बोल्ट्ज़मान स्थिरांक

Not to be confused with Stefan–Boltzmann constant.

Boltzmann constant
Ludwig Boltzmann, the constant's namesake
Symbol:	kB
Value in joules per kelvin:	1.380649×10−23 J⋅K−1

बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक (k_B या k) आनुपातिकता कारक है जो एक आदर्श गैस में कणों की औसत सापेक्ष तापीय ऊर्जा को गैस के थर्मोडायनामिक तापमान से जोड़ता है। यह केल्विन और गैस स्थिरांक की परिभाषाओं में, और प्लैंक के ब्लैक-बॉडी विकिरण के नियम और बोल्ट्ज़मैन के एन्ट्रॉपी सूत्र में होता है, और इसका उपयोग प्रतिरोधों में जॉनसन-नाइक्विस्ट शोर की गणना में किया जाता है। बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक में तापमान द्वारा विभाजित ऊर्जा का आयामी विश्लेषण होता है, जो एन्ट्रापी के समान होता है। इसका नाम ऑस्ट्रियाई वैज्ञानिक लुडविग बोल्ट्ज़मान के नाम पर रखा गया है।

एसआई आधार इकाइयों की 2019 पुनर्परिभाषा के हिस्से के रूप में, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक सात भौतिक स्थिरांकों में से एक है जिन्हें सटीक परिभाषाएँ दी गई हैं। इनका उपयोग सात एसआई आधार इकाइयों को परिभाषित करने के लिए विभिन्न संयोजनों में किया जाता है। बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक को बिल्कुल परिभाषित किया गया है 1.380649×10⁻²³ J⋅K⁻¹.

बोल्ट्जमैन स्थिरांक की भूमिकाएँ

Relationships between Boyle's, Charles's, Gay-Lussac's, Avogadro's, combined and ideal gas laws, with the Boltzmann constant k_B = R/N_A = n R/N  (in each law, properties circled are variable and properties not circled are held constant)

मैक्रोस्कोपिक रूप से, आदर्श गैस कानून बताता है कि, आदर्श गैस के लिए, दबाव का उत्पाद p और आयतन V पदार्थ की मात्रा के गुणनफल के समानुपाती होता है n और पूर्ण तापमान T:

$pV=nRT,$

कहाँ R मोलर गैस स्थिरांक है (8.31446261815324 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹). प्रति अणु गैस स्थिरांक के रूप में बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक का परिचय k = R/N_A आदर्श गैस नियम को वैकल्पिक रूप में परिवर्तित करता है:

$pV=NkT,$

कहाँ N गैस के कणों की संख्या है.

ऊर्जा के समविभाजन में भूमिका

Main article: Equipartition of energy

थर्मोडायनामिक तापमान पर ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली दी गई है T, सिस्टम में स्वतंत्रता की प्रत्येक सूक्ष्म डिग्री द्वारा वहन की जाने वाली औसत तापीय ऊर्जा है 1/2kT (अर्थात, के बारे में 2.07×10⁻²¹ J, या 0.013 eV, कमरे के तापमान पर)। यह आम तौर पर केवल थर्मोडायनामिक सीमा वाले शास्त्रीय सिस्टम के लिए सच है, और जिसमें क्वांटम प्रभाव नगण्य हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी में, यह औसत सजातीय आदर्श गैसों के लिए सटीक होने की भविष्यवाणी की गई है। मोनोएटोमिक आदर्श गैसों (छह महान गैसों) में तीन स्थानिक दिशाओं के अनुरूप, प्रति परमाणु तीन डिग्री की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) होती है। ऊर्जा के समविभाजन के अनुसार इसका मतलब है कि एक तापीय ऊर्जा है 3/2kT प्रति परमाणु. यह प्रयोगात्मक डेटा के साथ बहुत अच्छी तरह मेल खाता है। तापीय ऊर्जा का उपयोग परमाणुओं की मूल-माध्य-वर्ग गति की गणना करने के लिए किया जा सकता है, जो परमाणु द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है। कमरे के तापमान पर पाई जाने वाली मूल माध्य वर्ग गति इसे सटीक रूप से दर्शाती है, से लेकर 1370 m/s हीलियम के लिए, नीचे तक 240 m/s क्सीनन के लिए.

गैसों का गतिज सिद्धांत#दबाव औसत दबाव देता है p एक आदर्श गैस के लिए

$p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.$

आदर्श गैस नियम के साथ संयोजन

$pV=NkT$

दर्शाता है कि औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा है

${\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.$

यह ध्यान में रखते हुए कि अनुवादात्मक गति वेग वेक्टर v स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (प्रत्येक आयाम के लिए एक) स्वतंत्रता की प्रति डिग्री औसत ऊर्जा उसके एक तिहाई के बराबर देती है, यानी। 1/2kT.

