वाइंडिंग संख्या

Not to be confused with नक्शा घुमावदार संख्या.

इस वक्र में बिंदु p के चारों ओर घुमावदार संख्या दो है।

गणित में, किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर विमान में बंद वक्र की घुमावदार संख्या या घुमावदार सूचकांक पूर्णांक है जो कुल समय का प्रतिनिधित्व करता है कि वक्र बिंदु के चारों ओर वामावर्त यात्रा करता है, यानी वक्र की घुमावों की संख्या घुमावदार संख्या वक्र के वक्र अभिविन्यास पर निर्भर करती है, और यदि वक्र बिंदु के चारों ओर घूमता है तो यह ऋणात्मक संख्या होता है।

वाइंडिंग नंबर बीजगणितीय टोपोलॉजी में अध्ययन की मूलभूत वस्तुएं हैं, और वे वेक्टर कैलकुलस , जटिल विश्लेषण , ज्यामितीय टोपोलॉजी , अंतर ज्यामिति और भौतिकी (जैसे स्ट्रिंग सिद्धांत ) में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

सहज विवरण

लाल वक्र के साथ यात्रा करने वाली एक वस्तु मूल रूप से व्यक्ति के चारों ओर दो वामावर्त घुमाती है।

मान लीजिए कि हमें xy तल में एक बंद, उन्मुख वक्र दिया गया है। हम किसी वस्तु की गति के पथ के रूप में वक्र की कल्पना कर सकते हैं, जिसमें अभिविन्यास उस दिशा को संकेत करता है जिसमें वस्तु चलती है। फिर वक्र की घुमावदार संख्या, वस्तु द्वारा मूल बिंदु के चारों ओर किए गए वामावर्त घुमावों की कुल संख्या के बराबर होती है।

घुमावों की कुल संख्या की गणना करते समय, वामावर्त गति को सकारात्मक के रूप में गिना जाता है, जबकि दक्षिणावर्त गति को नकारात्मक के रूप में गिना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि वस्तु पहले मूल को चार बार वामावर्त घुमाती है, और फिर मूल को एक बार दक्षिणावर्त घेरती है, तो वक्र की कुल घुमावदार संख्या तीन होती है।

इस योजना का उपयोग करते हुए, वक्र जो मूल के चारों ओर यात्रा नहीं करता है, उसकी घुमावदार संख्या शून्य होती है, जबकि वक्र जो मूल के चारों ओर दक्षिणावर्त यात्रा करता है, उसकी घुमावदार संख्या ऋणात्मक होती है। इसलिए, वक्र की घुमावदार संख्या कोई भी पूर्णांक हो सकती है। निम्नलिखित चित्र −2 और 3 के बीच घुमावदार संख्याओं के साथ वक्र दिखाते हैं

$\cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$
	1	2	3

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए $\gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}$ विमान शून्य से एक बिंदु पर एक निरंतर बंद पथ बनें। घुमावदार संख्या $\gamma$ चारों ओर $a$ पूर्णांक है

${\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),$

जहां $(\rho ,s)$ ध्रुवीय निर्देशांक में लिखा गया पथ है, यानी कवरिंग मैप के माध्यम से उठा हुआ पथ

$p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.$

घुमावदार संख्या को कवरिंग स्पेस लिफ्टिंग गुणों (कवरिंग स्पेस में शुरुआती बिंदु को देखते हुए) के कारण अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और क्योंकि सभी फाइबर $p$ फॉर्म के हैं $\rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )$ (इसलिए उपरोक्त अभिव्यक्ति प्रारंभिक बिंदु की पसंद पर निर्भर नहीं करती है)। यह एक पूर्णांक है क्योंकि पथ बंद है।

वैकल्पिक परिभाषाएं

घुमावदार संख्या को अक्सर गणित के विभिन्न भागों में अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जाता है। नीचे दी गई सभी परिभाषाएं ऊपर दी गई परिभाषा के समान हैं

