टपल

For the musical term, see Tuplet. "Octuple" redirects here; for the boat, see Octuple scull. "Duodecuple" redirects here; for the term in music, see Twelve-tone technique.

गणित में, एक टपल तत्व की परिमित क्रमबद्ध सूची (अनुक्रम) है। एक n-टपल अनुक्रम (या आदेशित सूची) है n तत्व, जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। केवल एक 0-टपल है, जिसे खाली टपल कहा जाता है। एक n-ट्पल एक आदेशित जोड़ी के निर्माण का उपयोग करके पुनरावर्ती परिभाषा है।

गणितज्ञ सामान्यतः पर तत्वों को कोष्ठक के भीतर सूचीबद्ध करके टुपल्स लिखते हैं "( )" और अल्पवि"राम से अलग; उदाहरण के लिए, (2, 7, 4, 1, 7) 5-ट्यूपल को दर्शाता है। कभी-कभी अन्य प्रतीकों का उपयोग तत्वों को घेरने के लिए किया जाता है, जैसे वर्ग कोष्ठक "[ ]" या कोण कोष्ठक "⟨ ⟩"। ब्रेसेस "{ }" का उपयोग कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में सरणी जानकारी प्रकारों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्तियों में नहीं, क्योंकि वे सेट के लिए मानक संकेतन हैं। टपल शब्द अक्सर अन्य गणितीय वस्तुओं, जैसे वेक्टर (गणित और भौतिकी) पर चर्चा करते समय हो सकता है।

कंप्यूटर विज्ञान में, टुपल्स कई रूपों में आते हैं। अधिकांश टाइप की गई कार्यात्मक प्रोग्रामिंग भाषाएं टुपल्स को सीधे उत्पाद प्रकार के रूप में लागू करती हैं, बीजगणितीय डेटा प्रकार, पैटर्न मिलान , और असाइनमेंट (कंप्यूटर विज्ञान) # समानांतर असाइनमेंट के साथ कसकर जुड़ा हुआ है। कई प्रोग्रामिंग भाषाएं टुपल्स के विकल्प की पेशकश करती हैं, जिन्हें रिकॉर्ड (कंप्यूटर विज्ञान) के रूप में जाना जाता है, जिसमें लेबल द्वारा एक्सेस किए गए अनियंत्रित तत्व होते हैं। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं ऑर्डर किए गए टुपल उत्पाद प्रकारों और अनियंत्रित रिकॉर्ड प्रकारों को एक ही निर्माण में जोड़ती हैं, जैसे कि स्ट्रक्चर (सी प्रोग्रामिंग भाषा) और हास्केल रिकॉर्ड। संबंधपरक डेटाबेस औपचारिक रूप से अपनी पंक्ति (डेटाबेस) (रिकॉर्ड) को टुपल्स के रूप में पहचान सकते हैं।

संबंधपरक बीजगणित में भी टुपल्स होते हैं; संसाधन विवरण ढांचा (RDF) के साथ सेमांटिक वेब की प्रोग्रामिंग करते समय; भाषाविज्ञान में; और दर्शन में।

व्युत्पत्ति

यह शब्द अनुक्रम के एक अमूर्त के रूप में उत्पन्न हुआ: सिंगल, युगल / डबल, ट्रिपल, चौगुनी, क्विंटुपल, सेक्स्टुपल, सेप्टुपल, ऑक्टुपल, ..., n-टपल, ..., जहां उपसर्ग अंकों के लैटिन नामों से लिए गए हैं। अद्वितीय 0-टुपल को नल टपल या खाली टपल कहा जाता है। 1-टुपल को एक (या एकमात्र) कहा जाता है, 2-टपल को क्रमित युग्म या जोड़ा कहा जाता है, और 3-टुपल को ट्रिपल (या ट्रिपलेट) कहा जाता है। जो नंबर n कोई भी अऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सम्मिश्र संख्या को वास्तविक के 2-टुपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक चतुष्कोण को 4-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक ऑक्टोनियन को 8-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, और एक sedenion को 16-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है .

हालांकि ये प्रत्यय के रूप में ‑uple का उपयोग करते हैं, मूल प्रत्यय −ple था जैसा कि ट्रिपल (तीन-गुना) या decuple (दस-गुना) में होता है। यह ग्रीक भाषा ‑πλοῦς से संबंधित मध्यकालीन लैटिन प्लस (जिसका अर्थ है अधिक) से उत्पन्न हुआ है, जिसने क्लासिकल और लेट एंटीक प्लेक्स (अर्थात् मुड़ा हुआ) को डुप्लेक्स के रूप में बदल दिया।

विशिष्ट लंबाई के टुपल्स के नाम

Further information: Numeral prefix

Tuple length, $n$	Name	Alternative names
0	empty tuple	null tuple / empty sequence / unit / none left
1	monuple	single / singleton / monad
2	couple	double / ordered pair / two-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome
3	triple	treble / triplet / triad / ordered triple / threesome
4	quadruple	quad / tetrad / quartet / quadruplet
5	quintuple	pentuple / quint / pentad
6	sextuple	hextuple / hexad
7	septuple	heptuple / heptad
8	octuple	octa / octet / octad / octuplet
9	nonuple	nonad / ennead
10	decuple	decad / decade (antiquated)
11	undecuple	hendecuple / hendecad
12	duodecuple	dozen / duodecad
13	tredecuple	baker's dozen
14	quattuordecuple	double septuple
15	quindecuple	triple quintuple
16	sexdecuple	quadruple quadruple
17	septendecuple	N/A
18	octodecuple	Double Nonuple
19	novemdecuple	N/A
20	vigintuple	Quadruple Quintuple
21	unvigintuple	Triple Septuple
22	duovigintuple	Double Undecuple
23	trevigintuple	N/A
24	quattuorvigintuple
25	quinvigintuple
26	sexvigintuple
27	septenvigintuple
28	octovigintuple
29	novemvigintuple	N/A
30	trigintuple
31	untrigintuple	N/A
32	duotrigintuple	Double Sexdecuple
40	quadragintuple
50	quinquagintuple
60	sexagintuple
70	septuagintuple
80	octogintuple
90	nongentuple
100	centuple
1,000	milluple	chiliad

