डिरैक डेल्टा फलन

एक तीर के ऊपर एक रेखा द्वारा डिराक डेल्टा फलन का आरेखीय प्रतिनिधित्व है। तीर की ऊंचाई सामान्यतः किसी भी गुणक स्थिरांक का मान निर्दिष्ट करने के लिए होती है, जो फलन के अंतर्गत क्षेत्र होता है। दूसरी वाणाग्र के शीर्ष के आगे का क्षेत्र लिखने की है।

शून्य-केंद्रित सामान्य फलन के अनुक्रम की सीमा $a\to 0$ के रूप में डिराक डेल्टा $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$ है।

गणितीय भौतिकी में, डिराक डेल्टा फलन (δ फलन), जिसे इकाई आवेग के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक संख्याओं पर एक सामान्यीकृत फलन या फलन (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल एक के समान है।

इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक रैखिकफलन के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, $f(x)$) को उसके डोमेन $f(0)$) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है, या बम्प फलन के अनुक्रम की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, $\delta (x)=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}$), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी ''अनुमानित'' या ''उदीयमान'' डेल्टा फलन कहा जाता है।

डेल्टा फलन को भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा सदिश अवस्था के सामान्यीकरण के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित किया गया था। प्रायिकता सिद्धांत और सिग्नल संसाधन में भी इसका उपयोग होता है। इसकी मान्यता तब तक विवादित रही जब तक लॉरेंट श्वार्ट्ज ने फलन के सिद्धांत को विकसित नहीं किया जहां इसे फलनों पर कार्य करने वाले एक रैखिक रूप में परिभाषित किया गया है।

क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे सामान्यतः एक अलग डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और 0 और 1 मान लेता है, डिराक डेल्टा फलन का अलग एनालॉग है।

प्रेरणा और समीक्षा

डिराक डेल्टा का आलेख सामान्यतः संपूर्ण x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष का अनुसरण करने वाला माना जाता है। डिराक डेल्टा का उपयोग एक लंबे संकीर्ण स्पाइक फलन (एक आवेग), और अन्य समान अमूर्त जैसे बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान या इलेक्ट्रॉन बिंदु को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बिलियर्ड गेंद पर प्रहार की गतिशीलता की गणना करने के लिए, कोई डायराक डेल्टा द्वारा प्रभाव के बल का अनुमान लगा सकता है। ऐसा करने से, कोई न केवल समीकरणों को सरल बनाता है, लेकिन कोई उपपरमाण्विक स्तरों (उदाहरण के लिए) पर सभी प्रत्यास्थ ऊर्जा हस्तांतरण के विस्तृत प्रतिरूप के बिना केवल संघट्ट के कुल आवेग पर विचार करके गेंद की गति (भौतिकी) की गणना करने में भी सक्षम होता है।

विशिष्ट रूप से, मान लीजिए कि एक बिलियर्ड गेंद आराम की स्थिति में है। समय $t=0$ पर यह एक अन्य गेंद से टकराता है, जिससे इकाई kg⋅m⋅s⁻¹ के साथ संवेग P प्रदान होता है। संवेग का आदान-प्रदान वास्तव में तात्क्षणिक नहीं है, आणविक और उपपरमाण्विक स्तर पर प्रत्सास्थ प्रक्रियाओं द्वारा मध्यस्थ होने के कारण, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उस ऊर्जा हस्तांतरण को प्रभावी रूप से तात्क्षणिक मानना ​​​​सुविधाजनक है। इसलिए बल P δ(t) है; δ(t) की इकाइयाँ s⁻¹ है।

इस स्थिति को और अधिक कठोरता से प्रतिरूप करने के लिए, मान लीजिए कि इसके बदले बल को एक छोटे समय अंतराल $\Delta t=[0,T]$ पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वह,

$$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

फिर किसी भी समय t का संवेग एकीकरण द्वारा पाया जाता है:

$$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

अब, संवेग के तात्कालिक स्थानांतरण की प्रतिरूप स्थिति में सीमा को Δt → 0 के रूप में लेने की आवश्यकता होती है, जिससे 0 को छोड़कर हर जगह परिणाम मिलता है:

$$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}$$

यहाँ फलन $F_{\Delta t}$ को संवेग के तात्क्षणिक स्थानांतरण के विचार के लिए उपयोगी सन्निकटन के रूप में माना जाता है।

