिक्स और एक बिंदु z में निर्धारक जटिल संख्या h'(z) से गुणा करके दिया गया वास्तविक रैखिक नक्शा है। हालांकि, एक सम्मिश्र संख्या α द्वारा गुणा का वास्तविक निर्धारक बराबर होता है |α|², इसलिए h के जैकोबियन का सकारात्मक निर्धारक है। नतीजतन, जटिल एटलस एक उन्मुख एटलस है।

कार्य

प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह गैर-स्थिर होलोमोर्फिक कार्यों को स्वीकार करती है (सी में मूल्यों के साथ)। वास्तव में, प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह एक स्टीन मैनिफोल्ड है।

इसके विपरीत, एक कॉम्पैक्ट रिमेंन सतह X' पर प्रत्येक होलोमोर्फिक फलन सी में मान के साथ अधिकतम सिद्धांत के कारण स्थिर है। हालांकि, हमेशा गैर-स्थिर मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन मौजूद होते हैं (रिमेंन क्षेत्र सी ∪ {∞} में मूल्यों के साथ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन)। अधिक सटीक रूप से, X की बीजगणितीय किस्म का कार्य क्षेत्र C(t) का एक परिमित क्षेत्र विस्तार है, एक चर में फ़ंक्शन फ़ील्ड, यानी कोई भी दो मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन बीजगणितीय रूप से निर्भर होते हैं। यह कथन उच्च आयामों का सामान्यीकरण करता है, देखें Siegel (1955). रीमैन थीटा समारोह और सतह के हाबिल-जैकोबी मानचित्र के संदर्भ में मेरोमोर्फिक कार्यों को काफी स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक बनाम बीजीय

गैर-स्थिर मेरोमोर्फिक कार्यों के अस्तित्व का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी कॉम्पैक्ट रीमैन सतह एक प्रोजेक्टिव किस्म है, यानी प्रक्षेप्य स्थान के अंदर बहुपद समीकरणों द्वारा दिया जा सकता है। वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह को जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस | जटिल प्रक्षेप्य स्थान में विसर्जन (गणित) किया जा सकता है। यह एक आश्चर्यजनक प्रमेय है: रीमैन सतहों को स्थानीय रूप से पैचिंग चार्ट द्वारा दिया जाता है। यदि एक वैश्विक स्थिति, अर्थात् कॉम्पैक्टनेस, जोड़ दी जाती है, तो सतह आवश्यक रूप से बीजीय है। रीमैन सतहों की यह विशेषता किसी को विश्लेषणात्मक ज्यामिति या बीजीय ज्यामिति के माध्यम से उनका अध्ययन करने की अनुमति देती है। उच्च-आयामी वस्तुओं के लिए संबंधित कथन गलत है, यानी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स 2-मैनिफोल्ड हैं जो बीजीय नहीं हैं। दूसरी ओर, प्रत्येक प्रक्षेपी जटिल मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से बीजगणितीय होता है, बीजगणितीय ज्यामिति और विश्लेषणात्मक ज्यामिति देखें#चो.27s प्रमेय|चाउ का प्रमेय।

एक उदाहरण के रूप में, टोरस टी पर विचार करें:= 'सी'/('जेड' + τ 'जेड')। वीयरस्ट्रैस अण्डाकार कार्य $\wp _{\tau }(z)$ जाली Z + τ Z से संबंधित है, Z T पर एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। यह फ़ंक्शन और इसका व्युत्पन्न $\wp _{\tau }'(z)$ टी के फ़ंक्शन फ़ील्ड को सेट करना। एक समीकरण है

$[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},$

जहां गुणांक जी₂ और जी₃ पर निर्भर करता है, इस प्रकार एक अण्डाकार वक्र E . देता है_τ बीजगणितीय ज्यामिति के अर्थ में। इसे उलटना j-invariant j(E) द्वारा पूरा किया जाता है, जिसका उपयोग τ और इसलिए एक टोरस निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

रीमैन सतहों का वर्गीकरण

सभी रीमैन सतहों के सेट को तीन उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है: अतिशयोक्तिपूर्ण, परवलयिक और अण्डाकार रीमैन सतहें। ज्यामितीय रूप से, ये नकारात्मक, लुप्त या सकारात्मक निरंतर अनुभागीय वक्रता वाली सतहों के अनुरूप होते हैं। यानी हर जुड़ी हुई रीमैन सतह $X$ निरंतर वक्रता के साथ एक अद्वितीय पूर्णता (टोपोलॉजी) 2-आयामी वास्तविक रीमैनियन मैनिफोल्ड स्वीकार करता है $-1,0$ या $1$ जो रीमैनियन मेट्रिक्स के अनुरूप वर्ग से संबंधित है जो इसकी संरचना द्वारा रीमैन सतह के रूप में निर्धारित किया गया है। इसे इज़ोटेर्मल निर्देशांक के अस्तित्व के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।

जटिल विश्लेषणात्मक शब्दों में, पोंकारे-कोएबे एकरूपता प्रमेय (रीमैन मैपिंग प्रमेय का एक सामान्यीकरण) बताता है कि प्रत्येक बस जुड़ा हुआ रीमैन सतह निम्नलिखित में से एक के अनुरूप है:

• रिमेंन क्षेत्र ${\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}$, जो जटिल प्रक्षेप्य रेखा के समरूपी है|$\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$;
• जटिल विमान $\mathbf {C}$;
• खुली डिस्क $\mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}$ जो ऊपरी आधे तल के समरूपी है $\mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}$.

