नेवियर-स्टोक्स समीकरण
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भौतिकी में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) आंशिक विभेदक समीकरण हैं जो श्यान द्रव पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं, जिसका नाम फ्रांसीसी इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी क्लॉड-लुई नेवियर और एंग्लो-आयरिश भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट के नाम पर रखा गया है। वे 1822 (नेवियर) से 1842-1850 (स्टोक्स) तक उत्तरोत्तर सिद्धांतों के निर्माण के अनेक दशकों में विकसित हुए थे।
नेवियर-स्टोक्स समीकरण गणितीय रूप से गति के संरक्षण और न्यूटोनियन तरल पदार्थों के द्रव्यमान के संरक्षण को व्यक्त करते हैं। वे कभी-कभी दबाव, तापमान और घनत्व से संबंधित अवस्था के समीकरण के साथ होते हैं।[1] वे न्यूटन के दूसरे नियम को प्रयुक्त करने से उत्पन्न होते हैं। इसहाक न्यूटन का द्रव गतिकी का दूसरा नियम, साथ में इस धारणा के साथ कि द्रव में तनाव (यांत्रिकी) प्रसार श्यानता शब्द (वेग के अनुपात के अनुपात में) और दबाव शब्द का योग है- इसलिए श्यान प्रवाह का वर्णन। उनके और निकटता से संबंधित यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) के मध्य का अंतर यह है कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण श्यानता को ध्यान में रखते हैं जबकि यूलर समीकरण केवल अदृश्य प्रवाह को मॉडल करते हैं। परिणाम स्वरुप , नेवियर-स्टोक्स परवलयिक समीकरण हैं और इसलिए कम गणितीय संरचना होने की मूल्य पर उत्तम विश्लेषणात्मक गुण हैं (जैसे वे कभी पूरी तरह से पूर्णांक नहीं होते हैं)।
नेवियर-स्टोक्स समीकरण उपयोगी हैं क्योंकि वे वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग हित की अनेक घटनाओं के भौतिकी का वर्णन करते हैं। उनका उपयोग मौसम, समुद्र की धाराओं, जल प्रवाह कंडीशनिंग और एयरफ़ॉइल के चारों ओर वायु प्रवाह को मॉडल (सार) करने के लिए किया जा सकता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण, अपने पूर्ण और सरलीकृत रूपों में, विमान और कारों के डिजाइन, रक्त प्रवाह के अध्ययन, विद्युत स्टेशनों के डिजाइन, प्रदूषण के विश्लेषण और अनेक अन्य चीजों में सहायता करते हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के साथ युग्मित, उनका उपयोग मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स के मॉडल और अध्ययन के लिए किया जा सकता है।
नवियर-स्टोक्स समीकरण विशुद्ध रूप से गणितीय अर्थ में भी बहुत रुचि रखते हैं। व्यावहारिक उपयोगों की विस्तृत श्रृंखला के अतिरिक्त , यह अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है कि क्या सहज समाधान सदैव तीन आयामों में अस्तित्व प्रमेय है- अथार्त , क्या वे डोमेन (गणितीय विश्लेषण) में सभी बिंदुओं पर असीम रूप से भिन्न (या यहां तक कि केवल बंधे हुए) हैं। इसे नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और सहजता समस्या कहा जाता है। क्ले मैथेमेटिक्स इंस्टीट्यूट ने इसे मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से कहा है और समाधान या प्रति उदाहरण के लिए US$1 मिलियन पुरस्कार की प्रस्तुति की है।[2][3]
प्रवाह वेग
समीकरणों का समाधान प्रवाह वेग है। यह सदिश क्षेत्र है - तरल पदार्थ में हर बिंदु पर, समय अंतराल में किसी भी समय, यह सदिश देता है जिसकी दिशा और परिमाण अंतरिक्ष में उस बिंदु पर और उस समय के तरल पदार्थ के वेग के होते हैं। यह समान्य रूप से तीन स्थानिक आयामों और समय के आयाम में अध्ययन किया जाता है, चूँकि दो (स्थानिक) आयामी और स्थिर-स्थिति के स्थिति को अधिकांशत: मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है, और उच्च-आयामी एनालॉग्स का अध्ययन शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित दोनों में किया जाता है। एक बार वेग क्षेत्र की गणना हो जाने