सिकंदर नंबरिंग

1865 में अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा घुमावदार संख्या को परिभाषित करने के लिए एक सरल संयोजन नियम प्रस्तावित किया गया था और फिर स्वतंत्र रूप से 1928 में जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II द्वारा। कोई भी वक्र विमान को कई जुड़े क्षेत्रों में विभाजित करता है, जिनमें से एक असीम है। एक ही क्षेत्र में दो बिंदुओं के आसपास वक्र की घुमावदार संख्या बराबर होती है। असंबद्ध क्षेत्र के चारों ओर (किसी भी बिंदु पर) घुमावदार संख्या शून्य है। अंत में, किन्हीं दो आसन्न क्षेत्रों के लिए घुमावदार संख्याएँ ठीक 1 से भिन्न होती हैं बड़ी घुमावदार संख्या वाला क्षेत्र वक्र के बाईं ओर दिखाई देता है (वक्र के नीचे गति के संबंध में)।

विभेदक ज्यामिति

अवकलन ज्यामिति में, प्राचलिक समीकरणों को प्रायः विभेदक कार्य (या कम से कम टुकड़ों में अलग करने योग्य) माना जाता है। इस मामले में, ध्रुवीय निर्देशांक θ समीकरण द्वारा आयताकार निर्देशांक x और y से संबंधित है

$d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.$

जो के लिए निम्नलिखित परिभाषा में अंतर करके पाया जाता है

$\theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}$

कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार, θ में कुल परिवर्तन dθ के समाकल के बराबर होता है। इसलिए हम अवकलनीय वक्र की घुमावदार संख्या को एक रेखा समाकलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं

${\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).$

एक रूप dθ (मूल के पूरक पर परिभाषित) बंद और सटीक अंतर रूप है, लेकिन सटीक नहीं है, और यह पंचर विमान के पहले डॉ. रहम मेमने के रूप में समूह को उत्पन्न करता है। विशेष रूप से, यदि ω मूल के पूरक पर परिभाषित कोई बंद अवकलनीय एक-रूप है, तो बंद छोरों के साथ ω का अभिन्न घुमावदार संख्या का गुणक देता है।

जटिल विश्लेषण

जटिल विश्लेषण के दौरान घुमावदार संख्याएं बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं (सी.एफ. अवशेष प्रमेय का कथन)। जटिल विश्लेषण के संदर्भ में, एक बंद वक्र की घुमावदार संख्या $\gamma$ जटिल तल में जटिल निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है z = x + iy. विशेष रूप से, यदि हम z = re^iθ लिखते हैं, तो

$dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta$

और इसीलिए

${\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .$

जैसा $\gamma$ एक बंद वक्र है, $\ln(r)$ में कुल परिवर्तन शून्य है, और इस प्रकार का अभिन्न अंग है ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ के बराबर है $i$ कुल परिवर्तन से गुणा $\theta$. इसलिए, बंद पथ की घुमावदार संख्या $\gamma$ मूल के बारे में अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.$

अधिक प्रायः, यदि $\gamma$ द्वारा परिचालित एक बंद वक्र है $t\in [\alpha ,\beta ]$, घुमावदार संख्या $\gamma$ के बारे में $z_{0}$, के सूचकांक के रूप में भी जाना जाता है $z_{0}$ इसके संबंध में $\gamma$, जटिल के लिए परिभाषित किया गया है $z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$ जैसा

$\mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.$

यह प्रसिद्ध कॉची अभिन्न सूत्र का एक विशेष मामला है।

सम्मिश्र तल में घुमावदार संख्या के कुछ मूल गुण निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिए गए हैं

प्रमेय होने देना $\gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C}$ एक बंद रास्ता बनो और चलो $\Omega$ की छवि का सेट पूरक बनें $\gamma$, वह है, $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$. फिर . का सूचकांक $z$ इसके संबंध में $\gamma$,

$$\mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},$$

है (i) पूर्णांक-मूल्यवान, अर्थात, $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ सभी के लिए $z\in \Omega$; (ii) के प्रत्येक घटक (अर्थात, अधिकतम जुड़े उपसमुच्चय) पर स्थिर $\Omega$; और (iii) शून्य यदि $z$ के अनबाउंड घटक में है $\Omega$.