एक रीमैन सतह अण्डाकार, परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण है कि क्या इसका सार्वभौमिक आवरण समरूप है $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$, $\mathbf {C}$ या $\mathbf {D}$. प्रत्येक वर्ग के तत्व अधिक सटीक विवरण स्वीकार करते हैं।

अण्डाकार रीमैन सतह

रीमैन क्षेत्र $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ एकमात्र उदाहरण है, क्योंकि कोई समूह (गणित) समूह क्रिया (गणित) नहीं है, जो कि बायोलोमोर्फिक परिवर्तनों द्वारा समूह_एक्शन_ (गणित) # प्रकार_ऑफ_एक्शन और ग्रुप_एक्शन_ (गणित) # प्रकार_ऑफ_एक्शन और इसलिए कोई भी रीमैन सतह जिसका सार्वभौमिक कवर आइसोमॉर्फिक है $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ इसके लिए स्वयं समरूपी होना चाहिए।

परवलयिक रीमैन सतह

यदि $X$ एक रीमैन सतह है जिसका सार्वभौमिक आवरण जटिल तल के लिए समरूप है $\mathbf {C}$ तो यह निम्नलिखित सतहों में से एक के लिए आइसोमॉर्फिक है:

• $\mathbf {C}$ अपने आप;
• भागफल $\mathbf {C} /\mathbf {Z}$;
• एक भागफल $\mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )$ कहाँ पे $\tau \in \mathbf {C}$ साथ $\mathrm {Im} (\tau )>0$.

टोपोलॉजिकल रूप से केवल तीन प्रकार होते हैं: प्लेन, सिलेंडर और टोरस। लेकिन जबकि दो पूर्व मामलों में (परवलयिक) रीमैन सतह संरचना अद्वितीय है, पैरामीटर बदलती है $\tau$ तीसरे मामले में गैर-आइसोमोर्फिक रीमैन सतह देता है। पैरामीटर द्वारा विवरण $\tau$ चिह्नित रीमैन सतहों का टेचमुलर स्थान देता है (रिमेंन सतह संरचना के अलावा एक अंकन का टोपोलॉजिकल डेटा जोड़ता है, जिसे टोरस के लिए एक निश्चित होमोमोर्फिज्म के रूप में देखा जा सकता है)। विश्लेषणात्मक मोडुलि स्पेस (अंकन को भूलकर) प्राप्त करने के लिए एक सतह के मानचित्रण वर्ग समूह द्वारा टेकमुलर स्पेस का भागफल लेता है। इस मामले में यह मॉड्यूलर वक्र है।

अतिशयोक्तिपूर्ण रीमैन सतह

शेष मामलों में $X$ एक अतिशयोक्तिपूर्ण रीमैन सतह है, जो कि फुच्सियन समूह द्वारा ऊपरी आधे-तल के भागफल के लिए समरूप है (इसे कभी-कभी सतह के लिए फुच्सियन मॉडल कहा जाता है)। टोपोलॉजिकल प्रकार $X$ टोरस और गोले को बचाने के लिए कोई भी उन्मुख सतह हो सकती है।

विशेष रुचि का मामला तब होता है जब $X$ कॉम्पैक्ट है। फिर इसके टोपोलॉजिकल प्रकार का वर्णन इसके जीनस द्वारा किया जाता है $g\geq 2$. इसका टेकमुलर स्पेस और मोडुली स्पेस हैं $6g-6$-आयामी। परिमित प्रकार की रीमैन सतहों का एक समान वर्गीकरण (जो कि एक बंद सतह के लिए होमियोमॉर्फिक है, अंकों की एक सीमित संख्या घटाकर) दिया जा सकता है। हालांकि सामान्य तौर पर इस तरह के विवरण को स्वीकार करने के लिए अनंत टोपोलॉजिकल प्रकार के रीमैन सतहों का मॉड्यूल स्पेस बहुत बड़ा है।

रीमैन सतहों के बीच मानचित्र

ज्यामितीय वर्गीकरण रीमैन सतहों के बीच के नक्शों में परिलक्षित होता है, जैसा कि लिउविल के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) में विस्तृत है। लिउविल की प्रमेय और लिटिल पिकार्ड प्रमेय : हाइपरबोलिक से परवलयिक से अण्डाकार तक के नक्शे आसान हैं, लेकिन अण्डाकार से परवलयिक या परवलयिक से हाइपरबोलिक तक के नक्शे हैं बहुत विवश (वास्तव में, आम तौर पर स्थिर!) गोले में विमान में डिस्क का समावेश होता है: $\Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},$ लेकिन गोले से विमान तक कोई भी होलोमोर्फिक नक्शा स्थिर है, विमान से यूनिट डिस्क में कोई भी होलोमोर्फिक नक्शा स्थिर है (लिउविल का प्रमेय), और वास्तव में विमान से विमान में कोई भी होलोमोर्फिक नक्शा शून्य से दो अंक स्थिर है (लिटिल पिकार्ड प्रमेय)!

