पॉलीटॉप

Not to be confused with Polytrope.

File:First stellation of octahedron.png	File:First stellation of dodecahedron.png	File:Second stellation of dodecahedron.png	File:Third stellation of dodecahedron.png	File:Sixteenth stellation of icosahedron.png	File:First stellation of icosahedron.png
A polyhedron is a 3-dimensional polytope

File:Assorted polygons.svg

एक बहुभुज एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण हैं: खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग की उपेक्षा), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न घनत्वों के साथ स्व-प्रतिच्छेद।

प्राथमिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप फ्लैट (ज्यामिति) पक्षों (चेहरा (ज्यामिति) ) के साथ एक ज्यामितीय वस्तु है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या में आयामों के लिए त्रि-आयामी बहुतल का सामान्यीकरण हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयामों में मौजूद हो सकते हैं n एक के रूप में n-आयामी पॉलीटॉप याn-पॉलीटोप। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज 2-पॉलीटॉप है और त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, समतल भुजाओं का अर्थ है कि a . की भुजाएँ (k + 1)-पॉलीटोप से मिलकर बनता है k-पॉलीटोप्स जो हो सकते हैं (k – 1)- सामान्य रूप से पॉलीटोप्स।

कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को शामिल करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड एपिरोटोप्स और चौकोर , डीकंपोजीशन या घुमावदार विविध की टाइलिंग जिसमें गोलाकार पॉलीहेड्रा , और सेट-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स शामिल हैं।

1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा तीन से अधिक आयामों के पॉलीटॉप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक बहुविकल्पी कहा था। जर्मन भाषा का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ रेनहोल्ड हॉपी द्वारा गढ़ा गया था, और एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।

परिभाषा के दृष्टिकोण

आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी शामिल है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के अलग-अलग अतिव्यापी सेटों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को शामिल करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मूल दृष्टिकोण मोटे तौर पर लुडविग श्लाफली, थोरोल्ड गोसेट और अन्य द्वारा पीछा किया जाता है, क्रमशः दो और तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है। पॉलीहेड्रा की यूलर विशेषता को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या स.ग.-जटिल के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया। इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के टेस्सेलेशन या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से सरल ताओं का संघ है, जो कि किसी भी दो सरलताओं के लिए, जिनके पास एक गैर-रिक्त चौराहा है, उनका चौराहा दो का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी चेहरा है। हालांकि यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ स्टार पॉलीटोप ्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।

स्टार पॉलीहेड्रॉन और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके इंटीरियर को अनदेखा कर दिया। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> इस प्रकाश में पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटॉप गोलाकार टाइलिंग के बराबर होते हैं। , समतल या टॉरॉयडल (p−1)-सतह - अण्डाकार टाइलिंग और टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन देखें। एक पॉलीहेड्रॉन को एक सतह के रूप में समझा जाता है जिसका चेहरा (ज्यामिति) बहुभुज होते हैं, एक 4-पॉलीटॉप एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है जिसके पहलू (फेस (ज्यामिति)) पॉलीहेड्रा होते हैं, और आगे।

निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार भी कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, एक (एज (ज्यामिति) ) को एक बिंदु जोड़ी से बंधे 1-पॉलीटोप के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या वर्टेक्स (ज्यामिति) के रूप में देखा जाता है। 0-पॉलीटोप। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।

गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और पॉलीहेड्रॉन शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक पॉलीहेड्रॉन किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक घिरा हुआ सेट पॉलीहेड्रॉन। रेफ> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, ISBN 978-0471359432, परिभाषा 2.2। </ रेफ> यह शब्दावली आमतौर पर पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो उत्तल शरीर हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन अर्ध-अंतरिक्ष (ज्यामिति) की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है जबकि एक उत्तल पॉलीटॉप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का उत्तल पतवार है और इसके कोने से परिभाषित किया गया है।

आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं:

Dimension of polytope	Description
−1	Nullitope
0	Monon
1	Dion
2	Polygon
3	Polyhedron
4	Polychoron

तत्व

एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व शामिल होते हैं जैसे कोने, किनारे, चेहरे, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1)-आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए चेहरे का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-चेहरे को निरूपित करने के लिए चेहरे का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे-फेस या जे-फेस का उपयोग कर सकते हैं। कुछ एक रिज को संदर्भित करने के लिए किनारे का उपयोग करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सेटर सेल का उपयोग एक (एन − 1)-आयामी तत्व को इंगित करने के लिए करता है। इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं:

Dimension of element	Term (in an n-polytope)
−1	Nullity (necessary in abstract theory)
0	Vertex
1	Edge
2	Face
3	Cell
$\vdots$	$\vdots$
j	j-face – element of rank j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
n − 3	Peak – (n − 3)-face
n − 2	Ridge or subfacet – (n − 2)-face
n − 1	Facet – (n − 1)-face
n	The polytope itself

एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1)-आयामी पहलू (गणित) से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) -आयामी रिज (ज्यामिति) हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होता है (लेकिन दो पहलुओं का प्रतिच्छेदन एक रिज नहीं होना चाहिए)। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू (n - 3) को जन्म देते हैं - मूल पॉलीटोप की आयामी सीमाएं, और इसी तरह। इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-डायमेंशनल फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। 0-आयामी चेहरे को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी चेहरे को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी चेहरे में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी चेहरा, जिसे कभी-कभी एक सेल (गणित) कहा जाता है, में एक पॉलीहेड्रॉन होता है।

बहुभुजों के महत्वपूर्ण वर्ग

उत्तल पॉलीटोप्स

Main article: Convex polytope

एक पॉलीटॉप उत्तल हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा के कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी आधा-स्थान (ज्यामिति) के एक सेट के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा एक पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह से परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग में। एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है जिसमें यह होता है। एक पॉलीटॉप को नुकीला कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप नुकीला होता है। एक गैर-नुकीले पॉलीटॉप का एक उदाहरण सेट है $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$. एक पॉलीटॉप परिमित होता है यदि इसे सीमित संख्या में वस्तुओं के रूप में परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, आधे विमानों की एक सीमित संख्या के चौराहे के रूप में। यह एक अभिन्न पॉलीटोप है यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं।

उत्तल पॉलीटोप्स का एक निश्चित वर्ग रिफ्लेक्सिव पॉलीटोप्स है। एक अभिन्न $d$-polytope ${\mathcal {P}}$ कुछ पूर्णांक मैट्रिक्स के लिए रिफ्लेक्सिव है $\mathbf {A}$, ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$, कहाँ पे $\mathbf {1}$ सभी के एक सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। यह इस परिभाषा से इस प्रकार है ${\mathcal {P}}$ रिफ्लेक्टिव है अगर और केवल अगर $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ सभी के लिए $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$. दूसरे शब्दों में, ए $(t+1)$-dilate का ${\mathcal {P}}$ पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a . से भिन्न होता है $t$-dilate का ${\mathcal {P}}$ केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से। समान रूप से, ${\mathcal {P}}$ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर यह दोहरी पॉलीहेड्रॉन है ${\mathcal {P}}^{*}$ एक अभिन्न पॉलीटोप है।

नियमित पॉलीटोप्स

Main article: Regular polytope

नियमित पॉलीटोप ्स में सभी पॉलीटोप्स की समरूपता की उच्चतम डिग्री होती है। एक नियमित पॉलीटोप का समरूपता समूह अपने ध्वज (ज्यामिति) पर संक्रमणीय रूप से कार्य करता है; इसलिए, एक नियमित पॉलीटोप का दोहरा पॉलीटोप भी नियमित होता है।

नियमित पॉलीटोप के तीन मुख्य वर्ग हैं जो किसी भी आयाम में होते हैं:

• सिंप्लेक्स , समबाहु त्रिभुज और नियमित चतुष्फलक सहित।
• वर्ग और घन सहित अतिविम या पॉलीटोप्स को मापें।
• वर्गाकार और नियमित अष्टफलक सहित ऑर्थोप्लेक्स या क्रॉस पॉलीटोप।

आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े शामिल होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपताएं होती हैं और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल सितारे होते हैं, और दो आयामों में उत्तल और (एन ≥ 5 के लिए) स्टार दोनों, एन-फोल्ड समरूपता के अनंत रूप से कई नियमित बहुभुज होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं हैं।

तीन आयामों में उत्तल प्लेटोनिक ठोस में पांच गुना-सममित द्वादशफ़लक और विंशतिफलक शामिल हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार सितारा केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा भी हैं, जो कुल नौ नियमित पॉलीहेड्रा लाते हैं।

चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और दो पांच गुना समरूपता शामिल हैं। दस सितारा श्लाफली-हेस 4-पॉलीटॉप हैं, सभी पांच गुना समरूपता के साथ, सभी सोलह नियमित 4-पॉलीटॉप में दे रहे हैं।

स्टार पॉलीटोप्स

Main article: Star polytope

एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं-प्रतिच्छेदन हो सकता है; पॉलीटोप्स के इस वर्ग में स्टार पॉलीटोप्स शामिल हैं। कुछ नियमित पॉलीटॉप सितारे हैं।

गुण

यूलर विशेषता

चूँकि a (भरा हुआ) उत्तल पॉलीटोप P in $d$ आयाम एक बिंदु के लिए सिकुड़ा हुआ स्थान है, यूलर विशेषता $\chi$ इसकी सीमा का ∂P वैकल्पिक योग द्वारा दिया गया है:

$\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}$, कहाँ पे $n_{j}$ की संख्या है $j$-आयामी चेहरे।

यह पॉलीहेड्रा के लिए यूलर के सूत्र को सामान्यीकृत करता है।

आंतरिक कोण

ग्राम-यूलर प्रमेय इसी तरह आंतरिक और बाहरी कोण ों के वैकल्पिक योग को सामान्य करता है ${\textstyle \sum \varphi }$