तत्काल परिणाम के रूप में, यह प्रमेय एक वृत्ताकार पथ की घुमावदार संख्या देता है $\gamma$ एक बिंदु के बारे में $z$. जैसा कि अपेक्षित था, घुमावदार संख्या (वामावर्त) छोरों की संख्या की गणना करती है $\gamma$ चारों ओर बनाता है $z$:

उपफल। यदि $\gamma$ द्वारा परिभाषित पथ है $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$, फिर $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}$

टोपोलॉजी

टोपोलॉजी में, घुमावदार संख्या निरंतर मानचित्रण की डिग्री के लिए एक वैकल्पिक शब्द है। भौतिकी में, घुमावदार संख्याओं को अक्सर टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या कहा जाता है। दोनों ही मामलों में, एक ही अवधारणा लागू होती है।

एक बिंदु के चारों ओर घुमावदार वक्र के उपरोक्त उदाहरण की एक सरल टोपोलॉजिकल व्याख्या है। समतल में एक बिंदु का पूरक वृत्त के समतुल्य समरूप है, जैसे कि वृत्त से स्वयं तक के नक्शे वास्तव में उन सभी पर विचार करने की आवश्यकता है। यह दिखाया जा सकता है कि इस तरह के प्रत्येक मानचित्र को मानक मानचित्रों में से एक के लिए लगातार विकृत किया जा सकता है $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$, जहां वृत्त में गुणन को जटिल इकाई वृत्त के साथ पहचान कर परिभाषित किया जाता है। एक वृत्त से एक टोपोलॉजिकल स्पेस में नक्शों के समरूप वर्गों का समूह एक समूह (गणित) बनाता है, जिसे उस स्थान का पहला समरूप समूह या मौलिक समूह कहा जाता है। वृत्त का मूल समूह पूर्णांकों का समूह है, Z; और एक सम्मिश्र वक्र की घुमावदार संख्या केवल उसका समरूप वर्ग है।

3-गोले से स्वयं तक के मानचित्रों को भी एक पूर्णांक द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जिसे वाइंडिंग नंबर या कभी-कभी पोंट्रीगिन इंडेक्स भी कहा जाता है।

टर्निंग नंबर

इस वक्र की कुल वक्रता 6 . हैπ, नंबर 3 मोड़ना, हालांकि इसमें केवल घुमावदार संख्या 2 है . के बारे में p.

पथ की स्पर्शरेखा के संबंध में पथ की घुमावदार संख्या पर भी विचार किया जा सकता है। समय के साथ एक पथ के रूप में, यह वेग वेक्टर की उत्पत्ति के संबंध में घुमावदार संख्या होगी। इस मामले में इस आलेख की शुरुआत में सचित्र उदाहरण में घुमावदार संख्या 3 है, क्योंकि छोटे लूप की गणना की जाती है।

यह केवल डूबे हुए पथों के लिए परिभाषित किया गया है (अर्थात, कहीं भी लुप्त होने वाले डेरिवेटिव के साथ अलग-अलग पथों के लिए), और स्पर्शरेखा गॉस मानचित्र की डिग्री है।

इसे 'टर्निंग नंबर', 'रोटेशन नंबर' कहा जाता है, रोटेशन इंडेक्स या वक्र का सूचकांक, और 2 . से विभाजित कुल वक्रता के रूप में गणना की जा सकती हैπ.