के पश्चात् , गतिशील समीकरणों और संबंधों का उपयोग करके ब्याज की अन्य मात्रा जैसे दबाव या तापमान पाया जा सकता है। यह मौलिक यांत्रिकी में सामान्य रूप से देखे जाने वाले से अलग है, जहां समाधान समान्य रूप से कण की स्थिति या सातत्य (सिद्धांत) के विक्षेपण के प्रक्षेपवक्र होते हैं। स्थिति के अतिरिक्त वेग का अध्ययन द्रव के लिए अधिक समझ में आता है, चूँकि विज़ुअलाइज़ेशन उद्देश्यों के लिए कोई भी विभिन्न स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन की गणना कर सकता है। विशेष रूप से, प्रवाह वेग के रूप में व्याख्या किए गए सदिश क्षेत्र की स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन, वे पथ हैं जिनके साथ द्रव्यमान रहित द्रव कण यात्रा करेगा। ये पथ अभिन्न वक्र हैं जिनका व्युत्पन्न प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के समान है, और वे समय में सदिश क्षेत्र के व्यवहार को नेत्रहीन रूप से दर्शा सकते हैं।
सामान्य सातत्य समीकरण
नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरण को कौशी संवेग समीकरण के विशेष रूप के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जिसका सामान्य संवहन रूप है
सामग्री व्युत्पन्न है। नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरण के संरक्षण रूप में बाईं ओर परिवर्तन:
बल्क श्यान को स्थिर माना जाता है, अन्यथा इसे अंतिम डेरिवेटिव से बाहर नहीं निकाला जाना चाहिए। संवहन त्वरण शब्द को इस रूप में भी लिखा जा सकता है
एक असम्पीडित प्रवाह के विशेष मामले के लिए, दबाव प्रवाह को बाधित करता है ताकि द्रव तत्वों की मात्रा स्थिर हो: आइसोकोरिक प्रक्रिया जिसके परिणामस्वरूप सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र वेग क्षेत्र होता है .[4]
असंपीड्य प्रवाह
असम्पीडित संवेग नेवियर-स्टोक्स समीकरण, कॉची तनाव टेन्सर पर निम्नलिखित मान्यताओं से उत्पन्न होता है:[5]
कहां
</ली>
डायनेमिक गाढ़ापन μ स्थिर होने की आवश्यकता नहीं है - असंपीड्य प्रवाह में यह घनत्व और दबाव पर निर्भर हो सकता है। कोई भी समीकरण जो रूढ़िवादी चर में इन परिवहन गुणांकों में से को स्पष्ट करता है, उसे अवस्था का समीकरण कहा जाता है।[6] विचलित तनाव का विचलन इसके द्वारा दिया गया है:
असंपीड्यता ध्वनि या आघात तरंगों जैसे घनत्व और दबाव तरंगों को नियंत्रित करती है, इसलिए यदि ये घटनाएँ रुचि की हैं तो यह सरलीकरण उपयोगी नहीं है। असंपीड्य प्रवाह धारणा आम तौर पर कम मच संख्या (लगभग मच 0.3 तक) पर सभी तरल पदार्थों के साथ अच्छी तरह से रखती है, जैसे कि सामान्य तापमान पर हवा की मॉडलिंग के लिए।[7] असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को घनत्व के लिए विभाजित करके सर्वोत्तम रूप से देखा जा सकता है:[8]
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यदि घनत्व पूरे द्रव क्षेत्र में स्थिर है, या, दूसरे शब्दों में, यदि सभी द्रव तत्वों का घनत्व समान है, गणित> \rho=\rho_ 0</maths>, तो हमारे पास है
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कहां 𝜈 = μ/ρ0 गतिज श्यानता कहलाती है।
Velocity profile (laminar flow):
Integrate twice to find the velocity profile with boundary conditions y = h, u = 0, y = −h, u = 0:
From this equation, substitute in the two boundary conditions to get two equations:
Add and solve for B:
Substitute and solve for A:
Finally this gives the velocity profile:
यह प्रत्येक शब्द के अर्थ को देखने लायक है (कॉची संवेग समीकरण की तुलना में):
बाहरी क्षेत्र के रूढ़िवादी क्षेत्र होने के सामान्य मामले में:
असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण समग्र है, दो ऑर्थोगोनल समीकरणों का योग,
3डी में प्रोजेक्शन ऑपरेटर का स्पष्ट कार्यात्मक रूप हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय से पाया जाता है:
समीकरण का समतुल्य कमजोर या परिवर्तनशील रूप, नेवियर-स्टोक्स समीकरण के समान वेग समाधान का उत्पादन करने के लिए सिद्ध हुआ,[10] द्वारा दिया गया है,
शासी वेग समीकरण से दबाव बलों की अनुपस्थिति दर्शाती है कि समीकरण गतिशील नहीं है, बल्कि काइनेमेटिक समीकरण है जहां विचलन-मुक्त स्थिति संरक्षण समीकरण की भूमिका निभाती है। यह सब लगातार बयानों का खंडन करता प्रतीत होता है कि असंगत दबाव विचलन-मुक्त स्थिति को प्रयुक्त करता है।
असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का कमजोर रूप
मजबूत रूप
निरंतर घनत्व के न्यूटोनियन द्रव के लिए असम्पीडित नेवियर-स्टोक्स समीकरणों पर विचार करें ρ डोमेन में
कमजोर रूप
नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के कमजोर रूप को खोजने के लिए, सबसे पहले गति समीकरण पर विचार करें[11]
परीक्षण समारोह को ध्यान में रखते हुए v डिरिचलेट सीमा पर गायब हो जाता है और न्यूमैन की स्थिति पर विचार करते हुए, सीमा पर अभिन्न को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:[11]
असतत वेग
समस्या डोमेन के विभाजन और विभाजित डोमेन पर आधार कार्यों को परिभाषित करने के साथ, गवर्निंग समीकरण का असतत रूप है
हम चर्चा को निरंतर हर्मिट परिमित तत्वों तक सीमित रखते हैं जिनके पास कम से कम प्रथम-व्युत्पन्न-स्वतंत्रता की डिग्री है। इससे प्लेटों के मुड़ने वाले साहित्य से बड़ी संख्या में उम्मीदवार त्रिकोणीय और आयताकार तत्वों को आकर्षित किया जा सकता है। इन तत्वों में ग्रेडिएंट के घटकों के रूप में डेरिवेटिव हैं। 2डी में, स्केलर का ग्रेडिएंट और कर्ल स्पष्ट रूप से ऑर्थोगोनल हैं, जो भावों द्वारा दिए गए हैं,
स्केलर स्ट्रीम फंक्शन एलिमेंट्स के कर्ल लेने से डाइवर्जेंस-फ्री वेलोसिटी एलिमेंट्स मिलते हैं।[12][13] आवश्यकता है कि स्ट्रीम फ़ंक्शन तत्व निरंतर हों, यह आश्वासन देता है कि वेग का सामान्य घटक तत्व इंटरफेस में निरंतर है, जो इन इंटरफेस पर विचलन को गायब करने के लिए आवश्यक है।
सीमा शर्तों को प्रयुक्त करना आसान है। सतहों पर नो-स्लिप वेलोसिटी की स्थिति के साथ, स्ट्रीम फ़ंक्शन नो-फ्लो सतहों पर स्थिर है। खुले चैनलों में स्ट्रीम फ़ंक्शन के अंतर प्रवाह को निर्धारित करते हैं। खुली सीमाओं पर कोई सीमा शर्तें जरूरी नहीं हैं, चूँकि कुछ समस्याओं के साथ लगातार मूल्यों का उपयोग किया जा सकता है। ये सभी डिरिक्लेट स्थितियां हैं।
हल किए जाने वाले बीजगणितीय समीकरणों को स्थापित करना आसान है, लेकिन निश्चित रूप से #Nonlinearity|non-linear हैं, जिनके लिए रैखिक समीकरणों की पुनरावृत्ति की आवश्यकता होती है।
इसी तरह के विचार तीन-आयामों पर प्रयुक्त होते हैं, लेकिन क्षमता की सदिश प्रकृति के कारण 2डी से विस्तार तत्काल नहीं है, और ग्रेडिएंट और कर्ल के मध्य कोई सरल संबंध मौजूद नहीं है जैसा कि 2डी में था।
दबाव वसूली
वेग क्षेत्र से दबाव पुनर्प्राप्त करना आसान है। दबाव प्रवणता के लिए असतत कमजोर समीकरण है,
संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम
संदर्भ के घूर्णन फ्रेम सामग्री व्युत्पन्न शब्द के माध्यम से समीकरणों में कुछ रोचक छद्म-बलों का परिचय देता है। संदर्भ के स्थिर जड़त्वीय फ्रेम पर विचार करें K, और संदर्भ का गैर-जड़त्वीय ढांचा K′, जो वेग के साथ अनुवाद कर रहा है U(t) और कोणीय वेग से घूम रहा है Ω(t) स्थिर फ्रेम के संबंध में। गैर-जड़त्वीय फ्रेम से देखा गया नेवियर-स्टोक्स समीकरण तब बन जाता है
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यहां x और u गैर-जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है। कोष्ठक में पहला शब्द कोरिओलिस त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा शब्द केन्द्रापसारक बल के कारण है, तीसरा रैखिक त्वरण के कारण है K′ इसके संबंध में K और चौथा पद के कोणीय त्वरण के कारण है K′ इसके संबंध में K.
