बलोच का प्रमेय

This article is about a theorem in quantum mechanics. For the theorem used in complex analysis, see Bloch's theorem (complex variables).

Error creating thumbnail:

एक सिलिकॉन जाली में बलोच राज्य के वर्ग मापांक की आइसोसतह

Error creating thumbnail:

ठोस रेखा: एक आयाम में एक विशिष्ट बलोच राज्य के वास्तविक भाग का एक योजनाबद्ध। बिंदीदार रेखा कारक से है e^ik·r. प्रकाश वृत्त परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संघनित पदार्थ भौतिकी में, बलोच के प्रमेय में कहा गया है कि आवधिक क्षमता में श्रोडिंगर समीकरण#समय-स्वतंत्र समीकरण|श्रोडिंगर समीकरण के समाधान एक आवधिक फ़ंक्शन द्वारा संशोधित समतल तरंग का रूप लेते हैं। प्रमेय का नाम भौतिक विज्ञानी फ़ेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1929 में प्रमेय की खोज की थी। गणितीय रूप से, वे लिखे गए हैं

Bloch function

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

कहाँ $\mathbf {r}$ स्थिति है, $\psi$ तरंग फ़ंक्शन है, $u$ क्रिस्टल, तरंग वेक्टर के समान आवधिकता वाला एक आवधिक कार्य है $\mathbf {k}$ क्रिस्टल गति है, $e$ ई (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या, और $i$ काल्पनिक इकाई है.

इस रूप के कार्यों को बलोच कार्यों या बलोच राज्यों के रूप में जाना जाता है, और क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के तरंग कार्यों या क्वांटम राज्यों के लिए उपयुक्त आधार फ़ंक्शन के रूप में कार्य करता है।

स्विस भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर, बलोच कार्यों के संदर्भ में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन, जिसे बलोच इलेक्ट्रॉन (या कम अक्सर बलोच तरंगें) कहा जाता है, इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाओं की अवधारणा को रेखांकित करता है।

ये आइजनस्टेट्स सबस्क्रिप्ट के साथ लिखे गए हैं $\psi _{n\mathbf {k} }$, कहाँ $n$ एक अलग सूचकांक है, जिसे ऊर्जा बैंड कहा जाता है, जो मौजूद है क्योंकि इसके साथ कई अलग-अलग तरंग कार्य होते हैं $\mathbf {k}$ (प्रत्येक का एक अलग आवधिक घटक होता है $u$). एक बैंड के भीतर (यानी, निश्चित के लिए $n$), $\psi _{n\mathbf {k} }$ के साथ लगातार बदलता रहता है $\mathbf {k}$, जैसा कि इसकी ऊर्जा है। भी, $\psi _{n\mathbf {k} }$ केवल स्थिर व्युत्क्रम जालक सदिश तक ही अद्वितीय है $\mathbf {K}$, या, $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$. इसलिए, तरंग वेक्टर $\mathbf {k}$ व्यापकता के नुकसान के बिना पारस्परिक जाली के पहले ब्रिलोइन क्षेत्र तक सीमित किया जा सकता है।

अनुप्रयोग और परिणाम

प्रयोज्यता

बलोच के प्रमेय का सबसे आम उदाहरण क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करना है, विशेष रूप से क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनिक गुणों, जैसे इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को चिह्नित करने में। हालाँकि, बलोच-वेव विवरण आम तौर पर किसी आवधिक माध्यम में किसी भी तरंग जैसी घटना पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में एक आवधिक ढांकता हुआ संरचना फोटोनिक क्रिस्टल की ओर ले जाती है, और एक आवधिक ध्वनिक माध्यम ध्वन्यात्मक क्रिस्टल की ओर ले जाती है। इसका व्यवहार आम तौर पर विवर्तन के गतिशील सिद्धांत के विभिन्न रूपों में किया जाता है।

तरंग सदिश

Error creating thumbnail:

एक बलोच वेव फ़ंक्शन (नीचे) को एक आवधिक फ़ंक्शन (शीर्ष) और एक प्लेन-वेव (केंद्र) के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है। बाईं ओर और दाईं ओर तरंग वेक्टर को शामिल करते हुए दो अलग-अलग तरीकों से विभाजित एक ही बलोच स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं k₁ (बाएं) या k₂ (सही)। के अंतर (k₁ − k₂) एक व्युत्क्रम जालक सदिश है। सभी कथानकों में, नीला वास्तविक भाग है और लाल काल्पनिक भाग है।

मान लीजिए कि एक इलेक्ट्रॉन बलोच अवस्था में है

$$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$

कहाँ u क्रिस्टल जाली के समान आवधिकता के साथ आवर्त है। इलेक्ट्रॉन की वास्तविक क्वांटम स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है $\psi$, नहीं k या u सीधे. यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि k और u अद्वितीय नहीं हैं. विशेष रूप से, यदि $\psi$ का उपयोग करके ऊपर लिखे अनुसार लिखा जा सकता है k, इसका उपयोग करके भी लिखा जा सकता है (k + K), कहाँ K कोई व्युत्क्रम जाली है (दाईं ओर चित्र देखें)। इसलिए, तरंग वेक्टर जो पारस्परिक जाली वेक्टर से भिन्न होते हैं, समतुल्य होते हैं, इस अर्थ में कि वे बलोच राज्यों के समान सेट की विशेषता रखते हैं।

पहला ब्रिलोइन ज़ोन मूल्यों का एक प्रतिबंधित समूह है k इस संपत्ति के साथ कि उनमें से कोई भी दो बराबर नहीं हैं, फिर भी हर संभव है k पहले ब्रिलोइन ज़ोन में एक (और केवल एक) वेक्टर के बराबर है। इसलिए, यदि हम प्रतिबंधित करते हैं k पहले ब्रिलोइन ज़ोन तक, फिर प्रत्येक बलोच राज्य में एक अद्वितीय होता है k. इसलिए, पहले ब्रिलोइन ज़ोन का उपयोग अक्सर सभी बलोच राज्यों को बिना अतिरेक के चित्रित करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना में, और इसका उपयोग कई गणनाओं में उसी कारण से किया जाता है।

कब k को कम किए गए प्लैंक स्थिरांक से गुणा किया जाता है, यह इलेक्ट्रॉन के क्रिस्टल गति के बराबर होता है। इससे संबंधित, एक इलेक्ट्रॉन के समूह वेग की गणना इस आधार पर की जा सकती है कि बलोच अवस्था की ऊर्जा किस प्रकार बदलती है k; अधिक जानकारी के लिए क्रिस्टल मोमेंटम देखें।

विस्तृत उदाहरण

एक विस्तृत उदाहरण के लिए जिसमें बलोच के प्रमेय के परिणामों पर एक विशिष्ट स्थिति में काम किया जाता है, लेख एक-आयामी जाली (आवधिक क्षमता) में कण देखें।

प्रमेय

बलोच का प्रमेय इस प्रकार है:

एक आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के लिए, निम्नलिखित दो गुणों के साथ तरंग कार्यों का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है:

• इनमें से प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन एक ऊर्जा आइजेनस्टेट है,
• इनमें से प्रत्येक तरंग कार्य एक बलोच अवस्था है, जिसका अर्थ है कि यह तरंग कार्य करती है $\psi$ फॉर्म में लिखा जा सकता है
  $$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$
  कहाँ u(r) में क्रिस्टल की परमाणु संरचना के समान ही आवधिकता होती है, जैसे कि
  $$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).$$

