प्राचलिक सतह

एक पैरामीट्रिक सतह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह (गणित) है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे दो मापदंडों के साथ एक पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है $\mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$. पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व एक सतह, साथ ही साथ निहित सतह को निर्दिष्ट करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। वेक्टर कलन , स्टोक्स प्रमेय और विचलन प्रमेय के दो मुख्य प्रमेयों में होने वाली सतहों को अक्सर एक पैरामीट्रिक रूप में दिया जाता है। सतह पर वक्र ता और चाप की लंबाई, सतह क्षेत्र , विभेदक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय जैसे कि पहला मौलिक रूप और दूसरा मौलिक रूप मौलिक रूप, गाऊसी वक्रता , माध्य वक्रता , और प्रमुख वक्रता वक्रता सभी की गणना किसी दिए गए पैरामीट्रिजेशन से की जा सकती है।

उदाहरण

टोरस्र्स , समीकरणों के साथ बनाया गया: x = r sin v; y = (R + r cos v) sin u; z = (R + r cos v) cos u.

File:Parametric surface illustration (trefoil knot).png

एक ट्रेफिल गाँठ बनाने वाली पैरामीट्रिक सतह, संलग्न स्रोत कोड में समीकरण विवरण।

* सबसे सरल प्रकार की पैरामीट्रिक सतहों को दो चर के कार्यों के ग्राफ द्वारा दिया जाता है:

$$z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).$$

• एक परिमेय सतह एक ऐसी सतह है जो एक परिमेय फलन द्वारा मानकों को स्वीकार करती है। एक परिमेय सतह एक बीजीय सतह है। एक बीजीय सतह को देखते हुए, यह तय करना आम तौर पर आसान होता है कि क्या यह तर्कसंगत है, इसके तर्कसंगत पैरामीटर की गणना करने की तुलना में, यदि यह मौजूद है।
• क्रांति की सतह सतहों का एक और महत्वपूर्ण वर्ग देती है जिसे आसानी से पैरामीट्रिज किया जा सकता है। अगर ग्राफ z = f(x), a ≤ x ≤ b z-अक्ष के बारे में घुमाया जाता है तो परिणामी सतह में एक पैरामीट्रिजेशन होता है
  $$\mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .$$
  इसे पैरामीटरयुक्त भी किया जा सकता है
  $$\mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,$$
  दिखा रहा है कि, अगर समारोह f तर्कसंगत है, तो सतह तर्कसंगत है।
• x-अक्ष के परितः R त्रिज्या के सीधे वृत्तीय बेलन (ज्यामिति) में निम्नलिखित पैरामीट्रिक निरूपण है:
  $$\mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).$$
• गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके, इकाई क्षेत्र को द्वारा पैरामीटर किया जा सकता है
  $$\mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .$$
  यह पैरामीट्रिजेशन उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों पर टूट जाता है जहां दिगंश कोण θ विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है। गोला एक तर्कसंगत सतह है।

एक ही सतह कई अलग-अलग पैरामीट्रिजेशन स्वीकार करती है। उदाहरण के लिए, समन्वय जेड-प्लेन को पैरामीट्रिज किया जा सकता है:

$$\mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)$$

किसी भी स्थिरांक a, b, c, d के लिए ऐसा है कि ad − bc ≠ 0, यानी मैट्रिक्स ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ उलटा मैट्रिक्स है।

स्थानीय अंतर ज्यामिति

एक पैरामीट्रिक सतह के स्थानीय आकार का विश्लेषण उस फ़ंक्शन के टेलर विस्तार पर विचार करके किया जा सकता है जो इसे पैरामीट्रिज़ करता है। अभिन्न का उपयोग करके सतह और सतह क्षेत्र पर एक वक्र की चाप की लंबाई पाई जा सकती है।

संकेतन

मान लें कि पैरामीट्रिक सतह समीकरण द्वारा दी गई है

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),$$

कहाँ पे $\mathbf {r}$ पैरामीटर (यू, वी) का एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है और पैरामीटर पैरामीट्रिक यूवी-प्लेन में एक निश्चित डोमेन डी के भीतर भिन्न होता है। मापदंडों के संबंध में पहला आंशिक डेरिवेटिव आमतौर पर निरूपित किया जाता है ${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$ तथा $\mathbf {r} _{v},$ और इसी तरह उच्च डेरिवेटिव के लिए, ${\mathbf{r}}_{}$