डेल्टा फलन हमें इन सन्निकटन की एक आदर्श सीमा बनाने की अनुमति देता है। दुर्भाग्य से, फलनों की वास्तविक सीमा (बिंदुवार अभिसरण के अर्थ में) ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$ हर जगह शून्य है लेकिन एक बिंदु है, जहां यह अनंत है। डिराक डेल्टा की उचित समझ बनाने के लिए, हमें इसके बदले गुण पर जोर देना चाहिए

$$\int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,$$

जो सभी $\Delta t>0$ के लिए है, उसे सीमा में बनाए रखना चाहिए। तो, समीकरण ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$ में, यह समझा जाता है कि सीमा को हमेशा समाकल के बाहर लिया जाता है।

व्यावहारिक गणित में, जैसा कि हमने यहां किया है, डेल्टा फलन को प्रायः फलनों के अनुक्रम की एक प्रकार की सीमा (एक दुर्बल सीमा) के रूप में प्रकलित किया जाता है, जिसके प्रत्येक सदस्य के मूल में एक लंबा स्पाइक होता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन फलनों का एक क्रम मूल बिंदु पर केन्द्रित है और विचरण शून्य की ओर है।

डिराक डेल्टा वास्तव में एक फलन नहीं है, कम से कम वास्तविक संख्याओं में डोमेन और श्रैणी वाला सामान्य फलन नहीं है। उदाहरण के लिए, वस्तुएं f(x) = δ(x) और g(x) = 0, x = 0 को छोड़कर सभी जगह समान हैं, फिर भी इनके समाकल जो भिन्न हैं। लेबेस्ग एकीकरण सिद्धांत के अनुसार, यदि f और g ऐसे फलन हैं कि लगभग हर जगह f = g है, तब f पूर्णांक है यदि और केवल यदि g पूर्णांक है और f और g के पूर्णांक समरूप हैं। डिराक डेल्टा फलन को अपने आप में एक गणितीय वस्तु के रूप में मानने के लिए एक परिशुद्ध दृष्टिकोण के लिए माप सिद्धांत या फलन (गणित) के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

इतिहास

जोसेफ फूरियर ने जिसे अब फूरियर समाकल प्रमेय कहा जाता है उसे अपने ग्रंथ थियोरी एनालिटिक डे ला चैलूर में इस रूप में प्रस्तुत किया:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,$$

जो विधि में δ-फलन की प्रास्ताविक के समान है:

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$$

बाद में, ऑगस्टिन कॉची ने घातांक का उपयोग करके प्रमेय व्यक्त किया:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.$$

कॉची ने बताया कि कुछ परिस्थितियों में एकीकरण का क्रम इस परिणाम में महत्वपूर्ण है (फुबिनी के प्रमेय के विपरीत)।

जैसा कि फलन के सिद्धांत का उपयोग करके तर्कसंगत किया गया है, कॉची समीकरण को फूरियर के मूल सूत्रीकरण के समान पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है और δ-फलन को इस प्रकार दिखाया गया है

$${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}$$

जहां δ-फलन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .$$

घातीय रूप की परिशुद्ध व्याख्या और इसके अनुप्रयोग के लिए आवश्यक फलन f की विभिन्न सीमाएं कई सदियों तक विस्तारित है। शास्त्रीय व्याख्या की समस्याओं को इस प्रकार समझाया गया है:

शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का सबसे बड़ी कमी फलनों (मूल) का एक संकीर्ण वर्ग है जिसके लिए इसे प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है। अर्थात्, यह आवश्यक है कि फूरियर समाकल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि ये फलन पर्याप्त तेज़ी से शून्य (अनंत के पड़ोस में) तक कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद जैसे सरल फलनों का फूरियर रूपांतरण शास्त्रीय अर्थ में उपस्थित नहीं है। फलनों में शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन के विस्तार ने उन फलनों के वर्ग को अत्याधिक विवर्धित किया जिन्हें रूपांतरित किया जा सकता था और इसने कई अवरोध को दूर किया है।