अन्य समीकरण
नेवियर-स्टोक्स समीकरण सख्ती से संवेग संतुलन का बयान है। द्रव प्रवाह का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, अधिक जानकारी की आवश्यकता है, कितनी धारणाओं पर निर्भर करता है। इस अतिरिक्त जानकारी में सीमा डेटा (नो-स्लिप कंडीशन|नो-स्लिप, केशिका सतह, आदि), द्रव्यमान का संरक्षण, ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम (द्रव यांत्रिकी), और/या अवस्था का समीकरण शामिल हो सकते हैं।
असंपीड्य द्रव के लिए निरंतरता समीकरण
प्रवाह मान्यताओं के अतिरिक्त , द्रव्यमान के संरक्षण का बयान आम तौर पर आवश्यक होता है। यह द्रव्यमान निरंतरता समीकरण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, जो इसके सबसे सामान्य रूप में दिया गया है:
इसलिए वेग का विचलन सदैव शून्य होता है:
== असंपीड्य 2D तरल पदार्थ == के लिए स्ट्रीम फ़ंक्शन
असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण के कर्ल (गणित) को लेने से दबाव समाप्त हो जाता है। यह देखना विशेष रूप से आसान है कि क्या 2डी कार्टेशियन प्रवाह ग्रहण किया गया है (जैसे पतित 3डी मामले में uz = 0 और किसी चीज पर निर्भर नहीं है z), जहां समीकरण कम हो जाते हैं:
एक्सिसिमेट्रिक फ्लो में अन्य स्ट्रीम फ़ंक्शन फॉर्मूलेशन, जिसे स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन कहा जाता है, का उपयोग स्केलर (गणित) फ़ंक्शन के साथ असंगत प्रवाह के वेग घटकों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।
असम्पीडित नेवियर-स्टोक्स समीकरण अंतर बीजगणितीय समीकरण है, जिसमें असुविधाजनक विशेषता है कि समय में दबाव को आगे बढ़ाने के लिए कोई स्पष्ट तंत्र नहीं है। परिणाम स्वरुप , कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के सभी या हिस्से से दबाव को खत्म करने के लिए बहुत प्रयास किए गए हैं। स्ट्रीम फ़ंक्शन फॉर्मूलेशन दबाव को समाप्त करता है लेकिन केवल दो आयामों में और उच्च डेरिवेटिव्स को शुरू करने और वेग के उन्मूलन की मूल्य पर, जो कि ब्याज का प्राथमिक चर है।
गुण
अरैखिकता
नेवियर-स्टोक्स समीकरण सामान्य स्थिति में अरैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं और इसलिए लगभग हर वास्तविक स्थिति में बने रहते हैं।[14][15] कुछ स्थिति में, जैसे आयामी प्रवाह और स्टोक्स प्रवाह (या रेंगने वाला प्रवाह), समीकरणों को रैखिक समीकरणों में सरल बनाया जा सकता है। ग़ैर-रैखिकता अधिकांश समस्याओं को हल करना मुश्किल या असंभव बना देती है और समीकरण मॉडल की अशांति के लिए मुख्य योगदानकर्ता है।
गैर-रैखिकता संवहन त्वरण के कारण होती है, जो स्थिति में वेग में परिवर्तन से जुड़ा त्वरण है। इसलिए, किसी भी संवहन प्रवाह, चाहे अशांत हो या न हो, में गैर-रैखिकता शामिल होगी। संवहनी लेकिन लामिनार प्रवाह (अशांत) प्रवाह का उदाहरण छोटे अभिसरण नोजल के माध्यम से श्यान द्रव (उदाहरण के लिए, तेल) का मार्ग होगा। इस तरह के प्रवाह, चाहे ठीक से हल करने योग्य हों या नहीं, अधिकांशत: अच्छी तरह से अध्ययन और समझा जा सकता है।[16]
अशांति