प्रमाण

जाली आवधिकता का उपयोग करना

प्रारंभिक: क्रिस्टल समरूपता, जाली, और पारस्परिक जाली

क्रिस्टल की परिभाषित संपत्ति ट्रांसलेशनल समरूपता है, जिसका अर्थ है कि यदि क्रिस्टल को उचित मात्रा में स्थानांतरित किया जाता है, तो यह अपने सभी परमाणुओं के साथ एक ही स्थान पर समाप्त हो जाता है। (एक परिमित आकार के क्रिस्टल में पूर्ण अनुवादात्मक समरूपता नहीं हो सकती है, लेकिन यह एक उपयोगी सन्निकटन है।)

त्रि-आयामी क्रिस्टल में तीन आदिम जाली वेक्टर होते हैं a₁, a₂, a₃. यदि क्रिस्टल को इन तीन वैक्टरों में से किसी एक, या उनके रूप के संयोजन द्वारा स्थानांतरित किया जाता है

$$n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},$$

कहाँ n_i तीन पूर्णांक हैं, तो परमाणु उन्हीं स्थानों के समूह में समाप्त हो जाते हैं जहां से वे शुरू हुए थे।

प्रमाण में एक अन्य सहायक घटक पारस्परिक जाली वैक्टर है। ये तीन वेक्टर हैं b₁, b₂, b₃ (व्युत्क्रम लंबाई की इकाइयों के साथ), उस गुण के साथ a_i · b_i = 2π, लेकिन a_i · b_j = 0 कब i ≠ j. (सूत्र के लिए b_i, व्युत्क्रम जाली वेक्टर देखें।)

अनुवाद ऑपरेटरों के बारे में लेम्मा

होने देना ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ एक ट्रांसलेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) को निरूपित करें जो प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन को मात्रा के अनुसार बदलता है n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃ (ऊपरोक्त अनुसार, n_j पूर्णांक हैं)। निम्नलिखित तथ्य बलोच प्रमेय के प्रमाण के लिए सहायक है:

Lemma — If a wave function ψ is an eigenstate of all of the translation operators (simultaneously), then ψ is a Bloch state.

Proof of Lemma

Assume that we have a wave function ψ which is an eigenstate of all the translation operators. As a special case of this,

$$\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )$$

for j = 1, 2, 3, where C_j are three numbers (the eigenvalues) which do not depend on r. It is helpful to write the numbers C_j in a different form, by choosing three numbers θ₁, θ₂, θ₃ with e^2πiθ_j = C_j:

$$\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )$$

Again, the θ_j are three numbers which do not depend on r. Define k = θ₁b₁ + θ₂b₂ + θ₃b₃, where b_j are the reciprocal lattice vectors (see above). Finally, define

$$u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.$$

Then

$${\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}$$

This proves that u has the periodicity of the lattice. Since $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$ that proves that the state is a Bloch state.

अंततः, हम बलोच प्रमेय के मुख्य प्रमाण के लिए तैयार हैं जो इस प्रकार है।

जैसा ऊपर बताया गया है, चलो ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ एक अनुवाद ऑपरेटर को निरूपित करें जो प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन को राशि से बदलता है n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃, कहाँ n_i पूर्णांक हैं. क्योंकि क्रिस्टल में ट्रांसलेशनल समरूपता होती है, यह ऑपरेटर हैमिल्टनियन ऑपरेटर के साथ आवागमन करता है। इसके अलावा, ऐसा प्रत्येक अनुवाद ऑपरेटर एक दूसरे के साथ आवागमन करता है। इसलिए, हैमिल्टनियन ऑपरेटर का एक आवागमन मैट्रिसेस है और हर संभव है ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ ऑपरेटर। यही वह आधार है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं। इस आधार पर तरंग कार्य ऊर्जा ईजेनस्टेट्स हैं (क्योंकि वे हैमिल्टनियन के ईजेनस्टेट्स हैं), और वे बलोच राज्य भी हैं (क्योंकि वे अनुवाद ऑपरेटरों के ईजेनस्टेट्स हैं; ऊपर लेम्मा देखें)।