पंचर गोले

रीमैन क्षेत्र के प्रकार पर विचार करके इन कथनों को स्पष्ट किया गया है ${\widehat {\mathbf {C} }}$ कई पंचर के साथ। बिना पंचर के, यह रीमैन क्षेत्र है, जो अण्डाकार है। एक पंचर के साथ, जिसे अनंत पर रखा जा सकता है, यह जटिल तल है, जो परवलयिक है। दो पंक्चर के साथ, यह पंचर प्लेन या वैकल्पिक रूप से एनलस या सिलेंडर होता है, जो परवलयिक होता है। तीन या अधिक पंचर के साथ, यह अतिशयोक्तिपूर्ण है - पैंट की जोड़ी (गणित) की तुलना करें। घातांक मानचित्र के माध्यम से कोई एक पंचर से दो तक मानचित्र बना सकता है (जो संपूर्ण है और अनंत पर एक आवश्यक विलक्षणता है, इसलिए अनंत पर परिभाषित नहीं है, और शून्य और अनंत को याद करता है), लेकिन सभी मानचित्र शून्य पंचर से एक या अधिक तक, या एक या दो पंचर से तीन या अधिक स्थिर होते हैं।

रामिफाइड कवरिंग स्पेस

इस नस में जारी रखते हुए, कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों को निचले जीनस की सतहों पर मैप किया जा सकता है, लेकिन उच्च जीनस के लिए नहीं, निरंतर नक्शे को छोड़कर। ऐसा इसलिए है क्योंकि होलोमोर्फिक और मेरोमोर्फिक मानचित्र स्थानीय रूप से व्यवहार करते हैं $z\mapsto z^{n},$ इसलिए गैर-स्थिर नक्शों को कवर करने वाले मानचित्रों को विस्तृत किया जाता है, और कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के लिए ये बीजगणितीय टोपोलॉजी में रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र द्वारा विवश हैं, जो एक अंतरिक्ष की यूलर विशेषता और एक विस्तृत आवरण से संबंधित है।

उदाहरण के लिए, हाइपरबोलिक रीमैन सतहों को गोले के रिक्त स्थान को कवर किया जाता है (उनके पास गैर-स्थिर मेरोमोर्फिक कार्य होते हैं), लेकिन क्षेत्र एक स्थिर के अलावा, उच्च जीनस सतहों को कवर या अन्यथा मैप नहीं करता है।

रीमैन सतहों की आइसोमेट्री

एक समान रीमैन सतह का आइसोमेट्री समूह (समान रूप से, अनुरूप ऑटोमोर्फिज्म#ऑटोमोर्फिज्म_ग्रुप) इसकी ज्यामिति को दर्शाता है:

• जीनस 0 - गोले का आइसोमेट्री समूह जटिल रेखा के प्रक्षेपी परिवर्तनों का मोबियस समूह है,
• प्लेन का आइसोमेट्री ग्रुप उपसमूह फिक्सिंग इन्फिनिटी है, और पंचर प्लेन का सबग्रुप है जो इनवेरिएंट को छोड़कर केवल इन्फिनिटी और शून्य वाला सेट है: या तो उन दोनों को ठीक करना, या उन्हें इंटरचेंज करना (1/z)।
• पोंकारे हाफ-प्लेन मॉडल का आइसोमेट्री ग्रुप|ऊपरी हाफ-प्लेन असली मोबियस ग्रुप है; यह डिस्क के ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ संयुग्मित है।
• जीनस 1 - एक टोरस का आइसोमेट्री समूह सामान्य अनुवाद में है (एक एबेलियन किस्म के रूप में), हालांकि वर्ग जाली और हेक्सागोनल जाली में 90 ° और 60 ° से रोटेशन से अतिरिक्त समरूपता होती है।
• जीनस जी ≥ 2 के लिए, आइसोमेट्री समूह परिमित है, और हर्विट्ज़ के ऑटोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा अधिकतम 84(g−1) का क्रम है; वे सतहें जो इस बाध्यता को महसूस करती हैं, 'हर्विट्ज़ सतहें' कहलाती हैं।
• यह ज्ञात है कि प्रत्येक परिमित समूह को कुछ रीमैन सतह के आइसोमेट्री के पूर्ण समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है।
  • जीनस 2 के लिए ऑर्डर 48 के साथ बोल्ज़ा सतह द्वारा अधिकतम किया जाता है।
  • जीनस 3 के लिए ऑर्डर को