विक्षोभ समय-निर्भर कैओस सिद्धांत व्यवहार है जो अनेक तरल प्रवाहों में देखा जाता है। समान्य रूप से यह माना जाता है कि यह समग्र रूप से द्रव की जड़ता के कारण होता है: समय-निर्भर और संवहन त्वरण की परिणति; इसलिए प्रवाह होता है जहां जड़त्वीय प्रभाव छोटे होते हैं लामिनार होते हैं (रेनॉल्ड्स संख्या यह निर्धारित करती है कि प्रवाह जड़ता से कितना प्रभावित होता है)। यह माना जाता है, चूँकि निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है, कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण विक्षोभ का ठीक से वर्णन करते हैं।[17] अशांत प्रवाह के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का संख्यात्मक समाधान अत्यंत कठिन है, और काफी भिन्न मिश्रण-लंबाई के पैमाने के कारण जो अशांत प्रवाह में शामिल हैं, इसके स्थिर समाधान के लिए ऐसे महीन जाल संकल्प की आवश्यकता होती है कि कम्प्यूटेशनल समय महत्वपूर्ण हो जाता है गणना या प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण के लिए अव्यवहारिक। लैमिनार सॉल्वर का उपयोग करके अशांत प्रवाह को हल करने का प्रयास समान्य रूप से समय-अस्थिर समाधान के रूप में होता है, जो उचित रूप से अभिसरण करने में विफल रहता है। इसका मुकाबला करने के लिए, समय-औसत समीकरण जैसे कि रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण (RANS), अशांति मॉडल के साथ पूरक, व्यावहारिक कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी (CFD) अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं जब अशांत प्रवाह मॉडलिंग करते हैं। कुछ मॉडलों में स्पालार्ट-अल्मारस टर्बुलेंस मॉडल शामिल हैं। स्पालार्ट-ऑलमारस, के-ओमेगा टर्बुलेंस मॉडल|k–ω, विक्षोभ गतिज ऊर्जा|k–ε, और SST (मेंटर्स शीयर स्ट्रेस ट्रांसपोर्ट) मॉडल, जो RANS समीकरणों को बंद करने के लिए अनेक अतिरिक्त समीकरण जोड़ते हैं। इन समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए बड़े एड़ी सिमुलेशन (LES) का भी उपयोग किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है - समय और कंप्यूटर मेमोरी में - RANS की तुलना में, लेकिन उत्तम परिणाम उत्पन्न करता है क्योंकि यह बड़े अशांत पैमानों को स्पष्ट रूप से हल करता है।
प्रयोज्यता
पूरक समीकरणों (उदाहरण के लिए, द्रव्यमान का संरक्षण) और अच्छी तरह से तैयार की गई सीमा स्थितियों के साथ, नेवियर-स्टोक्स समीकरण द्रव गति को सटीक रूप से मॉडल करते हैं; यहां तक कि अशांत प्रवाह भी (औसतन) वास्तविक दुनिया के अवलोकनों से सहमत प्रतीत होते हैं।
नेवियर-स्टोक्स समीकरण मानते हैं कि जिस द्रव का अध्ययन किया जा रहा है वह सातत्य यांत्रिकी है (यह असीम रूप से विभाज्य है और परमाणुओं या अणुओं जैसे कणों से बना नहीं है), और विशेष सापेक्षता #सापेक्ष यांत्रिकी पर नहीं चल रहा है। बहुत छोटे पैमाने पर या अत्यधिक परिस्थितियों में, असतत अणुओं से बने वास्तविक तरल पदार्थ नेवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा प्रतिरूपित निरंतर तरल पदार्थों से भिन्न परिणाम उत्पन्न करेंगे। उदाहरण के लिए, तरल पदार्थ में आंतरिक परतों की केशिकात्व उच्च ढाल वाले प्रवाह के लिए प्रकट होता है।[18] समस्या की बड़ी नुडसेन संख्या के लिए, बोल्ट्जमैन समीकरण उपयुक्त प्रतिस्थापन हो सकता है।[19] विफल होने पर, किसी को आणविक गतिशीलता या विभिन्न संकर विधियों का सहारा लेना पड़ सकता है।[20] एक और सीमा समीकरणों की जटिल प्रकृति है। सामान्य द्रव परिवारों के लिए समय-परीक्षण सूत्रीकरण मौजूद हैं, लेकिन कम सामान्य परिवारों के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग बहुत जटिल योगों के परिणामस्वरूप होता है और अधिकांशत: अनुसंधान समस्याओं को खोलने के लिए होता है। इस कारण से, ये समीकरण समान्य रूप से न्यूटोनियन तरल पदार्थों के लिए लिखे जाते हैं जहां श्यानता मॉडल रैखिक होता है; अन्य प्रकार के तरल पदार्थों (जैसे रक्त) के प्रवाह के लिए वास्तव में सामान्य मॉडल मौजूद नहीं हैं।[21]