यह द्विसमानता की तुलना में पूर्णतः स्थूलतर है (अर्थात् यह एक अधिसमुच्चय है) आगे के विकास में फूरियर समाकल का सामान्यीकरण सम्मिलित है, ''प्लांचरेल के पथप्रदर्शक L²-सिद्धांत (1910) से आरंभ करते हुए, वीनर और बोचनर के फलनों को सतत रखा (1930 के आसपास) और एल. श्वार्ट्ज के फलन के सिद्धांत (1945) में समामेलन के साथ समाप्त हुआ..., और डिराक डेल्टा फलन के औपचारिक विकास की ओर अग्रसर हुआ है।

एक असीम रूप से लंबे, इकाई आवेग डेल्टा फलन (कॉची फलन का अनंत संस्करण) के लिए एक अत्यंत छोटा सूत्र स्पष्ट रूप से ऑगस्टिन लुई कॉची के 1827 के पाठ में दिखाई देता है। सिमोन डेनिस पॉइसन ने तरंग प्रसार के अध्ययन के संबंध में इस मुद्दे पर विचार किया जैसा कि कुछ समय बाद गुस्ताव किरचॉफ ने कुछ समय बाद किया था। किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने इकाई आवेग को गाऊसी की सीमा के रूप में भी प्रस्तावित किया, जो लॉर्ड केल्विन की बिंदु ताप स्रोत की धारणा के अनुरूप था। 19वीं शताब्दी के अंत में, ओलिवर हेविसाइड ने इकाई आवेग में प्रकलित करने के लिए औपचारिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया था। डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक ने अपने 1927 के दस्तावेज़ क्वांटम डायनेमिक्स की भौतिक व्याख्या में प्रस्तावित किया था और अपनी पाठ्यपुस्तक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत में इसका उपयोग किया था। इसे ''डेल्टा फलन'' कहा क्योंकि उन्होंने इसे असतत क्रोनकर डेल्टा के सतत एनालॉग के रूप में उपयोग किया था।

परिभाषाएँ

डिराक डेल्टा फलन $\delta (x)$ को वास्तविक रेखा पर एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है जो मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह शून्य है, जहां यह अनंत है,

$$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$$

और जो तत्समक को संतुष्ट करने के लिए भी सीमित है

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

यह केवल एक अनुमानी लक्षण वर्णन है। डिराक डेल्टा पारंपरिक अर्थों में एक फलन नहीं है क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित किसी भी फलन में ये गुण नहीं होते हैं।

डिराक डेल्टा फलन की एक और तुल्य परिभाषा: $\delta (x)$ फलन है (एक शिथिल अर्थ में) जो संतुष्ट करता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1,\ \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)g(x)dx=g(0)$$

जहां g(x) एक सुव्यवस्थित फलन है। इस परिभाषा में दूसरी प्रतिबंध उपरोक्त पहली परिभाषा से प्राप्त किया जा सकता है:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)g(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)g(x)dx=g(0)\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)dx=g(0).$$

डिराक डेल्टा फलन को या तो फलन के रूप में या नीचे वर्णित माप के रूप में यथार्थ रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

मापक के रूप में

डिराक डेल्टा फलन की धारणा को कठोरता से पकड़ने का एक प्रकार माप (गणित) को परिभाषित करना है, जिसे डिराक माप कहा जाता है, जो वास्तविक रेखा R के उपसमुच्चय A को एक तर्क के रूप में स्वीकार करता है, और यदि 0 ∈ A है तो δ(A) = 1 देता है, और अन्यथा δ(A) = 0 देता है। डेल्टा फलन को 0 पर एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान के मॉडलिंग के रूप में संकल्पित किया गया है, तब δ(A) समुच्चय A में निहित द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। कोई इस द्रव्यमान फलन के प्रति किसी फलन के समाकल फलन के रूप में δ के प्रति समाकल एक फलन के समाकल को परिभाषित कर सकता है। औपचारिक रूप से, लेब्सग समाकल आवश्यक विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है। माप δ के संबंध में लेब्सेग समाकल