आदर्श गैस समीकरण का आणविक गैसों द्वारा भी बारीकी से पालन किया जाता है; लेकिन ताप क्षमता का रूप अधिक जटिल है, क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की अतिरिक्त आंतरिक डिग्री होती है, साथ ही समग्र रूप से अणु की गति के लिए स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है। उदाहरण के लिए, डायटोमिक गैसों में प्रति अणु कुल छह डिग्री सरल स्वतंत्रता होती है जो परमाणु गति (तीन अनुवादात्मक, दो घूर्णी और एक कंपन) से संबंधित होती है। कम तापमान पर, प्रति अणु प्रासंगिक तापीय ऊर्जा पर उत्तेजित अवस्थाओं की उपलब्धता पर क्वांटम यांत्रिक सीमाओं के कारण, स्वतंत्रता की ये सभी डिग्री पूरी तरह से गैस ताप क्षमता में भाग नहीं ले सकती हैं।

बोल्ट्ज़मैन कारकों में भूमिका

अधिक सामान्यतः, सिस्टम तापमान पर संतुलन में होते हैं T संभावना है P_i किसी राज्य पर कब्ज़ा करने का i ऊर्जा के साथ Eसंबंधित बोल्ट्ज़मान कारक द्वारा भारित:

$P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},$

कहाँ Z विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। पुनः, यह ऊर्जा जैसी मात्रा है kT जो केंद्रीय महत्व रखता है।

इसके परिणामों में (उपरोक्त आदर्श गैसों के परिणामों के अलावा) रासायनिक गतिकी में अरहेनियस समीकरण शामिल है।

एन्ट्रापी की सांख्यिकीय परिभाषा में भूमिका

Further information: Entropy (statistical thermodynamics)

बस्ट और एन्ट्रॉपी फॉर्मूला के साथ, केंद्रीय कब्रिस्तान, वियना में बोल्ट्ज़मैन की कब्र।

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, एन्ट्रापी {{mvar|S}थर्मोडायनामिक संतुलन पर एक पृथक प्रणाली के } को प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है W, स्थूल बाधाओं (जैसे कि एक निश्चित कुल ऊर्जा) को देखते हुए सिस्टम के लिए उपलब्ध विशिष्ट सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या E):

$S=k\,\ln W.$

यह समीकरण, जो सिस्टम के सूक्ष्म विवरण, या माइक्रोस्टेट्स से संबंधित है (के माध्यम से)। W) इसकी स्थूल अवस्था में (एन्ट्रापी के माध्यम से)। S), सांख्यिकीय यांत्रिकी का केंद्रीय विचार है। इसका महत्व इतना है कि यह बोल्ट्ज़मैन की समाधि पर अंकित है।

आनुपातिकता का स्थिरांक k सांख्यिकीय यांत्रिक एन्ट्रॉपी को करीब की शास्त्रीय थर्मोडायनामिक एन्ट्रॉपी के बराबर बनाने का कार्य करता है:

$\Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.$

इसके बजाय सूक्ष्मदर्शी शब्दों में पुनर्स्केलित आयामहीन एन्ट्रापी को चुना जा सकता है

${S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.$

यह एक अधिक प्राकृतिक रूप है और यह पुनर्स्केल की गई एन्ट्रापी बिल्कुल शैनन की बाद की सूचना एन्ट्रापी से मेल खाती है।

चारित्रिक ऊर्जा kT इस प्रकार पुन: स्केल की गई एन्ट्रापी को एक नेट (इकाई) तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है।

थर्मल वोल्टेज

अर्धचालकों में, शॉक्ले डायोड समीकरण - विद्युत प्रवाह के प्रवाह और एपी-एन जंक्शन पर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता के बीच संबंध - थर्मल वोल्टेज नामक एक विशेषता वोल्टेज पर निर्भर करता है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है V_T. थर्मल वोल्टेज पूर्ण तापमान पर निर्भर करता है T जैसा

$$V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},$$

कहाँ q एक मान के साथ प्राथमिक आवेश का परिमाण है 1.602176634×10⁻¹⁹ C. समान रूप से,

$${V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.61733034\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .$$