विशिष्ट समस्याओं के लिए आवेदन
नवियर-स्टोक्स समीकरण, विशिष्ट तरल पदार्थों के लिए स्पष्ट रूप से लिखे जाने पर भी, प्रकृति में सामान्य हैं और विशिष्ट समस्याओं के लिए उनका उचित अनुप्रयोग बहुत विविध हो सकता है। यह आंशिक रूप से है क्योंकि समस्याओं की विशाल विविधता है जिसे मॉडल किया जा सकता है, स्थिर दबाव के वितरण के रूप में सरल से लेकर सतह तनाव द्वारा संचालित मल्टीफ़ेज़ प्रवाह के रूप में जटिल तक।
आम तौर पर, विशिष्ट समस्याओं के लिए आवेदन कुछ प्रवाह मान्यताओं और प्रारंभिक/सीमा स्थिति निर्माण के साथ शुरू होता है, इसके पश्चात् समस्या को और सरल बनाने के लिए स्केल विश्लेषण (गणित) किया जा सकता है।
समानांतर प्रवाह
समानांतर प्लेटों के मध्य स्थिर, समानांतर, एक-आयामी, गैर-संवहनी दबाव-संचालित प्रवाह मान लें, परिणामी स्केल्ड (आयाम रहित) सीमा मान समस्या है:
रेडियल प्रवाह
समस्या थोड़ी अधिक जटिल हो जाने पर कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। ऊपर समानांतर प्रवाह पर मामूली मोड़ समानांतर प्लेटों के मध्य रेडियल प्रवाह होगा; इसमें संवहन और इस प्रकार गैर-रैखिकता शामिल है। वेग क्षेत्र को फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है f(z) जो संतुष्ट होना चाहिए:
संवहन
रेले-बेनार्ड संवहन प्रकार का प्राकृतिक संवहन है जिसे नेवियर-स्टोक्स समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसकी विश्लेषणात्मक और प्रायोगिक पहुंच के कारण यह सबसे अधिक अध्ययन की जाने वाली संवहन घटनाओं में से है।
नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के सटीक समाधान
नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के कुछ सटीक समाधान मौजूद हैं। पतित स्थिति के उदाहरण- शून्य के समान नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में गैर-रैखिक शब्दों के साथ- हेगन-पॉइज़्यूइल समीकरण, कुएट प्रवाह और ऑसिलेटरी स्टोक्स सीमा परत हैं। लेकिन इसके अलावा, अधिक दिलचस्प उदाहरण, पूर्ण गैर-रैखिक समीकरणों के समाधान मौजूद हैं, जैसे जेफरी-हैमेल प्रवाह, वॉन कर्मन घुमावदार प्रवाह, स्थिरता बिंदु प्रवाह, लैंडौ-स्क्वायर जेट और टेलर-ग्रीन वोर्टेक्स।[23][24][25] ध्यान दें कि इन सटीक समाधानों के अस्तित्व का मतलब यह नहीं है कि वे स्थिर हैं: उच्च रेनॉल्ड्स संख्या में अशांति विकसित हो सकती है।
अतिरिक्त मान्यताओं के तहत, घटक भागों को अलग किया जा सकता है।[26]
For example, in the case of an unbounded planar domain with two-dimensional — incompressible and stationary — flow in polar coordinates (r,φ), the velocity components (ur,uφ) and pressure p are:[27] Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{align}in 1:16"): {\displaystyle \begin{align} u_r &= \frac{A}{r}, \\ u_\varphi &= B\left(\frac{1}{r} - r^{\frac{A}{\nu} + 1}\right), \\ p &= -\frac{A^2 + B^2}{2r^2} - \frac{2B^2 \nu r^\frac{A}{\nu}}{A} + \frac{B^2 r^\बाएं(\frac{2A}{\nu} + 2\right)}{\frac{2A}{\nu} + 2} \end{संरेखित करें}}
कहां A और B मनमाना स्थिरांक हैं। यह समाधान डोमेन में मान्य है r ≥ 1 और के लिए A < −2ν.