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)$$

सभी सतत सघन रूप से समर्थित फलन f को संतुष्ट करता है। माप δ लेब्सेग माप के संबंध में यथार्थतः सतत नहीं है - वास्तव में, यह एक अद्वितीय माप है। परिणामस्वरूप, डेल्टा माप में कोई रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न नहीं है (लेबेस्ग माप के संबंध में) - कोई वास्तविक फलन नहीं जिसके लिए गुण संचालित करती है।

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$$

परिणामस्वरूप, बाद वाले संकेतन का एक सुविधाजनक दुरुपयोग है, और एक मानक (रीमैन या लेबेस्ग) समाकल नहीं है।

R पर प्रायिकता माप के रूप में, डेल्टा माप को इसके संचयी फलन फलन की विशेषता है, जो इकाई सोपान फलन है।

$$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

इसका अर्थ यह है कि H(x) माप δ के संबंध में संचयी संकेतक फलन 1_{(−∞, x]} का समाकल है; बुद्धि के लिए,

$$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta (-\infty ,x],$$

अनुवर्ती इस अंतराल का माप है; अधिक औपचारिक रूप से, δ((−∞, x]) है। इस प्रकार विशेष रूप से एक सतत फलन के प्रति डेल्टा फलन के एकीकरण को रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल के रूप में ठीक से समझा जा सकता है:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$$

δ के सभी उच्चतर क्षण (गणित) शून्य हैं। विशेष रूप से, विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन दोनों एक समान हैं।

फलन के रूप में

फलन (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति ''एकीकृत'' किया जाता है। इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से ''अच्छे'' परीक्षण फलन φ के प्रति डेल्टा फलन का ''समाकल'' क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है।

परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि सघन समर्थन के साथ R पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। फलन के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है।

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$

(1)

प्रत्येक परीक्षण फलन φ के लिए है।

δ के उचित फलन के लिए, इसे परीक्षण फलन के समष्टि पर एक उपयुक्त टोपोलॉजी में सतत होता है। सामान्य रूप में, फलन को परिभाषित करने के लिए परीक्षण फलनों के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक S के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक N के लिए एक पूर्णांक M_N और एक स्थिर C_N होता है, जिससे प्रत्येक परीक्षण फलन φ के लिए असमानता होती है।

$$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$$

जहाँ sup सर्वोच्च का प्रतिनिधित्व करता है। δ फलन के साथ, सभी N के लिए M_N = 0 के साथ ऐसी असमानता (C_N = 1 के साथ) होती है। इस प्रकार δ क्रम शून्य का फलन है। इसके अलावा, यह सघन समर्थन वाला एक फलन है (समर्थन{0}है)।

डेल्टा फलन को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हेविसाइड सोपान फलन का फलनात्मक व्युत्पन्न है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ, एक है।

$$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.$$

सहज रूप से, यदि भागों द्वारा एकीकरण की अनुमति दी गई थी, तो बाद वाले समाकल को सरल बनाना चाहिए

$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,$$

और वास्तव में, स्टिल्टजेस समाकल के लिए भागों द्वारा एकीकरण के एक रूप की अनुमति है, और उस प्रकरण में, किसी के पास

$$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).$$

माप सिद्धांत के संदर्भ में, डिराक माप एकीकरण द्वारा फलन को वृद्धि किया जाता है। इसके विपरीत, समीकरण (1) सभी सघन रूप से समर्थित सतत फलनों के समष्टि पर एक डेनियल समाकल को परिभाषित करता है φ जो, रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, कुछ रेडॉन माप के संबंध में φ के लेबेस्ग समाकल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले फलन के अर्थ में होता है, डिराक माप, माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा फलन शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं।

सामान्यीकरण

डेल्टा फलन को n-विमीय यूक्लिडियन समष्टि Rⁿ में इस तरह के माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )$$