ऑपरेटरों का उपयोग करना

हम अनुवाद ऑपरेटर को परिभाषित करते हैं

$${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}$$

साथ

$$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}$$

हम माध्य आवधिक क्षमता की परिकल्पना का उपयोग करते हैं

$$U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )$$

और हैमिल्टनियन के साथ स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन सन्निकटन

$${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )$$

यह देखते हुए कि हैमिल्टनियन अनुवाद के लिए अपरिवर्तनीय है, इसे अनुवाद ऑपरेटर के साथ स्थानांतरित किया जाएगा

$$[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0$$

और दोनों ऑपरेटरों के पास eigenfunctions का एक सामान्य सेट होगा। इसलिए हम अनुवाद ऑपरेटर के eigen-फ़ंक्शंस को देखना शुरू करते हैं:

$${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )$$

दिया गया ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }$ एक एडिटिव ऑपरेटर है

$${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )$$

यदि हम यहां eigenvalue समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं और दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं $\psi (\mathbf {x} )$ अपने पास

$$\lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}$$

के लिए यह सच है

$$\lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }$$

कहाँ $s\in \mathbb {C}$ यदि हम आयतन V की एकल आदिम कोशिका पर सामान्यीकरण की स्थिति का उपयोग करते हैं

$$1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x}$$

और इसलिए

$$1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}$$

और

$$s=ik$$

कहाँ $k\in \mathbb {R}$. आखिरकार,

$$\mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} )$$

जो कि बलोच तरंग के लिए सत्य है अर्थात $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$ साथ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )$

समूह सिद्धांत का उपयोग करना

Proof with character theory

All translations are unitary and abelian. Translations can be written in terms of unit vectors

$${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}$$

We can think of these as commuting operators

$${\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}$$

where

$${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}$$

The commutativity of the ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}$ operators gives three commuting cyclic subgroups (given they can be generated by only one element) which are infinite, 1-dimensional and abelian. All irreducible representations of abelian groups are one dimensional.

Given they are one dimensional the matrix representation and the character are the same. The character is the representation over the complex numbers of the group or also the trace of the representation which in this case is a one dimensional matrix. All these subgroups, given they are cyclic, they have characters which are appropriate roots of unity. In fact they have one generator $\gamma$ which shall obey to $\gamma ^{n}=1$, and therefore the character $\chi (\gamma )^{n}=1$. Note that this is straightforward in the finite cyclic group case but in the countable infinite case of the infinite cyclic group (i.e. the translation group here) there is a limit for $n\to \infty$ where the character remains finite.

Given the character is a root of unity, for each subgroup the character can be then written as

$$\chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}$$

If we introduce the Born–von Karman boundary condition on the potential:

$$V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )$$

where L is a macroscopic periodicity in the direction $\mathbf {a}$ that can also be seen as a multiple of $a_{i}$ where ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

This substituting in the time independent Schrödinger equation with a simple effective Hamiltonian

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$$

induces a periodicity with the wave function:

$$\psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )$$

And for each dimension a translation operator with a period L

$${\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}$$

From here we can see that also the character shall be invariant by a translation of $L_{i}$:

$$e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}$$

and from the last equation we get for each dimension a periodic condition:

$$k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}$$

where $m_{1}\in \mathbb {Z}$ is an integer and $k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}$

The wave vector $k_{1}$ identify the irreducible representation in the same manner as $m_{1}$, and $L_{1}$ is a macroscopic periodic length of the crystal in direction $a_{1}$. In this context, the wave vector serves as a quantum number for the translation operator.

We can generalize this for 3 dimensions $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ and the generic formula for the wave function becomes:

$${\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)$$

i.e. specializing it for a translation

$${\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})$$

and we have proven Bloch’s theorem.