कार्टेशियन निर्देशांक में, जब चिपचिपापन शून्य होता है (ν = 0), ये है:
For example, in the case of an unbounded Euclidean domain with three-dimensional — incompressible, stationary and with zero viscosity (ν = 0) — radial flow in Cartesian coordinates (x,y,z), the velocity vector v and pressure p are:[citation needed]
There is a singularity at x = y = z = 0.
एक त्रि-आयामी स्थिर-अवस्था भंवर समाधान
हॉफ फिब्रेशन की तर्ज पर प्रवाह पर विचार करने से कोई विलक्षणता वाला स्थिर-अवस्था उदाहरण नहीं आता है। होने देना r भीतरी कुंडल की स्थिर त्रिज्या हो। समाधान का सेट इसके द्वारा दिया गया है:[28]Another choice of pressure and density with the same velocity vector above is one where the pressure and density fall to zero at the origin and are highest in the central loop at z = 0, x2 + y2 = r2:
In fact in general there are simple solutions for any polynomial function f where the density is:
श्यान त्रि-आयामी आवधिक समाधान
आवधिक पूर्ण-त्रि-आयामी श्यान समाधान के दो उदाहरण में वर्णित हैं।[29] इन समाधानों को त्रि-आयामी टोरस पर परिभाषित किया गया है और क्रमशः सकारात्मक और नकारात्मक हाइड्रोडायनामिकल हेलीकॉप्टर की विशेषता है। सकारात्मक हेलिसिटी वाला समाधान इसके द्वारा दिया गया है:
वाईल्ड आरेख
वायल्ड डायग्राम बहीखाता ग्राफ (असतत गणित) हैं जो मौलिक सातत्य यांत्रिकी के गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अनुरूप हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फेनमैन आरेखों के समान, ये आरेख द्रव गतिकी में गैर-संतुलन प्रक्रियाओं के लिए मस्टीस्लाव क्लेडीश की तकनीक का विस्तार हैं। दूसरे शब्दों में, ये आरेख संभाव्यता वितरण में छद्म-यादृच्छिक कार्य (गणित) से जुड़े स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं का पालन करने के लिए सहसंबंध समारोह की अनुमति देकर और द्रव कणों को परस्पर क्रिया करके अशांत तरल पदार्थों में (अक्सर) अशांति की घटनाओं के लिए ग्राफ सिद्धांत प्रदान करते हैं।[30]
== 3D == में प्रतिनिधित्व
ध्यान दें कि इस खंड के सूत्र आंशिक डेरिवेटिव के लिए सिंगल-लाइन नोटेशन का उपयोग करते हैं, जहां, उदा। का अर्थ आंशिक व्युत्पन्न है u इसके संबंध में x, और का अर्थ दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न है fθ इसके संबंध में y.