प्रत्येक सघन रूप से समर्थित सतत फलन f के लिए है। एक माप के रूप में, n-विमीय डेल्टा फलन प्रत्येक चर में अलग-अलग 1-विमीय डेल्टा फलन का उत्पाद माप है। इस प्रकार, औपचारिक रूप से, x = (x₁, x₂, ..., x_n) के साथ, किसी के पास है

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$

(2)

डेल्टा फलन को एक-विमीय प्रकरण में ऊपर बताए अनुसार फलन के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बदले, (2) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि फलन के उत्पाद को केवल अत्यन्त संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।

डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है। इस प्रकार यदि X एक समुच्चय है, x₀ ∈ X एक चिह्नित बिंदु है, और Σ, X के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय A ∈ Σ पर परिभाषित माप

$$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$$

डेल्टा माप या इकाई द्रव्यमान x₀ पर केंद्रित है।

डेल्टा फलन का एक और सामान्य सामान्यीकरण एक विभेदक बहुरूप है जहां फलन के रूप में इसके अधिकांश गुणों का भी विभेदक संरचना के कारण पराक्रम किया जा सकता है। बिंदु x₀ ∈ M पर केन्द्रित बहुरूपता M पर डेल्टा फलन को निम्नलिखित फलन के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$

(3)

M पर सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन φ के लिए हैं। इस निर्माण का एक सामान्य विशेष प्रकरण वह प्रकरण है जिसमें M यूक्लिडियन समष्टि Rⁿ में एक विवृत समुच्चय हैं।

स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि X पर, एक बिंदु x पर केंद्रित डिराक डेल्टा माप, सघन रूप से समर्थित सतत फलन φ पर डेनियल समाकल (3) से जुड़ा रेडॉन माप हैं। व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रण $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित, X पर परिमित रेडॉन माप के समष्टि में X का सतत अंतःस्थापन है। इसके अलावा, इस अंतःस्थापन के अंतर्गत X के प्रतिबिंब का अवमुख समावरक X पर प्रायिकता माप के प्रायिकता माप के समष्टि में सघन हैं।

गुण

सोपान और समरूपता

डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर α के लिए निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है :

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$$

इसलिए

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$

(4)

सोपान गुण प्रमाण:

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g({\frac {x'}{a}})\delta (x')$$

जहां चर x′ = ax में परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। यदि a ऋणात्मक है, अर्थात्, a = −|a|, तो

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g({\frac {x'}{a}})\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g({\frac {x'}{a}})\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).$$

इस प्रकार, $\delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)$.

विशेष रूप से, डेल्टा फलन एक समान फलन (समरूपता) है, इस अर्थ में

$$\delta (-x)=\delta (x)$$

जो घात −1 का सजातीय है।

बीजगणितीय गुण

x के साथ δ का फलनात्मक उत्पाद शून्य के समान है:

$$x\,\delta (x)=0.$$

अधिक सामान्यतः, सभी धनात्मक पूर्णांक n के लिए (x−a)nE(x−a)=0 है। इसके विपरीत, यदि xf(x) = xg(x), जहां f और g फलन हैं, तो

$$f(x)=g(x)+c\delta (x)$$

कुछ स्थिरांक c के लिए है।

अनुवाद

समय-विलंबित डिराक डेल्टा का समाकल है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).$$

इसे कभी-कभी विचालन गुण या प्रतिदर्श गुणके रूप में जाना जाता है। डेल्टा फलन के बारे में कहा जाता है कि यह t = T पर f(t) के मान को "विचालन" देता है।।

इसका तात्पर्य यह है कि किसी फलन f(t) को समय-विलंबित डिराक डेल्टा $\delta _{T}(t)=\delta (t-T)$ के साथ संयोजित करने का प्रभाव f(t) को समान मात्रा में समय-विलंबित करना है:

$${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$$

स्थानांतरण गुण स्पष्ट प्रतिबंध के अंतर्गत है कि f एक संस्कारित फलन है (नीचे फूरियर रूपांतरण की परिचर्चा देखें)। उदाहरण के लिए, एक विशेष प्रकरण के रूप में, हमारे पास तत्समक है (फलन अर्थ में समझी गई)