समूह सिद्धांत तकनीकीताओं के अलावा यह प्रमाण दिलचस्प है क्योंकि यह स्पष्ट हो जाता है कि उन समूहों के लिए बलोच प्रमेय को कैसे सामान्यीकृत किया जाए जो केवल अनुवाद नहीं हैं।

यह आम तौर पर अंतरिक्ष समूहों के लिए किया जाता है जो एक अनुवाद और एक बिंदु समूह का संयोजन होते हैं और इसका उपयोग एफसीसी या बीसीसी जैसी विशिष्ट क्रिस्टल समूह समरूपता और अंततः एक अतिरिक्त ब्राविस जाली को देखते हुए बैंड संरचना, स्पेक्ट्रम और क्रिस्टल की विशिष्ट गर्मी की गणना के लिए किया जाता है। . इस प्रमाण में यह देखना भी संभव है कि यह कैसे महत्वपूर्ण है कि अतिरिक्त बिंदु समूह प्रभावी क्षमता में समरूपता द्वारा संचालित होता है लेकिन यह हैमिल्टन के साथ परिवर्तित होगा।

बलोच प्रमेय के सामान्यीकृत संस्करण में, फूरियर ट्रांसफॉर्म, यानी तरंग फ़ंक्शन विस्तार, एक अलग फूरियर ट्रांसफॉर्म से सामान्यीकृत हो जाता है जो केवल चक्रीय समूहों के लिए लागू होता है और इसलिए तरंग फ़ंक्शन के परिमित समूहों असतत फूरियर रूपांतरण में अनुवाद होता है जहां चरित्र सिद्धांत विशिष्ट परिमित बिंदु समूह से दिए गए हैं।

यहां यह भी देखना संभव है कि कैसे चरित्र सिद्धांत (अघुलनशील अभ्यावेदन के अपरिवर्तनीय के रूप में) को स्वयं अघुलनशील अभ्यावेदन के बजाय मौलिक निर्माण खंड के रूप में माना जा सकता है।

वेग और प्रभावी द्रव्यमान

यदि हम समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को बलोच तरंग फ़ंक्शन पर लागू करते हैं तो हमें प्राप्त होता है

$${\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$$

सीमा शर्तों के साथ

$$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$$

यह देखते हुए कि इसे एक सीमित मात्रा में परिभाषित किया गया है, हम eigenvalues ​​​​के एक अनंत परिवार की अपेक्षा करते हैं; यहाँ ${\mathbf {k} }$ हैमिल्टनियन का एक पैरामीटर है और इसलिए हम eigenvalues ​​​​के एक सतत परिवार पर पहुंचते हैं $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )$ निरंतर पैरामीटर पर निर्भर ${\mathbf {k} }$ और इस प्रकार इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की मूल अवधारणा पर।

Proof

$$E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)$$

We remain with

इससे पता चलता है कि प्रभावी गति को दो भागों से मिलकर कैसे देखा जा सकता है,

$${\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,$$

एक मानक गति $-i\hbar \nabla$ और एक क्रिस्टल गति $\hbar \mathbf {k}$. अधिक सटीक रूप से क्रिस्टल संवेग एक संवेग नहीं है, लेकिन यह संवेग को उसी तरह प्रदर्शित करता है जैसे न्यूनतम युग्मन में विद्युत चुम्बकीय संवेग, और संवेग के विहित परिवर्तन के भाग के रूप में।

प्रभावी वेग के लिए हम प्राप्त कर सकते हैं

mean velocity of a Bloch electron

${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle$

Proof

We evaluate the derivatives ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}$ and ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ given they are the coefficients of the following expansion in q where q is considered small with respect to k

$$\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})$$

Given $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )$ are eigenvalues of ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }$ We can consider the following perturbation problem in q:

$${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}$$

Perturbation theory of the second order states that

$$E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...$$

To compute to linear order in q

$$\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }$$

where the integrations are over a primitive cell or the entire crystal, given if the integral

$$\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }$$

is normalized across the cell or the crystal.