बहुभुज

Further information: Density (polytope) § Polygons

बहुभुज में, मोड़ संख्या को बहुभुज घनत्व के रूप में जाना जाता है। उत्तल बहुभुजों के लिए, और अधिक सामान्य रूप से सरल बहुभुज (स्व-प्रतिच्छेदन नहीं) के लिए, घनत्व 1 है, जोर्डन वक्र प्रमेय द्वारा। इसके विपरीत, एक नियमित तारा बहुभुज {p/q} के लिए, घनत्व q है।

अंतरिक्ष वक्र

टर्निंग नंबर को स्पेस कर्व्स के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता क्योंकि निरंतर मैपिंग की डिग्री के लिए मिलान आयामों की आवश्यकता होती है। हालांकि, स्थानीय रूप से उत्तल , बंद स्थान वक्रों के लिए, स्पर्शरेखा मोड़ संकेत को परिभाषित किया जा सकता है $(-1)^{d}$, कहाँ पे $d$ इसके स्पर्शरेखा संकेतक के स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन की टर्निंग संख्या है। इसके दो मान स्थानीय रूप से उत्तल वक्रों के दो नियमित होमोटोपी#नॉन-डीजेनरेट होमोटॉपी|नॉन-डीजेनरेट होमोटॉपी के अनुरूप हैं।

घुमावदार संख्या और हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट समीकरण

घुमावदार संख्या (2 + 1)-आयामी निरंतर हाइजेनबर्ग फेरोमैग्नेट समीकरणों और इसके अभिन्न विस्तार के साथ निकटता से संबंधित है: इशिमोरी समीकरण इत्यादि। अंतिम समीकरणों के समाधान घुमावदार संख्या या टोपोलॉजिकल चार्ज (टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट और/या टोपोलॉजिकल) द्वारा वर्गीकृत किए जाते हैं। सांख्यिक अंक)।

आवेदन

डैन संडे के वाइंडिंग नंबर एल्गोरिथम का विज़ुअलाइज़ेशन। 0 की घुमावदार संख्या का अर्थ है कि बिंदु बहुभुज के बाहर है; अन्य मान इंगित करते हैं कि बिंदु बहुभुज के अंदर है

बहुभुज में बिंदु

Further information: Point in polygon § Winding number algorithm

बहुभुज के संबंध में एक बिंदु की घुमावदार संख्या का उपयोग बहुभुज में बिंदु को हल करने के लिए किया जा सकता है # घुमावदार संख्या एल्गोरिदम (पीआईपी) समस्या - यानी, इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि बिंदु बहुभुज के अंदर है या नहीं।

आम तौर पर, पॉलीगॉन में प्वाइंट#रे कास्टिंग एल्गोरिथम पीआईपी समस्या का एक बेहतर विकल्प है क्योंकि इसमें घुमावदार संख्या एल्गोरिदम के विपरीत त्रिकोणमितीय कार्यों की आवश्यकता नहीं होती है। फिर भी, घुमावदार संख्या एल्गोरिदम को तेज किया जा सकता है ताकि इसे भी त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े गणनाओं की आवश्यकता न हो। एल्गोरिथ्म का स्पीड-अप संस्करण, जिसे रविवार के एल्गोरिथ्म के रूप में भी जाना जाता है, उन मामलों में अनुशंसित है जहां गैर-सरल बहुभुजों का भी हिसाब होना चाहिए।

यह भी देखें

• तर्क सिद्धांत
• लिंकिंग गुणांक
• अशून्य-नियम
• बहुभुज घनत्व
• अवशेष प्रमेय
• श्लाफली प्रतीक
• टोपोलॉजिकल डिग्री थ्योरी
• टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या
• ट्विस्ट (गणित)
• विल्सन लूप
• रिथे

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• अंक शास्त्र
• घुमावों की संख्या
• भौतिक विज्ञान
• बीजीय टोपोलॉजी
• मिश्रित
• कलन का मौलिक प्रमेय
• अभिन्न
• लाइन इंटीग्रल
• पंक्चर प्लेन
• जटिल विमान
• कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला
• समरूपी समकक्ष
• घेरा
• एक सतत मानचित्रण की डिग्री
• होमोटॉपी क्लास
• गॉस नक्शा
• स्टार बहुभुज
• जॉर्डन वक्र प्रमेय
• साधारण बहुभुज
• शून्येतर नियम
• उमेठना

बाहरी संबंध

• Winding number at PlanetMath.