कमरे के तापमान पर 300 K (27 °C; 80 °F), V_T लगभग है 25.85 mV जिसे निम्नानुसार मानों को प्लग करके प्राप्त किया जा सकता है:

$$V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV}$$

के मानक अवस्था तापमान पर 298.15 K (25.00 °C; 77.00 °F), यह लगभग है 25.69 mV. थर्मल वोल्टेज प्लाज्मा और इलेक्ट्रोलाइट समाधानों में भी महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए नर्नस्ट समीकरण); दोनों ही मामलों में यह माप प्रदान करता है कि एक निश्चित वोल्टेज पर रखी गई सीमा से इलेक्ट्रॉनों या आयनों का स्थानिक वितरण कितना प्रभावित होता है।

इतिहास

बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक का नाम इसके 19वीं सदी के ऑस्ट्रियाई खोजकर्ता लुडविग बोल्ट्ज़मैन के नाम पर रखा गया है। हालाँकि बोल्ट्ज़मैन ने पहली बार 1877 में एन्ट्रापी और संभाव्यता को जोड़ा था, लेकिन मैक्स प्लैंक द्वारा पहली बार पेश किए जाने तक संबंध को कभी भी एक विशिष्ट स्थिरांक के साथ व्यक्त नहीं किया गया था। k, और इसके लिए अधिक सटीक मान दिया (1.346×10⁻²³ J/K, आज के आंकड़े से लगभग 2.5% कम), 1900-1901 में प्लैंक के नियम|ब्लैक-बॉडी विकिरण के नियम की व्युत्पत्ति में। 1900 से पहले, बोल्ट्ज़मैन कारकों से जुड़े समीकरण प्रति अणु ऊर्जा और बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक का उपयोग करके नहीं लिखे गए थे, बल्कि गैस स्थिरांक के एक रूप का उपयोग करके लिखे गए थे। R, और पदार्थ की स्थूल मात्रा के लिए स्थूल ऊर्जा। समीकरण का प्रतिष्ठित संक्षिप्त रूप S = k ln W बोल्ट्जमैन की समाधि का पत्थर वास्तव में प्लैंक के कारण है, बोल्ट्जमैन के कारण नहीं। प्लैंक ने वास्तव में इसे अपने प्लैंक स्थिरांक|उपनाम के समान कार्य में प्रस्तुत किया h.

1920 में, प्लैंक ने अपने नोबेल पुरस्कार व्याख्यान में लिखा:

This constant is often referred to as Boltzmann's constant, although, to my knowledge, Boltzmann himself never introduced it – a peculiar state of affairs, which can be explained by the fact that Boltzmann, as appears from his occasional utterances, never gave thought to the possibility of carrying out an exact measurement of the constant.

इस अजीब स्थिति को उस समय की महान वैज्ञानिक बहसों में से एक के संदर्भ में दर्शाया गया है। उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में इस बात पर काफी असहमति थी कि क्या परमाणु और अणु वास्तविक थे या क्या वे समस्याओं को हल करने के लिए केवल अनुमानी उपकरण थे। इस बात पर कोई सहमति नहीं थी कि परमाणु भार द्वारा मापे गए रासायनिक अणु, गैसों के गतिज सिद्धांत द्वारा मापे गए भौतिक अणुओं के समान थे या नहीं। प्लैंक का 1920 का व्याख्यान जारी रहा:

Nothing can better illustrate the positive and hectic pace of progress which the art of experimenters has made over the past twenty years, than the fact that since that time, not only one, but a great number of methods have been discovered for measuring the mass of a molecule with practically the same accuracy as that attained for a planet.

एसआई आधार इकाइयों की 2019 की पुनर्परिभाषा से पहले अंतर्राष्ट्रीय इकाइयों की प्रणाली के संस्करणों में, बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक एक निश्चित मूल्य के बजाय एक मापा मात्रा था। केल्विन की पुनर्परिभाषाओं के कारण पिछले कुछ वर्षों में इसकी सटीक परिभाषा भी बदलती रही (देखें)। Kelvin § History) और अन्य एसआई आधार इकाइयाँ (देखें)। Joule § History).

2017 में, बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक के सबसे सटीक माप ध्वनिक गैस थर्मोमेट्री द्वारा प्राप्त किए गए थे, जो माइक्रोवेव और ध्वनिक अनुनादों का उपयोग करके एक त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताकार कक्ष में मोनोएटोमिक गैस की ध्वनि की गति निर्धारित करता है। एक दशक तक चला यह प्रयास कई प्रयोगशालाओं द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ किया गया था; यह एसआई आधार इकाइयों की 2019 की पुनर्परिभाषा की आधारशिलाओं में से एक है। इन मापों के आधार पर, CODATA ने अनुशंसा की 1.380649×10⁻²³ J/K इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ़ यूनिट्स के लिए उपयोग किए जाने वाले बोल्ट्ज़मान स्थिरांक का अंतिम निश्चित मान होना।