We can simplify over q to obtain

$${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }$$

and we can reinsert the complete wave functions

$${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }$$

प्रभावी द्रव्यमान के लिए (ठोस अवस्था भौतिकी)

effective mass theorem

${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

Proof

The second order term

$${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$$

Again with $\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }$

$${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$$

Eliminating $q_{i}$ and $q_{j}$ we have the theorem

$${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$$

दाईं ओर की मात्रा को एक कारक से गुणा किया जाता है${\frac {1}{\hbar ^{2}}}$ प्रभावी द्रव्यमान टेंसर कहलाता है $\mathbf {M} (\mathbf {k} )$ और हम इसका उपयोग एक बैंड में चार्ज वाहक के लिए अर्ध-शास्त्रीय समीकरण लिखने के लिए कर सकते हैं

Second order semi-classical equation of motion for a charge carrier in a band

$\mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)$

कहाँ $\mathbf {a}$ एक त्वरण है. यह समीकरण पदार्थ तरंग प्रकार के सन्निकटन के अनुरूप है

First order semi-classical equation of motion for electron in a band

$\hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

एक सहज व्याख्या के रूप में, पिछले दोनों समीकरण औपचारिक रूप से मिलते-जुलते हैं और न्यूटन के गति के नियमों के साथ एक अर्ध-शास्त्रीय सादृश्य में हैं#बाहरी लोरेंत्ज़ बल में न्यूटन का दूसरा नियम।

इतिहास और संबंधित समीकरण

बलोच राज्य की अवधारणा 1928 में फेलिक्स बलोच द्वारा विकसित की गई थी क्रिस्टलीय ठोस पदार्थों में इलेक्ट्रॉनों के संचालन का वर्णन करने के लिए। हालाँकि, वही अंतर्निहित गणित कई बार स्वतंत्र रूप से भी खोजा गया था: जॉर्ज विलियम हिल (1877) द्वारा, गैस्टन फ़्लोक्वेट (1883), और अलेक्जेंडर ल्यपुनोव (1892)। परिणामस्वरूप, विभिन्न प्रकार के नामकरण आम हैं: सामान्य अंतर समीकरणों पर लागू होने पर, इसे फ़्लोक्वेट सिद्धांत (या कभी-कभी लायपुनोव-फ्लोक्वेट प्रमेय) कहा जाता है। एक-आयामी आवधिक संभावित समीकरण का सामान्य रूप हिल अंतर समीकरण है|हिल का समीकरण:

$${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,$$

कहाँ f(t) एक आवधिक क्षमता है. विशिष्ट आवधिक एक-आयामी समीकरणों में क्रोनिग-पेनी मॉडल और मैथ्यू फ़ंक्शन|मैथ्यू का समीकरण शामिल हैं।

गणितीय रूप से बलोच के प्रमेय की व्याख्या एक जाली समूह के एकात्मक वर्णों के संदर्भ में की जाती है, और इसे वर्णक्रमीय ज्यामिति पर लागू किया जाता है।

यह भी देखें

• बलोच दोलन
• बलोच वेव - MoM विधि
• इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
• लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल
• आवधिक सीमा शर्तें
• क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
• टाइट-बाइंडिंग मॉडल
• वानियर फ़ंक्शन

संदर्भ

अग्रिम पठन

• Ashcroft, Neil; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Dresselhaus, M. S. (2010). Group theory: application to the physics of condensed matter. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC 692760083.
• H. Föll. "Periodic Potentials and Bloch's Theorem – lectures in "Semiconductors I"". The University of Kiel.
• M.S.P. Eastham (1973). The Spectral Theory of Periodic Differential Equations. Texts in Mathematics. Edinburgh: Scottish Academic Press.
• J. Gazalet; S. Dupont; J.C. Kastelik; Q. Rolland & B. Djafari-Rouhani (2013). "A tutorial survey on waves propagating in periodic media: Electronic, photonic and phononic crystals. Perception of the Bloch theorem in both real and Fourier domains". Wave Motion. 50 (3): 619–654. doi:10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.