सममित फलन वलय

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित फलन की वलय 'n' निर्धारक में सममित बहुपद की वलय (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में फलन करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही फलन)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित फलन की वलय को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

Main article: सममित बहुपद

सममित फलन का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से निर्धारक को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से,n निर्धारक में बहुपद की वलय पर सममित समूह S_n के वलय ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है , जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक निर्धारक को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर फलन करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है, यदि निर्धारक X₁, ..., X_n हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं।

$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,$

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,$

और

$X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,$

कुछ और जटिल उदाहरण है X₁³X₂X₃ + X₁X₂³X₃ + X₁X₂X₃³ + X₁³X₂X₄ + X₁X₂³X₄ + X₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करने के लिए आगे बढ़ता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद हैं।

सममित फलन की वलय

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए तीसरी शक्ति योग बहुपद p₃ के लिए न्यूटन की पहचान ओर जाता है

$p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),$

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(X₁,...,X_n) = 0 जब भी n < k हो। कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

$p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}$

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है और यह सममित फलन के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए अशून्य तत्व e_k होते हैं और वलय के किसी भी अवयव को e_k अवयवों में बहुपद व्यंजक द्वारा दिया जा सकता है।

परिभाषाएँ

सममित फलन की वलय को किसी भी क्रमविनिमेय वलय R पर परिभाषित किया जा सकता है और इसे Λ_R के रूप में दर्शाया जाएगा; मूल स्थिति R = 'Z' के लिए है। वलय Λ_R वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय के रूप में

सबसे सरल (चूंकि कुछ सीमा तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला शक्ति श्रृंखला की वलय से प्रारंभ होता है $R[[X_{1},X_{2},...]]$ R पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस शक्ति श्रृंखला वलय के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद निर्धारक रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ_R को परिभाषित करता है इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं

1. S निर्धारक के किसी भी क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और
2. S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना आवश्यक है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X₁ शब्द होता है सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए X_i शब्द भी होना चाहिए। पूरी शक्ति श्रृंखला वलय के विपरीत, सबवलय Λ_R एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ_R का प्रत्येक तत्व Λ_R के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e_k∈ Λ_R को k विशिष्ट निर्धारक के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में

Λ_R का एक और निर्माण वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु n निर्धारक में सममित बहुपदों के वलय R[X₁,...,X_n]^S_n के साथ संबंध को श्रेष्ठतर विधि से इंगित करता है। निर्धारक में सममित बहुपदों का प्रत्येक n के लिए समरूप वलय R[X₁,...,X_n+1]^S_n+1 पर विशेषण वलय समरूपता ρ_n है, जिसमें R[X₁,...,X_n]^S_n पर एक और निर्धारक है, जिसे सेट करके परिभाषित किया गया है। अंतिम निर्धारक को सेट करके X_n+1से 0 । चूंकि ρ_n गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री $n+1$ है ।(वे X के गुणक हैं X₁X₂...X_n+1) इसका मतलब यह है कि ρ_n का प्रतिबंध अधिक से अधिक डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण रैखिक नक्शा है, और ρ_n(e_k(X₁,...,X_n+1)) = e_k(X₁,...,X_n) सभी के लिए k ≤ n है। इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से R[X₁,...,X_n]^S_n से R[X₁,...,X_n+1]^S_n+1, तक वलय समरूपता φ_n तक बढ़ाया जा सकता है । जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। चूंकि k = 1,...,n के लिए φ_n(e_k(X₁,...,X_n)) = e_k(X₁,...,X_n+1) , बिंब अभी भी R पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं, समाकारिता φ_n पर अन्तःक्षेपण बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और इसे वलय के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ_n लागू करना से पहले उपस्तिथ एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए निर्धारक वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। वलय Λ_R तब इन समावेशन के अधीन इन सभी अंगूठियो का संघ (प्रत्यक्ष सीमा) है। चूंकि सभी φ_n सम्मलित वलय की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ_R वर्गीकृत वलय की संरचना प्राप्त करता है।

यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ_n का उपयोग करता है अन्तःक्षेपण रूपवाद φ_n का उल्लेख किए बिना। यह Λ_R के सजातीय घटकों का निर्माण करता है अलग से, एक और ρ_n का उपयोग करके उनके प्रत्यक्ष योग को वलय संरचना से तैयार करता है। यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत अंगूठियो की श्रेणी (गणित) में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। चूंकि यह विवरण कुछ सीमा तक इंजेक्शन आकारिता की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित फलन) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में eमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां वलय R[X₁,...,X_d]^S_d यह d के लिए सममित फलन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस वलय के डिग्री d में भाग को समरूप रूप से मैप किया जाता है, जो कि φn द्वारा अधिक निर्धारक होता है। सभी के लिए n≥ d। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित फलन के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।

व्यक्तिगत सममित फलन को परिभाषित करना

Λ_R के तत्वों के लिए नाम सममित फलन मिथ्या नाम है: न तो निर्माण में तत्व फलन (गणित) हैं और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई फलन नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए e₁ सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। चूँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट)

Λ के तत्व (Λ_n के तत्वों के विपरीत) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित फलन की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।

(यहाँ Λ_n एन निर्धारक में सममित बहुपदों की वलय को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी।

सममित फलन को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n निर्धारक में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, निर्धारक संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है

$e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,$

प्राथमिक सममित फलन की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि निर्धारक की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρ_n के साथ संगत होना चाहिए (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, जिससे शेष अनिश्चितताओं में किसी भी एकपद के गुणांक अपरिवर्तित रहें), और उनकी डिग्री बंधी रहनी चाहिए। (सममित बहुपदों के परिवार का उदाहरण जो दोनों स्थितियों में विफल रहता है $\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}$; परिवार $\textstyle \prod _{i=1}^{n}(X_{i}+1)$ केवल दूसरी स्थिति में विफल रहता है।) n निर्धारक में किसी भी सममित बहुपद का उपयोग सममित बहुपदों के संगत परिवार के निर्माण के लिए किया जा सकता है, समरूपता का उपयोग करके ρ_i i < n निर्धारक की संख्या कम करने के लिए, और φ_i i ≥ n के लिए अनिश्चितताओं की संख्या बढ़ाने के लिए (जो पहले से उपस्तिथ एकपदीयों से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चितकों में सभी एकपदीयों को जोड़ने के बराबर है)।

निम्नलिखित सममित फलन के मूलभूत उदाहरण हैं।

• 'एकपद सममित फलन ' m_α. मान लीजिए α = (α₁,α₂,...) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का क्रम है, जिनमें से केवल बहुत से गैर-शून्य हैं। तब हम α द्वारा परिभाषित एकपद पर विचार कर सकते हैं: X^α = X₁^α₁X₂^α₂X₃^α₃.... फिर m_α X^α द्वारा निर्धारित सममित फलन है, अर्थात X^α से प्राप्त सभी एकपदीयों का योग। समरूपता द्वारा औपचारिक परिभाषा के लिए, β ~ α को परिभाषित करें जिसका अर्थ है कि अनुक्रम β अनुक्रम α और सेट का क्रमपरिवर्तन है

$m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.$

यह सममित फलन एकपद सममित बहुपद m_α(X₁,...,X_n) से मेल खाता है किसी भी बड़े n के लिए एकपदी X^α रखने के लिए पर्याप्त है। अलग-अलग एकपद सममित फलन को पूर्णांक विभाजन द्वारा पैरामीटर किया जाता है (प्रत्येक m_α अद्वितीय प्रतिनिधि एकपदी X^λ है भागों के साथ λ_i कमजोर घटते क्रम में)। चूंकि किसी भी सममित फलन में कुछ m_α के एकपद सम्मलित हैं एक ही गुणांक के साथ उन सभी को सम्मलित करना चाहिए, प्रत्येक सममित फलन को एकपद सममित फलन के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, और विशिष्ट एकपद सममित फलन इसलिए Λ_R का आधार बनाते हैं आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में।

• 'प्राथमिक सममित फलन' e_k, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; के पास e_k = m_α जहां ${}^{}$