बलोच का प्रमेय

This article is about a theorem in quantum mechanics. For the theorem used in complex analysis, see Bloch's theorem (complex variables).

एक सिलिकॉन जाली में बलोच राज्य के वर्ग मापांक की आइसोसतह

ठोस रेखा: एक आयाम में एक विशिष्ट बलोच राज्य के वास्तविक भाग का एक योजनाबद्ध। बिंदीदार रेखा कारक से है e^ik·r. प्रकाश वृत्त परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संघनित पदार्थ भौतिकी में, बलोच के प्रमेय में कहा गया है कि आवधिक क्षमता में श्रोडिंगर समीकरण#समय-स्वतंत्र समीकरण|श्रोडिंगर समीकरण के समाधान एक आवधिक फ़ंक्शन द्वारा संशोधित समतल तरंग का रूप लेते हैं। प्रमेय का नाम भौतिक विज्ञानी फ़ेलिक्स बलोच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1929 में प्रमेय की खोज की थी। गणितीय रूप से, वे लिखे गए हैं

Bloch function

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

कहाँ $\mathbf {r}$ स्थिति है, $\psi$ तरंग फ़ंक्शन है, $u$ क्रिस्टल, तरंग वेक्टर के समान आवधिकता वाला एक आवधिक कार्य है $\mathbf {k}$ क्रिस्टल गति है, $e$ ई (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या, और $i$ काल्पनिक इकाई है.

इस रूप के कार्यों को बलोच कार्यों या बलोच राज्यों के रूप में जाना जाता है, और क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के तरंग कार्यों या क्वांटम राज्यों के लिए उपयुक्त आधार फ़ंक्शन के रूप में कार्य करता है।

स्विस भौतिक विज्ञानी फेलिक्स बलोच के नाम पर, बलोच कार्यों के संदर्भ में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन, जिसे बलोच इलेक्ट्रॉन (या कम अक्सर बलोच तरंगें) कहा जाता है, इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचनाओं की अवधारणा को रेखांकित करता है।

ये आइजनस्टेट्स सबस्क्रिप्ट के साथ लिखे गए हैं $\psi _{n\mathbf {k} }$, कहाँ $n$ एक अलग सूचकांक है, जिसे ऊर्जा बैंड कहा जाता है, जो मौजूद है क्योंकि इसके साथ कई अलग-अलग तरंग कार्य होते हैं $\mathbf {k}$ (प्रत्येक का एक अलग आवधिक घटक होता है $u$). एक बैंड के भीतर (यानी, निश्चित के लिए $n$), $\psi _{n\mathbf {k} }$ के साथ लगातार बदलता रहता है $\mathbf {k}$, जैसा कि इसकी ऊर्जा है। भी, $\psi _{n\mathbf {k} }$ केवल स्थिर व्युत्क्रम जालक सदिश तक ही अद्वितीय है $\mathbf {K}$, या, $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$. इसलिए, तरंग वेक्टर $\mathbf {k}$ व्यापकता के नुकसान के बिना पारस्परिक जाली के पहले ब्रिलोइन क्षेत्र तक सीमित किया जा सकता है।

अनुप्रयोग और परिणाम

प्रयोज्यता

बलोच के प्रमेय का सबसे आम उदाहरण क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करना है, विशेष रूप से क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनिक गुणों, जैसे इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को चिह्नित करने में। हालाँकि, बलोच-वेव विवरण आम तौर पर किसी आवधिक माध्यम में किसी भी तरंग जैसी घटना पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में एक आवधिक ढांकता हुआ संरचना फोटोनिक क्रिस्टल की ओर ले जाती है, और एक आवधिक ध्वनिक माध्यम ध्वन्यात्मक क्रिस्टल की ओर ले जाती है। इसका व्यवहार आम तौर पर विवर्तन के गतिशील सिद्धांत के विभिन्न रूपों में किया जाता है।

तरंग सदिश

एक बलोच वेव फ़ंक्शन (नीचे) को एक आवधिक फ़ंक्शन (शीर्ष) और एक प्लेन-वेव (केंद्र) के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है। बाईं ओर और दाईं ओर तरंग वेक्टर को शामिल करते हुए दो अलग-अलग तरीकों से विभाजित एक ही बलोच स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं k₁ (बाएं) या k₂ (सही)। के अंतर (k₁ − k₂) एक व्युत्क्रम जालक सदिश है। सभी कथानकों में, नीला वास्तविक भाग है और लाल काल्पनिक भाग है।

मान लीजिए कि एक इलेक्ट्रॉन बलोच अवस्था में है

$$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$

कहाँ u क्रिस्टल जाली के समान आवधिकता के साथ आवर्त है। इलेक्ट्रॉन की वास्तविक क्वांटम स्थिति पूरी तरह से निर्धारित होती है $\psi$, नहीं k या u सीधे. यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि k और u अद्वितीय नहीं हैं. विशेष रूप से, यदि $\psi$ का उपयोग करके ऊपर लिखे अनुसार लिखा जा सकता है k, इसका उपयोग करके भी लिखा जा सकता है (k + K), कहाँ K कोई व्युत्क्रम जाली है (दाईं ओर चित्र देखें)। इसलिए, तरंग वेक्टर जो पारस्परिक जाली वेक्टर से भिन्न होते हैं, समतुल्य होते हैं, इस अर्थ में कि वे बलोच राज्यों के समान सेट की विशेषता रखते हैं।