ध्यान दें कि $n\geq 3$, ऊपर दी गई तालिका में टपल नाम एक क्रिया के रूप में भी कार्य कर सकता है जिसका अर्थ [प्रत्यक्ष वस्तु] से गुणा करना है $n$; उदाहरण के लिए, क्विंटुपल का अर्थ है 5 से गुणा करना। यदि $n=2$, तो संबंधित क्रिया दोहराना है। एक क्रिया sesquiple भी है, जिसका अर्थ है 3/2 से गुणा करना। सैद्धांतिक रूप से, मोनूपल का उपयोग इस तरह भी किया जा सकता है।

गुण

दो की पहचान के लिए सामान्य नियम n-टुपल्स is

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ अगर और केवल अगर $a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}$.

इस प्रकार एक टपल में ऐसे गुण होते हैं जो इसे सेट (गणित) से अलग करते हैं:

1. एक टपल में एक ही तत्व के कई उदाहरण हो सकते हैं, इसलिए
   tuple $(1,2,2,3)\neq (1,2,3)$; लेकिन सेट $\{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}$.
2. टपल तत्वों का आदेश दिया गया है: टपल $(1,2,3)\neq (3,2,1)$, लेकिन सेट $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$.
3. एक टपल में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, जबकि एक सेट या multiset में अनंत संख्या में तत्व हो सकते हैं।

परिभाषाएँ

टुपल्स की कई परिभाषाएँ हैं जो उन्हें पिछले अनुभाग में वर्णित गुण प्रदान करती हैं।

=== कार्यों के रूप में टुपल्स === $0$th>-tuple को फंक्शन (गणित)#सामान्य गुणों के रूप में पहचाना जा सकता है। के लिये $n\geq 1,$ $n$-टुपल $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ (विशेषण समारोह ) फंक्शन (गणित) से पहचाना जा सकता है#परिभाषा

$F~:~\left\{1,\ldots ,n\right\}~\to ~\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}$

फ़ंक्शन के डोमेन के साथ

$\operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}=\left\{i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n\right\}$

और कोडोमेन के साथ

$\operatorname {codomain} F=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\},$

जिसे परिभाषित किया गया है $i\in \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}$ द्वारा

$F(i):=a_{i}.$

वह है, $F$ फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है

${\begin{alignedat}{3}1\;&\mapsto &&\;a_{1}\\\;&\;\;\vdots &&\;\\n\;&\mapsto &&\;a_{n}\\\end{alignedat}}$

किस मामले में समानता

$\left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(F(1),F(2),\dots ,F(n)\right)$

अनिवार्य रूप से रखता है।

आदेशित जोड़े के सेट के रूप में टुपल्स

फ़ंक्शंस को आमतौर पर उनके फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ पहचाना जाता है, जो ऑर्डर किए गए जोड़े का एक निश्चित सेट है। दरअसल, कई लेखक ग्राफ़ को फ़ंक्शन की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं। फ़ंक्शन की इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त फ़ंक्शन $F$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$F~:=~\left\{\left(1,a_{1}\right),\ldots ,\left(n,a_{n}\right)\right\}.$

=== नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े === के रूप में ट्यूपल्स सेट थ्योरी में टुपल्स को मॉडलिंग करने का एक और तरीका नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में है। यह दृष्टिकोण मानता है कि आदेशित जोड़ी की धारणा पहले ही परिभाषित की जा चुकी है।

1. 0-टपल (यानी खाली टपल) को खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है $\emptyset$.
2. एक n-टुपल, साथ n > 0, को इसकी पहली प्रविष्टि के क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और a (n − 1)-tuple (जिसमें शेष प्रविष्टियाँ होती हैं जब n > 1):

   $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))$

इस परिभाषा को पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है (n − 1)-टुपल:

$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))$

इस प्रकार, उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}$

इस परिभाषा का एक प्रकार दूसरे छोर से तत्वों को छीलने लगता है:

1. 0-टपल खाली सेट है $\emptyset$.
2. के लिये n > 0:

   $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})$

इस परिभाषा को पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है:

$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})$

इस प्रकार, उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}$

=== नेस्टेड सेट === के रूप में ट्यूपल्स क्रमित युग्म#कुराटोस्की की परिभाषा|कुराटोस्की की एक क्रमित जोड़ी के लिए प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, ऊपर दी गई दूसरी परिभाषा को शुद्ध समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में सुधारा जा सकता है:

1. 0-टपल (यानी खाली टपल) को खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है $\emptyset$;
2. होने देना $x$ सेम n-टुपल $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, और जाने $x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)$. फिर, $x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}$. (दाहिना तीर, $\rightarrow$, के साथ संलग्न के रूप में पढ़ा जा सकता है।)

इस सूत्रीकरण में:

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}$