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).$$

फलन के साथ रचना

अधिक सामान्यतः, डेल्टा फलन एक सुचारु फलन g(x) के साथ इस तरह से बनाया जा सकता है कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन का मानना है कि

$$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du$$

बशर्ते कि g एक सतत अवकलनीय फलन है जिसमें g′ कहीं भी शून्य नहीं है। अर्थात, फलन $\delta \circ g$ को अर्थ निर्दिष्ट करने का एक अद्वितीय प्रकार है ताकि यह तत्समक सभी सघन रूप से समर्थित परीक्षण फलन f के लिए बना रहता है। इसलिए, g′ = 0 बिंदु को बाहर करने के लिए डोमेन तोड़ा जाता है। यह फलन δ(g(x)) = 0 को संतुष्ट करता है यदि g कहीं भी शून्य नहीं है, और अन्यथा यदि g का वास्तविक मूल x₀ पर है, तो

$$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$$

इसलिए सतत भिन्न-भिन्न फलनों g के लिए संघटन δ(g(x)) को परिभाषित करना स्वाभाविक है

$$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$$

जहां योग g(x) के सभी मूलों (अर्थात्, सभी अलग-अलग) पर विस्तारित होता है, जिन्हें सरल माना जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए

$$\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$$

समाकल रूप में, सामान्यीकृत सोपान गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$$

अनिश्चित समाकल

एक स्थिरांक a ∈ ℝ और एक "अच्छे व्यवहार वाले" स्वेच्छाचारी वास्तविक-मूल्यवान फलन y(x) के लिए यह सत्य है कि:

$$\displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+\mathbf {C}$$

H(x) के साथ हेविसाइड सोपान फलन है और C पारंपरिक एकीकरण स्थिरांक है।

n आयामों में गुण

n-विमीय समष्टि में डेल्टा फलन इसके बदले निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है,

$$\delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,$$

ताकि δ डिग्री −n का एक सजातीय फलन है।

किसी भी प्रतिबिंब या घूर्णन ρ के अंतर्गत, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है,

$$\delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.$$

जैसा कि एक-चर प्रकरण में, द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन g: Rⁿ → Rⁿ के साथ δ की संरचना को विशिष्ट रूप से परिभाषित करना संभव है ताकि तत्समक

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u}$$

सभी सघन रूप से समर्थित फलन f के लिए है।

ज्यामितीय माप सिद्धांत से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में निमज्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत विभेदक फलन g : Rⁿ → R के विशेष प्रकरण में जैसे कि g का प्रवणता कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित तत्समक संचालित है।

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )$$

जहां दाहिनी ओर का समाकल g⁻¹(0) से अधिक है, मिन्कोव्स्की विषय सूची माप के संबंध में (n − 1)-विमीय सतह g(x) = 0 द्वारा परिभाषित है। इसे सरल स्तर समाकल के रूप में जाना जाता है।

अधिक सामान्यतः, यदि S, Rⁿ की एक सुचारू अधिपृष्ठ है, तो हम S से उस फलन को संबद्ध कर सकते हैं जो S पर किसी भी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलन g को एकीकृत करता है:

$$\delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )$$

जहां σ S से संबंधित अधिपृष्ठ माप है। यह सामान्यीकरण S पर सरल परत क्षमता के संभावित सिद्धांत से जुड़ा है। यदि D सुचारू सीमा S के साथ Rⁿ में एक डोमेन है, तो δ_S फलन अर्थ में D के संकेतक फलन के सामान्य व्युत्पन्न के समान है,

$$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\,d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} ),$$

जहाँ n बाह्य सामान्य है। प्रमाण के लिए, उदाहरण देखें सतह डेल्टा फलन पर आलेख है।

तीन विमीय में, डेल्टा फलन को गोलाकार निर्देशांक में दर्शाया गया है:

$$\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}$$

फूरिये रूपांतर

डेल्टा फलन एक टेम्पर्ड फलन है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतर है। औपचारिक रूप से, कोई ढूँढ़ें

$${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.$$

उचित रूप से कहें तो, एक फलन के फूरियर रूपांतरण को श्वार्ट्ज फलनों के साथ टेम्पर्ड फलनों के द्वंद्व युग्मन $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ के अंतर्गत फूरियर रूपांतरण की स्व-संयुक्तता को उपयोजित करके परिभाषित किया गया है। इस प्रकार ${\widehat {\delta }}$ को अद्वितीय टेम्पर्ड फलन संतोषजनक के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle$$

