तर्क सिद्धांत

File:Argument principle1.svg

सरल समोच्च C (काला), f का शून्य (नीला) और f का ध्रुव यहाँ है ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.\,$

जटिल विश्लेषण में, तर्क सिद्धांत एक मेरोमोर्फिक फलन के शून्य और ध्रुवों की संख्या के मध्य अंतर को फलन के लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के समोच्च अभिन्न अंग से संबंधित करता है।

विशेष रूप से, यदि f(z) अंदर और कुछ बंद समोच्च C पर एक मेरोमॉर्फिक फलन होता है, और f में C पर कोई शून्य या ध्रुव नहीं होता है, तो

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P$

जहाँ Z और P क्रमशः समोच्च C के अंदर f (z) के शून्य और ध्रुवों की संख्या को दर्शाते हैं, प्रत्येक शून्य और ध्रुव को क्रमशः इसकी बहुलता और क्रम के रूप में गणना किया जाता है। प्रमेय यह कथन मानता है कि समोच्च C सरल है, अर्थात स्व-प्रतिच्छेदन के बिना यह वामावर्त उन्मुख होता है।

सामान्यतः, मान लीजिए कि f (z) जटिल विमान में खुले सेट Ω पर एक मेरोमोर्फिक फलन होता है और C Ω में एक वक्र बंद होते है जो f के सभी शून्यों और ध्रुवों से बचाता है और Ω के अंदर एक बिंदु के लिए अनुबंधित स्थान देता है। प्रत्येक बिंदु z ∈ Ω के लिए, n(C,z) को z के चारों ओर C की वाइंडिंग संख्या बनाया जाता है। तब

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,$

जहां पहला योग f के सभी शून्यों से अधिक है, उनकी बहुलताओं के साथ गणना किया जाता है, और दूसरा योग उनके क्रम के साथ गणना किये गए f के खंभे b पर होता है।

समोच्च अभिन्न की व्याख्या

समोच्च अभिन्न $\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz$ प्रतिस्थापन w = f(z) का उपयोग करते हुए मूल के चारों ओर पथ f(C) की घुमावदार संख्या के 2πi गुना के रूप में व्याख्या की जा सकती है:

$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw$

अर्थात्, यह f(z) के तर्क में कुल परिवर्तन का i गुना होता है क्योंकि z प्रमेय के नाम की व्याख्या करते हुए, C के चारों ओर घूमता है; जो इस प्रकार है

${\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}$ और तर्कों और लघुगणकों के मध्य संबंधित होता हैं।

तर्क सिद्धांत का प्रमाण

मान लीजिए z_Z f का एक शून्य होता हैं। हम f(z) = (z − z_Z)^kg(z) लिख सकते हैं जहां k शून्य की बहुलता होती है, और इस प्रकार g(z_Z) ≠ 0. हमें मिलता है,तो

$f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!$

और

${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.$

क्योंकी g (z_Z) ≠ 0, यह इस प्रकार होता है कि g' (z)/g(z) में z_Z कोई विलक्षणता नहीं है, और इस प्रकार z_Z पर विश्लेषणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि f′(z)/f(z) का अवशेष z_Z पर k होता है।

मान लीजिये z_P f का एक ध्रुव होता हैं। हम f(z) = (z − z_P)^−mh(z) लिख सकते हैं जहां m ध्रुव का क्रम होता है, और h (z_P) ≠ 0.तब,,

$f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

और

$\frac{}{}$