पहला ब्रिलोइन ज़ोन मूल्यों का एक प्रतिबंधित समूह है k इस संपत्ति के साथ कि उनमें से कोई भी दो बराबर नहीं हैं, फिर भी हर संभव है k पहले ब्रिलोइन ज़ोन में एक (और केवल एक) वेक्टर के बराबर है। इसलिए, यदि हम प्रतिबंधित करते हैं k पहले ब्रिलोइन ज़ोन तक, फिर प्रत्येक बलोच राज्य में एक अद्वितीय होता है k. इसलिए, पहले ब्रिलोइन ज़ोन का उपयोग अक्सर सभी बलोच राज्यों को बिना अतिरेक के चित्रित करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना में, और इसका उपयोग कई गणनाओं में उसी कारण से किया जाता है।

कब k को कम किए गए प्लैंक स्थिरांक से गुणा किया जाता है, यह इलेक्ट्रॉन के क्रिस्टल गति के बराबर होता है। इससे संबंधित, एक इलेक्ट्रॉन के समूह वेग की गणना इस आधार पर की जा सकती है कि बलोच अवस्था की ऊर्जा किस प्रकार बदलती है k; अधिक जानकारी के लिए क्रिस्टल मोमेंटम देखें।

विस्तृत उदाहरण

एक विस्तृत उदाहरण के लिए जिसमें बलोच के प्रमेय के परिणामों पर एक विशिष्ट स्थिति में काम किया जाता है, लेख एक-आयामी जाली (आवधिक क्षमता) में कण देखें।

प्रमेय

बलोच का प्रमेय इस प्रकार है:

एक आदर्श क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉनों के लिए, निम्नलिखित दो गुणों के साथ तरंग कार्यों का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है:

• इनमें से प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन एक ऊर्जा आइजेनस्टेट है,
• इनमें से प्रत्येक तरंग कार्य एक बलोच अवस्था है, जिसका अर्थ है कि यह तरंग कार्य करती है $\psi$ फॉर्म में लिखा जा सकता है
  $$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$$
  कहाँ u(r) में क्रिस्टल की परमाणु संरचना के समान ही आवधिकता होती है, जैसे कि
  $$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).$$

प्रमाण

जाली आवधिकता का उपयोग करना

प्रारंभिक: क्रिस्टल समरूपता, जाली, और पारस्परिक जाली

क्रिस्टल की परिभाषित संपत्ति ट्रांसलेशनल समरूपता है, जिसका अर्थ है कि यदि क्रिस्टल को उचित मात्रा में स्थानांतरित किया जाता है, तो यह अपने सभी परमाणुओं के साथ एक ही स्थान पर समाप्त हो जाता है। (एक परिमित आकार के क्रिस्टल में पूर्ण अनुवादात्मक समरूपता नहीं हो सकती है, लेकिन यह एक उपयोगी सन्निकटन है।)

त्रि-आयामी क्रिस्टल में तीन आदिम जाली वेक्टर होते हैं a₁, a₂, a₃. यदि क्रिस्टल को इन तीन वैक्टरों में से किसी एक, या उनके रूप के संयोजन द्वारा स्थानांतरित किया जाता है

$$n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},$$

कहाँ n_i तीन पूर्णांक हैं, तो परमाणु उन्हीं स्थानों के समूह में समाप्त हो जाते हैं जहां से वे शुरू हुए थे।

प्रमाण में एक अन्य सहायक घटक पारस्परिक जाली वैक्टर है। ये तीन वेक्टर हैं b₁, b₂, b₃ (व्युत्क्रम लंबाई की इकाइयों के साथ), उस गुण के साथ a_i · b_i = 2π, लेकिन a_i · b_j = 0 कब i ≠ j. (सूत्र के लिए b_i, व्युत्क्रम जाली वेक्टर देखें।)

अनुवाद ऑपरेटरों के बारे में लेम्मा

होने देना ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ एक ट्रांसलेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) को निरूपित करें जो प्रत्येक तरंग फ़ंक्शन को मात्रा के अनुसार बदलता है n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃ (ऊपरोक्त अनुसार, n_j पूर्णांक हैं)। निम्नलिखित तथ्य बलोच प्रमेय के प्रमाण के लिए सहायक है:

Lemma — If a wave function ψ is an eigenstate of all of the translation operators (simultaneously), then ψ is a Bloch state.

Proof of Lemma

Assume that we have a wave function ψ which is an eigenstate of all the translation operators. As a special case of this,

$$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{r}+{\mathbf{a}}_j)=C_j\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}($$