पॉइसन योग सूत्र

गणित में, पॉइसन योग सूत्र एक समीकरण है जो किसी फलन (गणित) के आवधिक योग के फूरियर श्रृंखला गुणांक को फलन के निरंतर फूरियर परिवर्तन के मूल्यों से जोड़ता है। परिणाम स्वरुप किसी फलन का आवधिक योग मूल फलन के फूरियर रूपांतरण के अलग-अलग नमूनों द्वारा पूरी तरह से परिभाषित होता है। और इसके विपरीत किसी फलन के फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग पूरी तरह से मूल फलन के अलग-अलग नमूनों द्वारा परिभाषित किया गया है। पॉइसन योग सूत्र की खोज शिमोन डेनिस पॉइसन ने की थी और इसे कभी-कभी पॉइसन पुनर्मूल्यांकन भी कहा जाता है।

समीकरण के रूप

फूरियर रूपांतरण ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ के साथ एक एपेरियोडिक फलन $s(x)$ पर विचार करें जिसे वैकल्पिक रूप से ${\hat {s}}(f)$ और ${\mathcal {F}}\{s\}(f).$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k).$$

(Eq.1)

आवधिक कार्यों पर भी विचार करें, जहां पैरामीटर $T>0$ और $P>0$ $x$ के समान इकाइयों में हैं।

$$s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).$$

तब Eq.1 इस सामान्यीकरण का एक विशेष स्थिति (P=1, x=0) है:

$$s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},$$

(Eq.2)

जो गुणांकों के साथ एक फूरियर श्रृंखला विस्तार है जो फलन $S(f).$ के नमूने हैं इसी प्रकार:

$$S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},$$

(Eq.3)

इसे महत्वपूर्ण असतत-समय फूरियर रूपांतरण के रूप में भी जाना जाता है।

Derivations

A proof may be found in either Pinsky or Zygmund. Eq.2, for instance, holds in the sense that if $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$, then the right-hand side is the (possibly divergent) Fourier series of the left-hand side. It follows from the dominated convergence theorem that $s_{_{P}}(x)$ exists and is finite for almost every $x$. Furthermore it follows that $s_{_{P}}$ is integrable on any interval of length $P.$ So it is sufficient to show that the Fourier series coefficients of $s_{{}_P}($