विभिन्न इकाइयों में मूल्य

Values of k	Units	Comments
1.380649×10−23	J/K	SI by definition, J/K = m2⋅kg/(s2⋅K) in SI base units
8.617333262×10−5	eV/K	†
2.083661912×1010	Hz/K	(k/h) †
1.380649×10−16	erg/K	CGS system, 1 erg = 1×10−7 J
3.297623483×10−24	cal/K	† 1 calorie = 4.1868 J
1.832013046×10−24	cal/°R	†
5.657302466×10−24	ft lb/°R	†
0.695034800	cm−1/K	(k/(hc)) †
3.166811563×10−6	Eh/K	(Eh = hartree)
1.987204259×10−3	kcal/(mol⋅K)	(kNA) †
8.314462618×10−3	kJ/(mol⋅K)	(kNA) †
−228.5991672	dB(W/K/Hz)	10 log10(k/(1 W/K/Hz)),† used for thermal noise calculations
1.536179187×10−40	kg/K	k/c2, where c is the speed of light

†मान सटीक है लेकिन सीमित दशमलव के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; केवल 9 दशमलव स्थानों तक अनुमानित।

तब से kतापमान और ऊर्जा के बीच एक आनुपातिकता कारक है, इसका संख्यात्मक मान ऊर्जा और तापमान के लिए इकाइयों की पसंद पर निर्भर करता है। एसआई इकाइयों में बोल्ट्जमैन स्थिरांक के छोटे संख्यात्मक मान का मतलब है कि केल्विन|1 K द्वारा तापमान में परिवर्तन से कण की ऊर्जा में केवल थोड़ी मात्रा में परिवर्तन होता है। का एक बदलाव 1 °C को परिवर्तन के समान ही परिभाषित किया गया है 1 K. चारित्रिक ऊर्जा kT एक शब्द है जिसका प्रयोग कई शारीरिक संबंधों में किया जाता है।

बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक तरंग दैर्ध्य और तापमान के बीच एक संबंध स्थापित करता है (तरंग दैर्ध्य द्वारा एचसी/के को विभाजित करने पर तापमान मिलता है) जिसमें एक माइक्रोमीटर संबंधित होता है 14387.777 K, और वोल्टेज और तापमान के बीच एक संबंध भी है (ईवी की इकाइयों में केटी एक वोल्टेज से मेल खाता है) जिसमें एक वोल्ट से संबंधित है 11604.518 K. इन दोनों तापमानों का अनुपात, 14387.777 K / 11604.518 K ≈ 1.239842, eV⋅μm की इकाइयों में hc का संख्यात्मक मान है।

प्राकृतिक इकाइयाँ

बोल्ट्ज़मान स्थिरांक विशिष्ट सूक्ष्म ऊर्जा से मानचित्रण प्रदान करता है E मैक्रोस्कोपिक तापमान पैमाने पर T = E/k. मौलिक भौतिकी में, सेटिंग की प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग करके इस मानचित्रण को अक्सर सरल बनाया जाता है k एकता के लिए. इस सम्मेलन का अर्थ है कि तापमान और ऊर्जा मात्राओं का आयाम (भौतिकी) समान है। विशेष रूप से, एसआई इकाई केल्विन अनावश्यक हो जाती है, जिसे जूल के रूप में परिभाषित किया जाता है 1 K = 1.380649×10⁻²³ J. इस परंपरा के साथ, तापमान हमेशा ऊर्जा की इकाइयों में दिया जाता है, और सूत्रों में बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक की स्पष्ट रूप से आवश्यकता नहीं होती है।

यह परिपाटी कई शारीरिक संबंधों और सूत्रों को सरल बनाती है। उदाहरण के लिए, स्वतंत्रता की प्रत्येक शास्त्रीय डिग्री से जुड़ी ऊर्जा के लिए समविभाजन सूत्र (${\tfrac {1}{2}}kT$ ऊपर) बन जाता है

$E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, थर्मोडायनामिक एन्ट्रॉपी की परिभाषा सूचना एन्ट्रॉपी के रूप से मेल खाती है:

$S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.$

कहाँ P_i प्रत्येक माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की संभावना है।

यह भी देखें

• कोडाटा 2018
• थर्मोडायनामिक बीटा
• उन वैज्ञानिकों की सूची जिनके नाम भौतिक स्थिरांकों में प्रयुक्त होते हैं

बाहरी संबंध

• Draft Chapter 2 for SI Brochure, following redefinitions of the base units (prepared by the Consultative Committee for Units)
• Big step towards redefining the kelvin: Scientists find new way to determine Boltzmann constant