2022 का पेपर 3डी अशांत द्रव प्रवाह के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण का कम खर्चीला, गतिशील और आवर्तक समाधान प्रदान करता है। उपयुक्त रूप से कम समय के पैमाने पर, विक्षोभ की गतिशीलता नियतात्मक होती है।[31]
कार्तीय निर्देशांक
नेवियर-स्टोक्स के सामान्य रूप से, वेग सदिश के रूप में विस्तारित हुआ u = (ux, uy, uz), कभी-कभी क्रमशः नामित u, v, w, हम सदिश समीकरण को स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं,
निरंतरता समीकरण पढ़ता है:
चार समीकरणों की इस प्रणाली में सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला और अध्ययन किया गया रूप शामिल है। चूँकि अन्य अभ्यावेदन की तुलना में तुलनात्मक रूप से अधिक कॉम्पैक्ट, यह अभी भी आंशिक अंतर समीकरणों की अरैखिक प्रणाली है जिसके लिए समाधान प्राप्त करना मुश्किल है।
बेलनाकार निर्देशांक
कार्तीय समीकरणों पर चरों के परिवर्तन से परिणाम प्राप्त होंगे[7]के लिए निम्नलिखित गति समीकरण r, φ, और z[32]
गोलाकार निर्देशांक
, द r, φ, और θ संवेग समीकरण हैं[7](उपयोग किए गए सम्मेलन पर ध्यान दें: θ ध्रुवीय कोण है, या अक्षांश है,[33] 0 ≤ θ ≤ π):
नेवियर-स्टोक्स समीकरण खेलों में उपयोग
नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का वीडियो गेम में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है ताकि विभिन्न प्रकार की प्राकृतिक घटनाओं का मॉडल तैयार किया जा सके। आग और धुएं जैसे छोटे पैमाने के गैसीय तरल पदार्थों के सिमुलेशन अधिकांशत: मौलिक पेपर रियल-टाइम फ्लुइड डायनेमिक्स फॉर गेम्स पर आधारित होते हैं।[34] जोस स्टैम द्वारा, जो स्टैम के पहले के अधिक प्रसिद्ध पेपर स्टेबल फ्लुइड्स में प्रस्तावित विधियों में से को विस्तृत करता है[35] 1999 से। स्टैम ने 1968 से नेवियर-स्टोक्स समाधान पद्धति का उपयोग करते हुए स्थिर द्रव सिमुलेशन का प्रस्ताव दिया, जो बिना शर्त स्थिर अर्ध-लैग्रैंगियन संवहन योजना के साथ युग्मित है, जैसा कि 1992 में पहली बार प्रस्तावित किया गया था।
सेंट्रल प्रोसेसिंग यूनिट (सीपीयू) के विरोध में गेम सिस्टम ग्राफिक्स प्रोसेसिंग यूनिट (जीपीयू) पर चलने वाले इस काम के आधार पर और अधिक हालिया कार्यान्वयन और प्रदर्शन के उच्च स्तर को प्राप्त करते हैं।[36][37] स्टैम के मूल कार्य में अनेक सुधार प्रस्तावित किए गए हैं, जो वेग और द्रव्यमान दोनों में उच्च संख्यात्मक अपव्यय से स्वाभाविक रूप से पीड़ित हैं।
इंटरएक्टिव फ्लुइड सिमुलेशन का परिचय 2007 ACM SIGGRAPH कोर्स, कंप्यूटर एनिमेशन के लिए फ्लुइड सिमुलेशन में पाया जा सकता है।[38]
यह भी देखें
- Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
- Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hierarchy of equations
- Boltzmann equation
- Cauchy momentum equation
- Cauchy stress tensor
- Chapman–Enskog theory
- Churchill–Bernstein equation
- Coandă effect
- Computational fluid dynamics
- Continuum mechanics
- Convection–diffusion equation
- Derivation of the Navier–Stokes equations
- Einstein–Stokes equation
- Euler equations
- Hagen–Poiseuille flow from the Navier–Stokes equations
- Millennium Prize Problems
- Non-dimensionalization and scaling of the Navier–Stokes equations
- Pressure-correction method
- Primitive equations
- Rayleigh–Bénard convection
- Reynolds transport theorem
- Stokes equations
- Vlasov equation
उद्धरण
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एनएस समीकरणों से युक्त मुख्य रिश्ते द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के लिए बुनियादी संरक्षण कानून हैं। पूर्ण समीकरण सेट करने के लिए हमें तापमान, दबाव और घनत्व से संबंधित राज्य के समीकरण की भी आवश्यकता होती है...
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- White, Frank M. (2006), Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-124493-0
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बाहरी कड़ियाँ
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- Three-dimensional unsteady form of the Navier–Stokes equations Glenn Research Center, NASA
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