सभी श्वार्ट्ज फलनों φ के लिए है। वास्तव में इससे ${\widehat {\delta }}=1$ निष्कर्ष निकलता है।

इस तत्समक के परिणामस्वरूप, किसी अन्य टेम्पर्ड फलन S के साथ डेल्टा फलन का संवलन केवल S है:

$$S*\delta =S.$$

यह तात्पर्य है कि टेम्पर्ड फलन पर संवलन के लिए δ एक तत्समक तत्व है, और वास्तव में, संवलन के अंतर्गत सघन रूप से समर्थित फलन का समष्टि डेल्टा फलन की तत्समक के साथ एक सहयोगी बीजगणित है। यह गुण सिग्नल संसाधन में मौलिक है, क्योंकि टेम्पर्ड फलन के साथ संवलन एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को उपयोजित करने से इसकी आवेग अनुक्रिया मापी जाती है। आवेग अनुक्रिया की गणना δ के लिए उपयुक्त सन्निकटन का चयन करके सटीकता की किसी भी वांछित डिग्री तक की जा सकती है, और एक बार यह ज्ञात हो जाए तो यह प्रणाली को पूरी तरह से चित्रित करता है। LTI प्रणाली सिद्धांत देखें § आवेग अनुक्रिया और संवलन।

टेम्पर्ड फलन f(ξ) = 1 का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण डेल्टा फलन है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)$$

और अधिक परिशुद्ध से, यह तब से अनुसरण करता है

$$\langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$

सभी श्वार्ट्ज फलनों f के लिए है।

इन शब्दों में, डेल्टा फलन R फूरियर कर्नेल की लंबकोणीयता गुण का एक सांकेतिक विवरण प्रदान करता है। औपचारिक रूप से, किसी के पास है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).$$

निःसंदेह, यह इस अभिकथन का आशुलिपि है कि फूरियर टेम्पर्ड फलन का रूपांतरण करता

$$f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$$

है

$${\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})$$

जो फिर से फूरियर परिवर्तन के आत्म-संबद्धता को उपयोजित करके अनुसरण करता है।

फूरियर रूपांतर की विश्लेषणात्मक निरंतरता से डेल्टा फलन का लाप्लास परिवर्तन पाया जाता है।

$$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$$

डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न

डिराक डेल्टा फलन का व्युत्पन्न, जिसे δ′ दर्शाया गया है और इसे डिराक डेल्टा मूल या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि संकेतक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे सघन रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण फलन φ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$$

यहां पहली समानता भागों द्वारा एक प्रकार का एकीकरण है, यदि δ तब एक सत्य फलन होता

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.=-\varphi '(0)$$

गणितीय प्रेरण द्वारा, δ के k-वें व्युत्पन्न को परीक्षण फलनों पर दिए गए फलन के समान ही परिभाषित किया गया है

$$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$$

विशेष रूप से, δ अनंततः भिन्न फलन है।

डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की फलन सीमा है:

$$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.$$

अधिक ठीक से, किसी के पास है

$$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$$

जहां τ_h अनुवाद प्रचालक है, जिसे τ_hφ(x) = φ(x + h) द्वारा फलन और फलन S पर परिभाषित किया गया है।

$$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$$

विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत में, डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न मूल बिंदु पर स्थित एक बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है। परिस्थिति के अनुसार, इसे द्विध्रुव या द्विक फलन कहा जाता है।

डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई आधारिक गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं:

$${\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}$$

जिसे परीक्षण फलन उपयोजित करके और भागों द्वारा एकीकृत करके दिखाया जा सकता है।

इन गुणों में से बाद वाले को फलनात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को उपयोजित करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

$$\delta '*f=\delta *f'=f',$$