समूह वेग

"तरंग समूह" redirects here. Not to be confused with तरंग पैकेट.

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गहरे पानी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों के समूहों में आवृत्ति फैलाव। लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, और हरे वृत्त समूह वेग के साथ फैलते है। इस गहरे पानी के स्थिति में, चरण वेग समूह वेग का दोगुना है। आकृति के बाएँ से दाएँ जाने पर लाल वर्ग दो हरे वृत्तों से आगे निकल जाता है। ऐसा लगता है कि नई तरंगें एक तरंग समूह के पीछे उभरती है, आयाम में तब तक बढ़ती है जब तक कि वे समूह के केंद्र में न हों, और तरंग समूह के मोर्चे पर गायब हो जाती है।सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए, पानी के कण वेग ज्यादातर स्थितियों में चरण वेग से बहुत छोटे होते है।

File:Wave packet propagation (phase faster than group, nondispersive).gif

फैलाव के बिना समूह वेग से अधिक चरण वेग का प्रदर्शन करने वाले एक तरंग पैकेट का प्रचार।

File:Wave opposite-group-phase-velocity.gif

यह समूह वेग और चरण वेग के साथ एक तरंग को अलग-अलग दिशाओं में दिखाता है। समूह वेग धनात्मक होता है (अर्थात, तरंग का आवरण (तरंगें) दायीं ओर चलती है), जबकि चरण वेग ऋणात्मक होता है (अर्थात, चोटियाँ और गर्त बाईं ओर चलती है)।

एक तरंग का समूह वेग वह वेग है जिसके साथ तरंग के आयाम का समग्र लिफाफा आकार- जिसे तरंग के मॉडुलन या लिफाफा के रूप में जाना जाता है-जगह के माध्यम से फैलता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक शांत तालाब के बीच में एक पत्थर फेंका जाता है, तो पानी में एक शांत केंद्र वाली तरंगों का एक गोलाकार पैटर्न दिखाई देता है, जिसे केशिका तरंग के रूप में भी जाना जाता है। तरंगों का बढ़ता हुआ वलय तरंग समूह है, जिसके भीतर एक व्यक्ति उन तरंगों को पहचान सकता है जो पूरे समूह की तुलना में तेजी से यात्रा करता है। व्यक्तिगत तरंगों के आयाम बढ़ते है क्योंकि वे समूह के अनुगामी किनारे से निकलते है और जैसे-जैसे वे समूह के अग्रणी किनारे तक पहुँचते है, कम होते जाते है।

परिभाषा और व्याख्या

परिभाषा

File:Wave packet.svg

  ए तरंग पैकेट।

  तरंग पैकेट का लिफाफा। लिफाफा समूह वेग से चलता है।

समूह वेग v_g समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,$

जहाँ ω तरंग की कोणीय आवृत्ति है (सामान्यतः पर प्रति सेकंड रेडियन में व्यक्त की जाती है), और k कोणीय तरंग संख्या है (सामान्यतः पर प्रति मीटर रेडियन में व्यक्त)। चरण वेग है: v_p = ω/k.

समारोह (गणित) ω(k), जो देता है ω के कार्य के रूप में k, फैलाव संबंध के रूप में जाना जाता है।

• अगर ω आनुपातिकता (गणित) है k, तब समूह वेग ठीक चरण वेग के बराबर होता है। किसी भी आकार की तरंग इस वेग से बिना विकृत हुए यात्रा करता है।
• यदि ω k का एक रैखिक फलन है, लेकिन सीधे आनुपातिक नहीं है (ω = ak + b), तब समूह वेग और चरण वेग भिन्न होते है। एक तरंग पैकेट का लिफाफा समूह वेग से यात्रा करेगा, जबकि लिफाफे के भीतर अलग-अलग चोटियाँ और गर्त चरण वेग से आगे बढ़ता है।
• अगर ω का एक रैखिक कार्य नहीं है k, तरंग पैकेट का लिफाफा यात्रा के दौरान विकृत हो जाता है। चूंकि एक तरंग पैकेट में विभिन्न आवृत्तियों की एक श्रृंखला होती है (और इसलिए इसके विभिन्न मान k), समूह वेग ∂ω/∂k के विभिन्न मूल्यों के लिए अलग होता है k. इसलिए, लिफाफा एक ही वेग से नहीं चलता है, लेकिन इसके तरंग संख्या घटक (k) लिफाफे को विकृत करते हुए, विभिन्न वेगों पर चलता है। यदि तरंग पैकेट में आवृत्तियों की एक संकीर्ण सीमा होती है, और ω(k) उस संकीर्ण सीमा पर लगभग रैखिक होती है, छोटी अशुद्धता के संबंध में नाड़ी विरूपण छोटा होता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण तरंगें के लिए, ${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$, और इसलिए v_g = v_p /2 यह सभी जहाजों और तैरने वाली वस्तुओं की धनुष तरंग के लिए केल्विन वेक पैटर्न को रेखांकित करता है। यदि वे कितनी तेजी से आगे बढ़ रहे हों, जब तक उनका वेग स्थिर होता है, प्रत्येक तरफ वेकेशन यात्रा की रेखा के साथ 19.47° = आर्क्सिन (1/3) का कोण बनाता है।

Further information: हवादार तरंग सिद्धांत § तरंग मात्राओं की तालिका

व्युत्पत्ति

समूह वेग के सूत्र की एक व्युत्पत्ति इस प्रकार है।

स्थिति के कार्य के रूप में तरंग पैकेट पर विचार करता है x और समय t: α(x,t).

होने देना A(k) समय पर इसका फूरियर रूपांतरण होता है t = 0,

$\alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.$

सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, किसी भी समय तरंग पैकेट t है

$\alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},$

जहाँ ω निहित रूप से एक कार्य है k.

मान लीजिए कि तरंग पैकेट α लगभग है, जिससे कि A(k) एक केंद्रीय के आसपास तेजी से चरम पर होता है k₀.

फिर, रैखिककरण देता है

$\omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}$

जहाँ

$\omega _{0}=\omega (k_{0})$ और $\omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}$

(इस चरण की चर्चा के लिए अगला भाग देखें)। फिर, कुछ बीजगणित के बाद देखें,

$\alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.$

इस अभिव्यक्ति में दो कारक होते है। पहला कारक, $e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}$, तरंग वेक्टर के साथ एक परिपूर्ण मोनोक्रोमैटिक तरंग का वर्णन करता है k₀, चोटियों और कुंडों के साथ चरण वेग से चलती है $\omega _{0}/k_{0}$ तरंग पैकेट के लिफाफे के भीतर होता है।

अन्य कारक,

$\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}$,

तरंग पैकेट का लिफाफा देता है। यह लिफाफा कार्य संयोजन के माध्यम से ही स्थिति और समय पर निर्भर करता है $(x-<!--\; -\; -->$